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高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第一课时两个计数原理、排列与组合学案
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这是一份高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第一课时两个计数原理、排列与组合学案，共19页。学案主要包含了教师备选资源，教师备用等内容，欢迎下载使用。
【教师备选资源】
第1课时 两个计数原理、排列与组合
[考试要求] 1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2．理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．会用两个计数原理及排列、组合分析和解决一些简单的实际问题．
考点一 两个计数原理及综合应用
[典例1] (1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
(2)(2024·四川资阳统考模拟)某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有( )
A．360种 B．420种
C．480种 D．540种
(3)(多选)(2024·山东枣庄模拟预测)现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是( )
A．选1人为负责人的选法种数为30
B．每组选1名组长的选法种数为3 024
C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335
D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种
(1)B (2)D (3)ABC [(1)由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(种)走法．
(2)如图，先在区域A布置花卉，有5种不同的布置方案，再在区域E布置花卉，有4种不同的布置方案，再在区域D布置花卉，有3种不同的布置方案．若区域B与区域E布置同一种花卉，则区域C有3种不同的布置方案；若区域B与区域E布置不同的花卉，则区域B有2种不同的布置方案，区域C有3种不同的布置方案．故不同的布置方案有5×4×3×(3＋2×3)＝540(种)．故选D.
(3)对于A，选1人为负责人的选法有6＋7＋8＋9＝30(种)，故A正确；
对于B，每组选1名组长的选法有6×7×8×9＝3 024(种)，故B正确；
对于C，2人需来自不同的小组的选法有6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335(种)，故C正确；
对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有43种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择，所以不同的选法有43－33＝37(种)，故D错误．故选ABC.]
[拓展变式] 若本例(1)中 CD段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到G的最短路径有________条．
26 [先假设CD是实线，则从E到G，向上3次，向右4次，最短路径有C74＝35(条)，其中经过CD的，即先从E到C，然后C到D，最后D到G的最短路径有3×3＝9(条)，所以当CD不通时，最短路径有35－9＝26(条)．]
利用两个计数原理解决问题的步骤
跟进训练1 (1)(2023·广西桂林一模)中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有( )
A．18种 B．24种 C．36种 D．54种
(2)(2024·福建三明模拟)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有( )
A．180种 B．192种 C．300种 D．420种
(3)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，则在组成的三位数中，“凹数”的个数为________．
(1)D (2)D (3)20 [(1)因为甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则乙可在《尚书》《礼记》《周易》三种书中选择一种，甲可在除《诗经》和乙选择外的三种书中任选一种，其余三种书可任意排序，由分步乘法计数原理可知，不同的选择种数为3×3×A33＝54.故选D.
(2)如图，将五个区域表示为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，有A53＝60(种)；对于区域④⑤，若①与⑤颜色相同，则④有3种情况，若①与⑤颜色不同，则⑤有2种情况，④有2种情况，此时区域④⑤的情况有3＋2×2＝7(种)情况；则一共有60×7＝420(种)情况，故选D.
(3)当十位上的数为0时，有4×3＝12(个)；当十位上的数为1时，有3×2＝6(个)；当十位上的数为2时，有2×1＝2(个)，所以“凹数”的个数为12＋6＋2＝20.]
考点二 排列、组合问题
1．排列与组合的概念
2．排列数与组合数的定义、公式、性质
[常用结论]
(1)排列数与组合数的关系：Anm＝CnmAmm.
