高三数学一轮复习第二章函数第八课时函数的零点及应用学案

这是一份高三数学一轮复习第二章函数第八课时函数的零点及应用学案，共14页。

考点一 判定函数零点所在区间
1．函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数y＝f (x)，x∈D，我们把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)，x∈D的零点．
注意：零点不是点，是满足f (x)＝0的实数x．
(2)三个等价关系
(3)函数零点存在定理
2．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)f (b)＜0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
[典例1] (1)(2024·东北师范大学附属中学第一次摸底考试)方程lg3x＋x＝2的解所在区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
(2)(2024·南通模拟)已知方程ln x＝11－2x的实数解为x0，且x0∈(k，k＋1)，k∈N*，则k＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(1)B (2)D [(1)设f (x)＝lg3x＋x－2，则方程lg3x＋x＝2的解所在区间即为f (x)零点所在区间，
∵y＝lg3x与y＝x－2在(0，＋∞)上均单调递增，
∴f (x)在(0，＋∞)上单调递增．
对于A，∵f (1)＝lg31＋1－2＝－1，
∴当x∈(0，1)时，f (x)<－1，A错误；
对于B，∵f (1)＝－1<0，f (2)＝lg32＋2－2＝lg32>0，即f (1)f (2)<0，
∴∃x0∈(1，2)，使得f (x0)＝0，B正确；
对于CD，当x>2时，f (x)>f (2)>0，
∴f (x)在区间(2，3)和(3，4)上无零点，CD错误．
故选B．
(2)令f (x)＝ln x＋2x－11，
由f (1)f (2)＝－9(ln 2－7)＞0，
f (2)f (3)＝(ln 2－7)(ln 3－5)＞0，
f (3)f (4)＝(ln 3－5)(ln 4－3)＞0，
f (4)f (5)＝(ln 4－3)(ln 5－1)＜0，
可知k＝4．]
本例(1)中，解决的关键是将求方程解所在区间转化为求函数f (x)＝lg3x＋x－2的零点所在区间，结合零点存在定理对所给的选项一一验证即可．本例(2)亦相同处理．
跟进训练1 函数f (x)＝x－lg12x＋1的零点所在的区间为( )
A．0，14B．14，13
C．13，12D．12，1
C [∵y＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，y＝－lg12x在(0，＋∞)上单调递增，
∴函数f (x)＝x－lg12x＋1在(0，＋∞)上单调递增，
∵f 14＝14－lg1214＋1＝－34<0，
f 13＝13－lg1213＋1＝43－lg23＝lg21613－lg22713<0，
f 12＝12－lg1212＋1＝12>0，
∴函数f (x)＝x－lg12x＋1的零点所在的区间为13 ，12．
故选C．]
考点二 确定函数零点个数
函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点；
(2)用零点存在定理再结合函数的单调性确定零点个数；
(3)利用函数图象的交点个数判断．
[典例2] (1)函数f (x)＝x2+x-2，x≤0-1+lnx，x>0的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数为________．
(1)B (2)1 [(1)由f (x)＝0得，
x≤0，x2+x-2=0或x>0，-1+lnx=0，
解得x＝－2或x＝e．
因此函数f (x)共有2个零点．
故选B．
(2)令f (x)＝0，可得方程ln x＋x2－3＝0，即ln x＝3－x2，
故原函数的零点个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象(如图)．
由图可知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，
故函数f (x)＝ln x＋x2－3只有一个零点，
故答案为1．]
在本例(1)中，可根据零点的定义直接计算函数零点，进而得出零点个数；本例(2)中，求函数f (x)＝ln x＋x2－3的零点个数，转化为函数y＝3－x2与y＝ln x图象的交点个数，作出图象后观察其交点个数即可．
跟进训练2 函数f (x)＝|x2－2x|－a2－1(a＞0)的零点的个数是________．
2 [令f (x)＝0，则|x2－2x|＝a2＋1．
因为a＞0，所以a2＋1＞1．
作出函数y＝|x2－2x|的图象如图所示，
所以函数y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点，因此函数f (x)＝|x2－2x|－a2－1有两个零点．]
考点三 根据函数零点求参数范围
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
[典例3] (1)(2023·山西阳泉统考三模)函数f (x)＝lg2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－5) B．(－5，－1)
C．(1，5) D．(5，＋∞)
(2)已知函数f (x)＝ex –a，x≤0，2x-a，x>0 a∈R，若函数f (x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1] B．[1，＋∞)
