高考数学一轮复习第10章第7节二项分布、超几何分布与正态分布学案

第七节　二项分布、超几何分布与正态分布

考试要求：1．掌握二项分布和超几何分布的概念．

2．了解正态分布的含义．

一、教材概念·结论·性质重现

1．n重伯努利试验与二项分布

(1)n重伯努利试验

把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．

将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．

(2)二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．

2．超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布．

3．超几何分布的期望

E(X)＝＝np (p为N件产品的次品率)．

4．正态分布

(1)正态曲线

函数f(x)＝e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称函数f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．

③曲线在x＝μ处达到峰值．

④曲线与x轴围成的面积为1．

⑤在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图(1)所示．

⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图(2)所示．

(3)正态分布的定义及表示

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝e，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．

正态总体在三个特殊区间内取值的概率值．

①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7．

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．

③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．                            (　√　)

(2)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．                            (　×　)

(3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．               (　√　)

(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一个球．若是白球，则取出来，若是黑球，则放回盒中，直到把白球全部取出来．设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布．                            (　×　)

(5)二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项式(a＋b)n展开式的通项，其中a＝p，b＝1－p．                            (　×　)

(6)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布密度函数，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．              (　√　)

2．(2021·佛山期末)有一批谷类种子，如果每1粒种子发芽的概率为，那么插下3粒种子恰有2粒发芽的概率是(　　)

A．   B．   

C．   D．

A　解析：3粒种子中发芽的粒数服从二项分布X～B，所以恰有2粒发芽的概率为C××＝．

3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，则理论上在80分到90分的人数是(　　)

A．32   B．16 

C．8   D．20

B　解析：因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.682 7．根据正态曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是×0.682 7×48≈16．

4．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽取n件产品，抽到的次品数的数学期望是(　　)

A．n   B．(n－1)

C．   D．(n＋1)

C　解：设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽取n 件产品，抽到的次品数X服从超几何分布即X～H(n，M，N)，

所以抽到的次品数的数学期望值E(X)＝．

5．已知随机变量ξ～B，则P(ξ＝3)＝________(用数字作答)．

　解析：随机变量ξ～B，则P(ξ＝3)＝C·3·＝．

6．已知随机变量X～N(1,62)，若P(X>0)＝0.8，则P(X≥2)＝________．

0.2　解析：随机变量X服从正态分布N(1,62)，所以正态曲线关于x＝1对称，所以P(x≥2)＝P(x≤0)＝1－P(x>0)＝0.2．

考点1　二项分布——基础性

某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立．

(1)求某应聘人员被录用的概率；

(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．

解：设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C．

(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，

则D＝A∪BC．

因为P(A)＝×＝，

P(B)＝2××＝，

P(C)＝，

所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝．

所以某应聘人员被录用的概率为．

(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，且X～B，

Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)．

因为P(A0)＝C×＝，

P(A1)＝C××＝，

P(A2)＝C××＝，

P(A3)＝C××＝，

P(A4)＝C××＝．

所以X的分布列为

(2021·杭州二模)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸得白球个数为X．若E(X)＝，则m＝________，P(X＝2)＝________．

2　　解析：甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸得白球个数为X，则X～B，

因为E(X)＝，所以E(X)＝3×＝，所以m＝2，

所以P(X＝2)＝C××＝．

考点2　超几何分布——应用性

在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．

解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，

则P(M)＝＝．

(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝，

因此X的分布列为

1．(多选题)在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球、4个白球，现从中任取4个小球．设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　　)

A．P(X＝1)＝

B．随机变量X服从二项分布

C．随机变量X服从超几何分布

D．E(X)＝

ACD　解析：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确．

X的取值分别为0,1,2,3,4，则

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，

P(X＝4)＝＝，

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，故A，D正确．

2．某高中德育处为了调查学生对“国安法”的关注情况，在全校组织了“国家安全知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩(百分制)如下：

52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94．

(1)写出该样本的中位数，若该校共有3 000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；

(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布列和数学期望．

解：(1)由已知数据可得中位数为76，样本中70分以上的所占比例为＝，

故可估计该校测试成绩在70分以上的约为

3 000×＝2 000(人)．

(2)由题意可得ξ的可能取值为0,1,2,3,4．

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝．

所以ξ的分布列为

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2．

考点3　正态分布——应用性

(1)(多选题)若随机变量ξ～N(0,1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0．下列等式成立的有(　　)

A．φ(－x)＝1－φ(x)

B．φ(2x)＝2φ(x)

C．P(|ξ|<x)＝2φ(x)－1

D．P(|ξ|>x)＝2－φ(x)

AC　解析：因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，所以正态曲线关于ξ＝0对称，如图．

φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝P(ξ≥x)＝1－φ(x)，所以A项正确．

φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，

所以φ(2x)≠2φ(x)，B项错误．

P(|ξ|<x)＝P(－x<ξ<x)＝1－2φ(－x)＝1－2[1－φ(x)]＝2φ(x)－1，所以C项正确．

P(|ξ|≥x)＝P(ξ≥x或ξ≤－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝1－φ(x)＋1－φ(x)＝2－2φ(x)，所以D项错误．故选AC．

(2)(2021·重庆校级模拟)重庆合川桃片远近闻名，某个品种的合川桃片是小袋装的，其质量服从正态分布N(100，0.01)(单位：g)．现抽取500袋样本，X表示抽取的桃片质量在(100，100.2]的袋数，则X约为______．(结果四舍五入保留整数)

附：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5．

239　解析：因为质量服从正态分布N(100,0.01)，所以μ＝100，σ＝0.1．

因为P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，且μ＝100，σ＝0.1，

所以P(99.8≤X≤100.2)≈0.954 5，所以P(100＜X≤100.2)≈＝0.47725，

则抽取的桃片质量在(100,100.2)的袋数X服从二项分布，即X～B(500,0.477 25)，

则E(X)＝500×0.477 25≈239．

(2021·湖南模拟)扶贫期间，扶贫工作组从A地到B地修建了公路，脱贫后，为了了解A地到B地公路的交通通行状况，工作组调查了从A地到B地行经该公路的各种类别的机动车共4 000辆，汇总行车速度后作出如图所示的频率分布直方图．

(1)试根据频率分布直方图，求样本中的这4 000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)．

(2)由频率分布直方图可大致认为，该公路上机动车的行车速度Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取调查样本中4 000辆机动车的平均车速和车速的方差s2(s2＝204.75)．

①请估计该公路上10 000辆机动车中车速高于84.8 km/h的车辆数(精确到个位)；

②现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于84.8  km/h的车辆数为X，求X的数学期望．

附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3，取＝14.3．

解：(1)由题意可知，＝(45＋95)×0.1＋(55＋85)×0.15＋65×0.2＋75×0.3＝70.5．

故样本中的这4 000辆机动车的平均车速为70.5 km/h．

(2)由题意，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝＝70.5，σ2＝s2＝204.75，则σ＝14.3．

①因为P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)＝P(56.2≤Z≤84.8)≈0.682 7，

所以P(Z>84.8)≈×(1－0.682 7)＝0.158 65，

所以车速高于84.8 km/h的车辆数的估计值为0.158 65×10 000＝1 586.5≈1 587．

②行车速度低于84.8 km/h的概率为1－0.158 65＝0.841 35，

又X～B(10,0.841 35)，所以E(X)＝10×0.841 35＝8.413 5．