高考数学一轮复习第二章微专题嵌套函数的零点问题学案

这是一份高考数学一轮复习第二章微专题嵌套函数的零点问题学案，共3页。

类型一 判断嵌套函数零点的个数
【例1】已知函数f (x)＝lnx－1x，x>0，x2+2x，x≤0，则函数y＝f [f (x)＋1]的零点个数是( )
A．2B．3
C．4D．5
D 解析：令t＝f (x)＋1＝lnx－1x+1，x>0，x+12，x≤0.
①当t>0时，f (t)＝ln t－1t，则函数f (t)在(0，＋∞)上单调递增，
由于f (1)＝－1<0，f (2)＝ln 2－12>0，
由零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f (t1)＝0；
②当t≤0时，f (t)＝t2＋2t，由f (t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.
作出函数t＝f (x)＋1，直线t＝t1，t＝－2，t＝0的图象如图所示．
由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f (x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f (x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f (x)＋1的图象有且只有一个交点．综上所述，函数y＝f [f (x)＋1]的零点个数为5.
解决嵌套函数零点个数的一般步骤
(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f (t)的零点．
(2)依次解方程，令f (t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
类型二 由嵌套函数零点的个数求参数问题
【例2】已知函数f (x)＝－x2+2x，x≥0，x2－2x，x<0，若关于x的不等式[f (x)]2＋af (x)－b2<0恰有1个整数解，则实数a的最大值是( )
A．2B．3
C．5D．8
D 解析：由题设，分段函数的图象如下：
①若b＝0，则[f (x)]2＋af (x)－b2<0即为f x2＋af (x)<0.
当a>0时，－a又因为关于x的不等式[f (x)]2＋af (x)－b2<0恰有1个整数解，
所以其整数解必为3，且f (4)≤－a又f (3)＝－3，f (4)＝－8，所以3a≤0不必考虑．
②若b≠0，因为[f (x)]2＋af (x)－b2<0有解，所以Δ＝a2 ＋4b2>0，
解得－a－a2+4b22＜f (x)＜－a+a2+4b22，其中－a－a2+4b22＜0＜－a+a2+4b22.
由于当f (x)＝0时，不等式的解集中含有2个整数解{0，2}，故舍去．
综上，a的最大值为8.故选D．
已知函数零点的个数求参数范围时，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围．