C．(0，1) D．(－∞，1]
(1)B (2)A [(1)由y1＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f (x)＝lg2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，
因为函数f (x)＝lg2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点，
所以f1<0，f2>0，即lg21+12+m<0，lg22+22+m>0，
解得－5所以实数m的取值范围是(－5，－1)．
故选B．
(2)画出函数f (x)的大致图象如图所示．因为函数f (x)在R上有两个零点，所以f (x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f (x)有一个零点，需00时，f (x)有一个零点，需－a<0，即a>0．
综上，0 本例(1)中，解题的关键是先判断函数的单调性，再结合零点存在定理，解f1<0f2>0，得m的取值范围；本例(2)中，解决的关键是作出函数f (x)的图象．
跟进训练3 (1)(2024·江苏南通高三校联考阶段练习)已知函数f (x)＝ex-1－e1-x＋4，若方程f (x)＝kx＋4－k(k>0)有三个不同的根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝( )
A．4 B．3
C．2 D．k
(2)函数f (x)＝2x－3x－a的一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是( )
A．(7，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(7，＋∞) D．(－1，7)
(1)B (2)D [(1)由题意，设h(x)＝ex－e－x，因为h(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－h(x)，且h(x)的定义域为R，所以h(x)＝ex－e－x为奇函数，
f (x)由函数h(x)＝ex－e－x向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，
所以f (x)的图象关于点(1，4)对称．
而f (x)＝kx＋4－k＝k(x－1)＋4所表示的直线也关于点(1，4)对称，
所以方程f (x)＝kx＋4－k的三个实根x1，x2，x3中必有一个为1，另外两个关于x＝1对称，所以x1＋x2＋x3＝3．故选B．
(2)因为y＝2x和y＝－3x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f (x)＝2x－3x－a在(0，＋∞)上单调递增，
所以只需f (1)·f (3)<0即可，即(－1－a)·(7－a)<0，解得－1故选D．]
课后习题(十二) 函数的零点及应用
1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)若函数f (x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是( )
A．15，+∞B．-1，15
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)∪15，+∞
D [当a＝0时，f (x)＝1，函数y＝f (x)的图象与x轴无交点，不符合题意，所以a≠0，所以函数f (x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)上单调，所以f (－1)·f (1)<0，即(5a－1)(a＋1)>0，解得a<－1或a>15．故选D．]
2．(北师大版必修第一册P131例1改编)函数f (x)＝x＋lg2x的零点所在的区间为( )
A．13，12B．12，23
C．23，34D．34，1
B [f (x)＝x＋lg2x在(0，＋∞)上单调递增，
f 13＝13＋lg213＝13－lg23<13－lg22
＝－23<0，f 12＝12＋lg212＝－12<0，
f 23＝23＋lg223＝53－lg23＝135-3lg23＝13(lg232－lg227)>0，则函数f (x)＝x＋lg2x的零点所在的区间为12，23．]
3．(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f (x)对应值表，那么函数f (x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
B [由数表可知，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0．
则f (2)f (3)<0，f (3)f (4)<0，f (4)f (5)<0，
又函数f (x)的图象是连续不断的，
由零点存在定理可知，函数分别在(2，3)，(3，4)，(4，5)上至少各一个零点，
因此在区间[1，6]上的零点至少有3个．
故选B．]
4．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T4改编)已知函数f (x)＝2x-1，x<1，-x-12，x≥1，若函数g(x)＝f (x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(0，1]
C．(－1，0] D．[0，1)
D [函数g(x)＝f (x)－k有两个不同的零点，
即为函数y＝f (x)的图象与直线y＝k有两个交点，