(2)组合数的性质：①Cnm＝Cnn-m；
②Cn+1m＝Cnm+Cnm-1．
排列问题
[典例2] 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定．
[解] (1)从7人中选5人排列，有A75＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A73种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A73A44＝5 040(种)．
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44A44＝576(种)．
(4)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A53种方法，共有A44A53＝1 440(种)．
(5)法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．
法二(特殊位置优先法)：左右两边位置可安排另6人中的两人，有A62种排法，其他位置有A55种排法，共有A62A55＝3 600(种)．
(6)(间接法)7人全排列，有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A55种方法，故共有A77-2A66+A55＝3 720(种)．
(7)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有A77A33＝840(种)．
求解排列应用问题的六种常用方法
组合问题
[典例3] 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
[解] (1)从余下的34种商品中，选取2种有C342＝561(种)，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C343＝5 984(种)．
所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C201C152＝2 100(种)．
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2种假货有C201C152种，选取3种假货有C153种，共有选取方法C201C152+C153＝2 100＋455＝2 555(种)．
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)选取3种的总数为C353，选取3种假货有C153种，因此共有选取方式C353-C153＝6 545－455＝6 090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
组合问题的常见类型与处理方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
跟进训练2 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
[解] (1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有(C53C32＋C54C31)种，后排有A55种，共(C53C32＋C54C31)·A55＝5 400(种)．
(2)除去该女生后，先选后排，有C74·A44＝840(种)．
(3)先安排该男生，再先选后排，有C41·C74·A44＝3 360(种)．
(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C63种，再安排该男生有C31种，其余3人全排列有A33种，共C63·C31·A33＝360(种)．
考点三 分组、分配问题
不同元素的整体均分问题
[典例4] 教育部为了发展各地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
90 [先把6个毕业生平均分成3组，有C62C42C22A33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A33＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C62C42C22A33·A33＝90(种)分派方法．]
不同元素的部分均分问题
[典例5] (2024·江苏南通模拟)“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为( )
A．72 B．36 C．48 D．18
B [由题意可知有2名专家去一个地方，其余2地方各分派一名专家，故共有C42C21A22·A33＝36(种)分派方法．
故选B.]
不同元素的不等分问题
[典例6] 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
360 [将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C61种分法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C52种分法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种分法．
根据分步乘法计数原理，共有C61C52C33＝60(种)分法．
再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6(种)分法，
故共有60×6＝360(种)不同的分法．]
相同元素的分配问题
[典例7] 把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法种数为( )
A．41 B．56 C．156 D．252
B [问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数．事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入挡板，即产生符合要求的方法数．故有C85＝56(种)．]
【教师备用】
将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列放法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
[解] (1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C53＝10(种)．
(2)法一：恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C52种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块隔板并放形成空盒，如|0|000||00|，有C41种插法，故共有C52·C41＝40(种)．
法二：先从4个盒子中选一个空盒子，有C41种选法，然后把6个相同的小球放入剩余3个盒子中，有C52种放法，所以共有C41·C52＝40(种)．
(3)法一：恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C51种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．
①这两块隔板与前面三块隔板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C32种插法．
②将两块隔板与前面三块隔板之一并放，如|00|||0000|，有C31种插法．
故共有C51·(C32＋C31)＝30(种)．
法二：先从4个盒子中选2个盒子有C42种选法，然后把6个小球放入剩余的两个盒子中有C51种放法，所以共有C42·C51＝30(种)．
分组、分配问题是排列与组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
提醒：对于部分均分问题，若有m组元素个数相等，则分组时应除以Amm.
跟进训练3 (1)(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
(2)(2024·山东泰安高三模拟)第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目．若将3男、3女6名志愿者分成3组，每组一男一女，分别分配到3个自选项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有( )
A．540种 B．36种 C．108种 D．90种
(3)(2024·广东揭阳高三模拟)为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A，B，C，D四所学校的6名选手进入集训队，其中有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有________种．(用数字作答)
(1)C (2)B (3)9 [(1)根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C52种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A44种安排方法．故满足题意的分配方案共有C52·A44＝240(种)．
(2)由题意，将3男、3女6人分成3组，每组1男1女，分组方法有C31C31C21C21A33＝6种，
将这3组分别分配到3个自选项目比赛场馆的分配方法有A33种，故不同的分配方案共有6A33＝36(种)，故选B.
(3)将这6名选手平均分为三组，有C62C42C22A33＝15种分组方案，
其中来自A学校的3名选手都不在同一组，有A33＝6种分组方案，
所以恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有15－6＝9种，故答案为：9.]
课后习题(五十) 两个计数原理、排列与组合
1．(人教B版选择性必修第二册P24习题3－1AT5改编)已知某圆上有10个不同的点，过每2个点画一条弦，则所有这些弦的交点个数最多为( )
A．45 B．120 C．210 D．420
C [圆上每2个点画一条弦，每两条弦相交有1个交点，对应圆上的四个不同的点，这些弦的交点个数最多为C104＝210(个)．]
2．(人教A版选择性必修第三册P19例4改编)从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，可以组成的无重复数字的三位偶数的个数为( )
A．52 B．56 C．48 D．72
A [当个位为0时，共有A52＝5×4＝20(个)；当个位不为0时，共有A21A41A41＝2×4×4＝32(个)，所以综合可得，共有20＋32＝52(个)偶数．故选A.]