函数y＝f (x)的图象如图所示，
所以k∈[0，1)．
故选D．]
5．(2024·广东深圳阶段练习)函数f (x)＝lg2x＋2x－7的零点一定位于区间( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(5，6)
B [因为f (2)＝lg22＋2×2－7＝－2<0，f (3)＝lg23＋2×3－7＝lg23－1＝lg23－lg22>0，
所以，f (2)f (3)<0，
又f (x)＝lg2x＋2x－7在(0，＋∞)上连续不间断，且单调递增，
所以f (x)＝lg2x＋2x－7的零点一定位于区间(2，3)，故选B．]
6．(多选)函数f (x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
AD [f (－2)＝1e2>0，f (－1)＝1e－1<0，
f (0)＝－1<0，f (1)＝e－3<0，
f (2)＝e2－4>0，
因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0，
所以f (x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点．]
7．(2024·潍坊市四县高三模拟)函数f (x)＝(x2－x)·ln |2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
A [求函数f (x)＝(x2－x)ln 2x-3在区间[－2，2]上的零点个数，
转化为方程(x2－x)ln |2x－3|＝0在区间[－2，2]上的根的个数．
由(x2－x)ln |2x－3|＝0，得x2－x＝0或ln |2x－3|＝0，
解得，x＝0或x＝1或x＝2，
所以函数f (x)＝(x2－x)ln |2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数为3．
故选A．]
8．(2024·吕梁模拟)函数f (x)＝13x－ln x的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [由题设，f ′(x)＝13－1x＝x-33x且f (x)定义域为(0，＋∞)，
所以在(0，3)上f ′(x)<0，在(3，＋∞)上f ′(x)>0，
即f (x)在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
所以f (x)的极小值为f (3)＝1－ln 3<0，
又因为f 1e＝13e＋1>0，f (e2)＝e23－2>0，
则函数f (x)在(0，3)，(3，＋∞)上各有一个零点，共有2个零点．
故选B．]
9．(2024·南开中学校考期末)已知函数f (x)＝2x，x≤0，lg2x，x>0，若函数g(x)＝f (x)＋m有两个零点，则m的取值范围是( )
A．[－1，0) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，1]
A [g(x)存在两个零点，等价于y＝－m与y＝f (x)的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：
由图可知，若两函数图象有两个交点，则0<－m≤1，解得m∈[－1，0)．
故选A．]
10．(多选)(2024·广东佛山阶段练习)已知函数f (x)＝x-1，x≤2，5-x，x>2，则( )
A．f (f (－4))＝4
B．不等式f (x)>0解集为(－∞，5)
C．方程f (x)＝3有两个解
D．若aCD [对于A：f (－4)＝-4-1＝5，
∴f (f (－4))＝f (5)＝5－5＝0，故A错误；
对于B，C，D：作f (x)的图象如图所示，
不等式f (x)>0解集为(－∞，1)∪(1，5)，故B错误；
1<3<3，由图知，y＝3的图象与f (x)的图象有且仅有2个交点，
∴方程f (x)＝3有两个解，故C正确；
令f (a)＝f (b)＝f (c)＝t，y＝t图象与f (x)的图象相交于如图所示3点，
∵5－x＝1，解得x＝4，
∴4≤c<5，
易知y＝x-1的对称轴为x＝1，
∴a＋b＝2×1＝2，
∴a＋b＋c∈[6，7)，故D正确．
故选CD．]
11．(多选)设函数f (x)＝1，x=2，lgax-2+1，x≠2，a>1．
若函数g(x)＝[f (x)]2＋bf (x)＋c有三个零点x1，x2，x3，则下列说法正确的是( )
A．b的值为－2
B．c的值为1
C．a的值无法确定
D．x1x2＋x2x3＋x1x3＝10
ABC [作出函数f (x)的大致图象如图所示，由图可得关于x的方程f (x)＝t的根有两个或三个(t＝1时有三个，t≠1时有两个)，所以关于t的方程t2＋bt＋c＝0只能有一个根t＝1(若有两个根，则关于x的方程[f (x)]2＋bf (x)＋c＝0有四个或五个根)，由根与系数的关系得－b＝1＋1，c＝1×1＝1，得b＝－2，所以A，B正确；不妨设x1＜x2＜x3，令f (x)＝1，可得x1，x2，x3的值分别为1，2，3，则x1x2＋x2x3＋x1x3＝1×2＋2×3＋1×3＝11，由lga|1－2|＋1＝1，得a0＝1(a＞1)，故a的值无法确定，所以C正确，D错误．]
12．已知函数f (x)＝lnx，x>0，x+2，x≤0，若函数y＝f (x)－a2有3个零点，则实数a的取值范围是________．
[－2，0)∪(0，2] [由函数解析式可得函数图象如图所示，
要使函数y＝f (x)－a2有3个零点，
即y＝f (x)的图象与y＝a2有三个交点，
由图知：0故答案为[－2，0)∪(0，2]．]
x
1
2
3
4
5
6
7
f (x)
123.5
21.5
－7.82
11.57
－53.7
－126.7
－129.6