3．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从2名女生、4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
16 [法一：可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有C21C42＝12(种)；第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有C22C41＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种)．
法二：从6人中任选3人，不同的选法共有C63＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C43＝4(种)，所以至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种)．]
4．(人教A版选择性必修第三册P12习题6.1T8改编)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．
45 54 [五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．]
5．(2024·河南郑州统考模拟)黄金分割最早见于古希腊和古埃及．黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的a，b两段，使得长线段a与原线段a＋b的比等于短线段b与长线段a的比，即a∶(a＋b)＝b∶a，其比值约为0.618 339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为( )
A．180 B．210
C．240 D．360
C [先把6，1，8，9排列，然后选两个空档插入3，总方法为A44C52＝240，故选C.]
6．(2023·广东深圳二模)现将5个代表团人员安排至甲、乙、丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住．若这5个代表团中A，B两个代表团已经入住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为( )
A．6 B．12 C．16 D．18
A [甲宾馆不再安排其他代表团入住，则乙、丙两家宾馆需安排余下的3个代表团入住，
所以一个宾馆住1个代表团，另一个宾馆住2个代表团，共有C32A22＝6(种)方法，故选A.]
7．(2024·江西南昌模拟预测)四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为( )
A．141 B．144 C．150 D．155
A [从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种；
第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，
它的4个顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，
∴不同的取法共有C104－4C64－6－3＝141(种)．
故选A.]
8．(2024年1月九省联考)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有( )
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
B [因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位．
①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有A22种方法，排甲有A21种方法，剩余两个位置两人全排列有A22种排法，
所以有A22×A21×A22＝8(种)方法；
②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有A22种方法，排甲有A21种方法，剩余两个位置两人全排列有A22种排法，
所以有A22×A21×A22＝8(种)方法．
由分类加法计数原理可知，一共有8＋8＝16(种)排法．
故选B.]
9．(2024·山东潍坊校联考模拟)从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是( )
A．360 B．396 C．432 D．756
B [从1，3，5，7中任取2个数字有C42种方法，从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有C32种方法，
可以组成C42C32C21A33＝216(个)没有重复数字的四位偶数；含有0时，0不能在千位位置，其他任意排列，共有C42C31(A33＋C21A22)＝180(个)，所以共有216＋180＝396(个)．故选B.]
10．某国际高峰论坛会议中，组委会要从5个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( )
A．150 B．90 C．48 D．36
A [根据题意，要求提问的三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，分2种情况讨论：
①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有C51C32A33＝90(种)不同的提问方式；
②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，则国外媒体团要在中间位置发言，则有C52C31A22＝60(种)不同的提问方式．
综上，共有60＋90＝150(种)不同的提问方式，故选A.]
11．(2023·甘肃酒泉三模)某高校选派7名志愿者去参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动，已知这7名志愿者将去三个不同场馆服务，每个场馆至少2名志愿者，每名志愿者只到一个场馆服务，则不同安排方案有________种．
630 [因为7名志愿者分成3组，人数为2，2，3，有C73C42C22A22＝105(种)分法，
所以不同安排方法有105×A33＝630(种)．故答案为：630.]
12．(2024·重庆统考模拟)现有身高各不相同的10名男同学参加队列表演，按照比赛要求，需排成两列纵队，每列5人且前矮后高，则有________种排法．
252 [由题意，10名男同学选5人为一列，另5人为另一列，且每列排法只有一种，
所以共有C105＝252(种)．
故答案为：252.]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．常考点：计数原理、互斥事件与相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列与期望．
(1)从近几年的考题看，高考中出现的计数问题的难度与教材例题、习题的难度相当．重在考查对两个计数原理的理解及排列、组合知识的简单应用．
(2)互斥事件、独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列、期望与方差的计算，注重考查应用意识、阅读理解能力，主要考查数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养．
2．轮考点：二项式定理、古典概型、条件概率、全概率公式．
(1)古典概型的概率计算常与两个计数原理、排列与组合知识进行综合考查，一般难度不大．
(2)二项式定理通常以选择、填空题形式出现在高考试题中，难度较小，属于易得分题．
(3)随着高考改革的持续深入，对条件概率和全概率公式的应用要有足够的重视．
分类加法
计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
分步乘法
计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
作为一组
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
公式
Anm＝n(n－1)·(n－2)…(n－m＋1)＝n！n-m！
Cnm＝AnmAmm＝nn-1n-2…n-m+1m！
＝n！m！n-m！
性质
Ann＝n！，0！＝1
Cnn＝1，Cn0＝1
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第1课时 两个计数原理、排列与组合
[考试要求] 1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． 2．理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．会用两个计数原理及排列、组合分析和解决一些简单的实际问题．
考点一 两个计数原理及综合应用
[典例1] (1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
(2)(2024·四川资阳统考模拟)某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有( )
A．360种 B．420种
C．480种 D．540种
(3)(多选)(2024·山东枣庄模拟预测)现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是( )
A．选1人为负责人的选法种数为30
B．每组选1名组长的选法种数为3 024
C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335
D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种
(1)B (2)D (3)ABC [(1)由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(种)走法．
(2)如图，先在区域A布置花卉，有5种不同的布置方案，再在区域E布置花卉，有4种不同的布置方案，再在区域D布置花卉，有3种不同的布置方案．若区域B与区域E布置同一种花卉，则区域C有3种不同的布置方案；若区域B与区域E布置不同的花卉，则区域B有2种不同的布置方案，区域C有3种不同的布置方案．故不同的布置方案有5×4×3×(3＋2×3)＝540(种)．故选D.
(3)对于A，选1人为负责人的选法有6＋7＋8＋9＝30(种)，故A正确；
对于B，每组选1名组长的选法有6×7×8×9＝3 024(种)，故B正确；
对于C，2人需来自不同的小组的选法有6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335(种)，故C正确；
对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有43种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有33种选择，所以不同的选法有43－33＝37(种)，故D错误．故选ABC.]
[拓展变式] 若本例(1)中 CD段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到G的最短路径有________条．
26 [先假设CD是实线，则从E到G，向上3次，向右4次，最短路径有C74＝35(条)，其中经过CD的，即先从E到C，然后C到D，最后D到G的最短路径有3×3＝9(条)，所以当CD不通时，最短路径有35－9＝26(条)．]
利用两个计数原理解决问题的步骤
跟进训练1 (1)(2023·广西桂林一模)中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有( )
A．18种 B．24种 C．36种 D．54种
(2)(2024·福建三明模拟)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有( )
A．180种 B．192种 C．300种 D．420种
(3)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，则在组成的三位数中，“凹数”的个数为________．
(1)D (2)D (3)20 [(1)因为甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则乙可在《尚书》《礼记》《周易》三种书中选择一种，甲可在除《诗经》和乙选择外的三种书中任选一种，其余三种书可任意排序，由分步乘法计数原理可知，不同的选择种数为3×3×A33＝54.故选D.
(2)如图，将五个区域表示为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，有A53＝60(种)；对于区域④⑤，若①与⑤颜色相同，则④有3种情况，若①与⑤颜色不同，则⑤有2种情况，④有2种情况，此时区域④⑤的情况有3＋2×2＝7(种)情况；则一共有60×7＝420(种)情况，故选D.
(3)当十位上的数为0时，有4×3＝12(个)；当十位上的数为1时，有3×2＝6(个)；当十位上的数为2时，有2×1＝2(个)，所以“凹数”的个数为12＋6＋2＝20.]
考点二 排列、组合问题
1．排列与组合的概念
2．排列数与组合数的定义、公式、性质
[常用结论]
(1)排列数与组合数的关系：Anm＝CnmAmm.
(2)组合数的性质：①Cnm＝Cnn-m；
②Cn+1m＝Cnm+Cnm-1．
排列问题
[典例2] 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法种数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定．
[解] (1)从7人中选5人排列，有A75＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A73种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A73A44＝5 040(种)．
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44A44＝576(种)．
(4)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A53种方法，共有A44A53＝1 440(种)．
(5)法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．
法二(特殊位置优先法)：左右两边位置可安排另6人中的两人，有A62种排法，其他位置有A55种排法，共有A62A55＝3 600(种)．
(6)(间接法)7人全排列，有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A55种方法，故共有A77-2A66+A55＝3 720(种)．
(7)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有A77A33＝840(种)．
求解排列应用问题的六种常用方法
组合问题
[典例3] 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
[解] (1)从余下的34种商品中，选取2种有C342＝561(种)，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C343＝5 984(种)．
所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C201C152＝2 100(种)．
所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2种假货有C201C152种，选取3种假货有C153种，共有选取方法C201C152+C153＝2 100＋455＝2 555(种)．
所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)选取3种的总数为C353，选取3种假货有C153种，因此共有选取方式C353-C153＝6 545－455＝6 090(种)．
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
组合问题的常见类型与处理方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
跟进训练2 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
[解] (1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有(C53C32＋C54C31)种，后排有A55种，共(C53C32＋C54C31)·A55＝5 400(种)．
(2)除去该女生后，先选后排，有C74·A44＝840(种)．
(3)先安排该男生，再先选后排，有C41·C74·A44＝3 360(种)．
(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C63种，再安排该男生有C31种，其余3人全排列有A33种，共C63·C31·A33＝360(种)．
考点三 分组、分配问题
不同元素的整体均分问题
[典例4] 教育部为了发展各地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
90 [先把6个毕业生平均分成3组，有C62C42C22A33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A33＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C62C42C22A33·A33＝90(种)分派方法．]
不同元素的部分均分问题
[典例5] (2024·江苏南通模拟)“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为( )
A．72 B．36 C．48 D．18
B [由题意可知有2名专家去一个地方，其余2地方各分派一名专家，故共有C42C21A22·A33＝36(种)分派方法．
故选B.]
不同元素的不等分问题
[典例6] 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
360 [将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C61种分法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C52种分法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种分法．
根据分步乘法计数原理，共有C61C52C33＝60(种)分法．
再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6(种)分法，
故共有60×6＝360(种)不同的分法．]
相同元素的分配问题
[典例7] 把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法种数为( )
A．41 B．56 C．156 D．252
B [问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数．事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入挡板，即产生符合要求的方法数．故有C85＝56(种)．]
【教师备用】
将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列放法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．
[解] (1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C53＝10(种)．
(2)法一：恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C52种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块隔板并放形成空盒，如|0|000||00|，有C41种插法，故共有C52·C41＝40(种)．
法二：先从4个盒子中选一个空盒子，有C41种选法，然后把6个相同的小球放入剩余3个盒子中，有C52种放法，所以共有C41·C52＝40(种)．
(3)法一：恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有C51种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．
①这两块隔板与前面三块隔板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C32种插法．
②将两块隔板与前面三块隔板之一并放，如|00|||0000|，有C31种插法．
故共有C51·(C32＋C31)＝30(种)．
法二：先从4个盒子中选2个盒子有C42种选法，然后把6个小球放入剩余的两个盒子中有C51种放法，所以共有C42·C51＝30(种)．
分组、分配问题是排列与组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
提醒：对于部分均分问题，若有m组元素个数相等，则分组时应除以Amm.
跟进训练3 (1)(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
(2)(2024·山东泰安高三模拟)第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目．若将3男、3女6名志愿者分成3组，每组一男一女，分别分配到3个自选项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有( )
A．540种 B．36种 C．108种 D．90种
(3)(2024·广东揭阳高三模拟)为备战第47届世界技能大赛，经过层层选拔，来自A，B，C，D四所学校的6名选手进入集训队，其中有3人来自A学校，其余三所学校各1人，由于集训需要，将这6名选手平均分为三组，则恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有________种．(用数字作答)
(1)C (2)B (3)9 [(1)根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C52种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A44种安排方法．故满足题意的分配方案共有C52·A44＝240(种)．
(2)由题意，将3男、3女6人分成3组，每组1男1女，分组方法有C31C31C21C21A33＝6种，
将这3组分别分配到3个自选项目比赛场馆的分配方法有A33种，故不同的分配方案共有6A33＝36(种)，故选B.
(3)将这6名选手平均分为三组，有C62C42C22A33＝15种分组方案，
其中来自A学校的3名选手都不在同一组，有A33＝6种分组方案，
所以恰有一组选手来自同一所学校的分组方案有15－6＝9种，故答案为：9.]
课后习题(五十) 两个计数原理、排列与组合
1．(人教B版选择性必修第二册P24习题3－1AT5改编)已知某圆上有10个不同的点，过每2个点画一条弦，则所有这些弦的交点个数最多为( )
A．45 B．120 C．210 D．420
C [圆上每2个点画一条弦，每两条弦相交有1个交点，对应圆上的四个不同的点，这些弦的交点个数最多为C104＝210(个)．]
2．(人教A版选择性必修第三册P19例4改编)从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，可以组成的无重复数字的三位偶数的个数为( )
A．52 B．56 C．48 D．72
A [当个位为0时，共有A52＝5×4＝20(个)；当个位不为0时，共有A21A41A41＝2×4×4＝32(个)，所以综合可得，共有20＋32＝52(个)偶数．故选A.]
3．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从2名女生、4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．
16 [法一：可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有C21C42＝12(种)；第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有C22C41＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种)．
法二：从6人中任选3人，不同的选法共有C63＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C43＝4(种)，所以至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种)．]
4．(人教A版选择性必修第三册P12习题6.1T8改编)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．
45 54 [五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．]
5．(2024·河南郑州统考模拟)黄金分割最早见于古希腊和古埃及．黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的a，b两段，使得长线段a与原线段a＋b的比等于短线段b与长线段a的比，即a∶(a＋b)＝b∶a，其比值约为0.618 339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为( )
A．180 B．210
C．240 D．360
C [先把6，1，8，9排列，然后选两个空档插入3，总方法为A44C52＝240，故选C.]
6．(2023·广东深圳二模)现将5个代表团人员安排至甲、乙、丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住．若这5个代表团中A，B两个代表团已经入住甲宾馆且不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为( )
A．6 B．12 C．16 D．18
A [甲宾馆不再安排其他代表团入住，则乙、丙两家宾馆需安排余下的3个代表团入住，
所以一个宾馆住1个代表团，另一个宾馆住2个代表团，共有C32A22＝6(种)方法，故选A.]
7．(2024·江西南昌模拟预测)四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为( )
A．141 B．144 C．150 D．155
A [从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种；
第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，
它的4个顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，
∴不同的取法共有C104－4C64－6－3＝141(种)．
故选A.]
8．(2024年1月九省联考)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有( )
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
B [因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位．
①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有A22种方法，排甲有A21种方法，剩余两个位置两人全排列有A22种排法，
所以有A22×A21×A22＝8(种)方法；
②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有A22种方法，排甲有A21种方法，剩余两个位置两人全排列有A22种排法，
所以有A22×A21×A22＝8(种)方法．
由分类加法计数原理可知，一共有8＋8＝16(种)排法．
故选B.]
9．(2024·山东潍坊校联考模拟)从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是( )
A．360 B．396 C．432 D．756
B [从1，3，5，7中任取2个数字有C42种方法，从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有C32种方法，
可以组成C42C32C21A33＝216(个)没有重复数字的四位偶数；含有0时，0不能在千位位置，其他任意排列，共有C42C31(A33＋C21A22)＝180(个)，所以共有216＋180＝396(个)．故选B.]
10．某国际高峰论坛会议中，组委会要从5个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，每个媒体团提问一次，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( )
A．150 B．90 C．48 D．36
A [根据题意，要求提问的三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，分2种情况讨论：
①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有C51C32A33＝90(种)不同的提问方式；
②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，则国外媒体团要在中间位置发言，则有C52C31A22＝60(种)不同的提问方式．
综上，共有60＋90＝150(种)不同的提问方式，故选A.]
11．(2023·甘肃酒泉三模)某高校选派7名志愿者去参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动，已知这7名志愿者将去三个不同场馆服务，每个场馆至少2名志愿者，每名志愿者只到一个场馆服务，则不同安排方案有________种．
630 [因为7名志愿者分成3组，人数为2，2，3，有C73C42C22A22＝105(种)分法，
所以不同安排方法有105×A33＝630(种)．故答案为：630.]
12．(2024·重庆统考模拟)现有身高各不相同的10名男同学参加队列表演，按照比赛要求，需排成两列纵队，每列5人且前矮后高，则有________种排法．
252 [由题意，10名男同学选5人为一列，另5人为另一列，且每列排法只有一种，
所以共有C105＝252(种)．
故答案为：252.]
新高考卷三年考情图解
高考命题规律把握
1．常考点：计数原理、互斥事件与相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列与期望．
(1)从近几年的考题看，高考中出现的计数问题的难度与教材例题、习题的难度相当．重在考查对两个计数原理的理解及排列、组合知识的简单应用．
(2)互斥事件、独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列、期望与方差的计算，注重考查应用意识、阅读理解能力，主要考查数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养．
2．轮考点：二项式定理、古典概型、条件概率、全概率公式．
(1)古典概型的概率计算常与两个计数原理、排列与组合知识进行综合考查，一般难度不大．
(2)二项式定理通常以选择、填空题形式出现在高考试题中，难度较小，属于易得分题．
(3)随着高考改革的持续深入，对条件概率和全概率公式的应用要有足够的重视．
分类加法
计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法
分步乘法
计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
作为一组
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数
公式
Anm＝n(n－1)·(n－2)…(n－m＋1)＝n！n-m！
Cnm＝AnmAmm＝nn-1n-2…n-m+1m！
＝n！m！n-m！
性质
Ann＝n！，0！＝1
Cnn＝1，Cn0＝1
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