高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册第七章 随机变量及其分布 讲义

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第七章 随机变量及其分布 章节复习 夯实、拓展、感悟与提升一、夯实双基，逐层认知本章知识网络重点1 条件概率与全概率公式、贝叶斯公式 例1 （1）甲、乙、丙三人到三个景点旅游,每人只去一个景点，设事件 “三个人去的景点不相同”，“甲独自去一个景点”，则概率等于　(　　)A. B. C. D. 【解析】由题意可知, ，所以. 故选C.例1（2）某种电子元件用满3000小时不坏的概率为 QUOTE 34 ,用满8000小时不坏的概率为 QUOTE 12 .现有一只此种电子元件,已经用满3000小时不坏,还能用满8000小时的概率是(　　)A. QUOTE 34  B. C. D. 【解析】记事件“用满3000小时不坏”,记事件“用满8000小时不坏”,则.所以，，故选B.例1（3）某地一农业科技实验站,对一批新水稻种子进行试验,已知这批水稻种子的发芽率为0.8,出芽后的幼苗成活率为0.9,在这批水稻种子中,随机地抽取一粒,则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为　(　　)A.0.02 B.0.08 C.0.18 D.0.72【解析】设事件“这粒水稻种子发芽”,事件“这粒水稻种子成长为幼苗(发芽,又成长为幼苗)”, 事件“这粒水稻种子出芽后能成活”,由,由条件概率计算公式，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72，故选D例1（4）现有12道四选一的单选题，小强对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案， 猜对答案的概率为0.25.小强从这12道题中随机选择1题，则他做对该题的概率是_______.【解析】设“选到有思路的题”，“选到的题做对”，由全概率公式，得0.737 5【答案】0.737 5例1（5）两批同种规格的产品，第一批占40%， 次品率为5%;第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件.（1）求这件产品是合格品的概率;（2）已知取到的是合格品， 求它取自第一批产品的概率.【解析】设 “取到合格品”，“取到的产品来自第批”()，则，（1）由全概率公式，得（2）由贝叶斯公式，得重点2 离散型随机变量及其分布列、均值（数学期望）与方差例2（1）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求的分布列．【解析】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则（2）的可能取值为200,300,400.，， 所以的分布列为例2（2）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素的含量(单位：mg)，下表是乙厂的5件产品测量数据.（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中微量元素满足时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数的分布列和均值及方差．【解析】（1）设乙厂生产的产品为件，依题意得，所以.（2）因为上述样本数据中满足的只有2件，所以估计乙厂生产的优质品为 (件)．（3）依题意，可取0,1,2，则，，所以的分布列为所以 重点3 二项分布、超几何分布例3（1）（多选）下列结论中，正确的是（ ）A. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，若表示“正面朝上”出现的次数，则B. 小鸡接种疫苗后，有80%可以免疫，若5只鸡接种了疫苗，则恰有1只鸡感染病毒的概率为0.409 6C. 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数D. 100 件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数.【解析】对于A，，所以，，A正确；对于B，设5只接种疫苗的小鸡感染病毒的只数为，则，所以0.409 6，B正确；对于C，每道题猜对与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，这是一个12重伯努利试验，正确；对于D，每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件，错误，故选ABC例3（2）高一（5）班要从8名男生4名女生中选出4人参加混合接力赛，每名女生都有相同的机会被选入，则恰好有2名女生被选到的概率是________.【解析】设选到的4人中女生的人数为，则服从超几何分布， 所以【答案】例3（3）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和均值.【解析】（1）设事件“从甲箱中中摸出的1个球是红球”，“从乙箱中摸出的1个球是红球”，“顾客抽奖1次获一等奖”，“顾客抽奖1次获二等奖”，“顾客抽奖1次能获奖”，由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，因为，，所以，所以，所以所求概率为.（2）由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，且每次抽奖是独立的，是一个3重伯努利试验， 所以，，，，所以的分布列为于是的均值为 .例3（4）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和均值．【解析】（1）由已知，有所以事件发生的概率为.（2）随机变量的所有可能取值为1,2,3,4. 所以，随机变量的分布列为所以随机变量的均值重点4 连续型随机变量、正态分布例4（1）已知随机变量服从正态分布，且，则 等于(　　)A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6【解析】因为随机变量，所以正态分布曲线的对称轴是直线.又因为，所以，因此，故选C　例4（2）某校高三年级在一次月考中约有600人参加考试，数学考试的成绩( ，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人．【解析】因为数学成绩，所以其正态分布曲线关于直线对称，又，所以所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有 (人)． 【答案】120例4（3）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩服从正态分布 (满分为100分)，已知，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．（1）求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有1位同学的概率；（2）记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]内的人数为，求随机变量的分布列和均值.【解析】（1）由题知，， 所以所求概率.（2） 所以服从二项分布， ，， ，所以随机变量的分布列是所以随机变量的均值二、拓展思维，熟知方法1. 高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则甲、丙相邻的概率是____.【解析】设事件 “甲、乙二人相邻”，事件“甲、丙二人相邻”，则所求概率为,由于,而,表示事件“甲与乙、丙都相邻”,所以,于是.【答案】 2. 如图,三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，已知取到的条件下，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________.【解析】设事件“任取的三个数中有”，事件“三个数至少有两个数位于同行或同列”，则“三个数互不同行且互不同列”.依题意可知,所以,所以.即已知取到的条件下,至少有两个数位于同行或同列的概率为 QUOTE 1314 .【答案】3. 若随机变量服从正态分布，且0.158 7，则________.【解析】由题意可知正态分布密度函数的图象关于直线对称，得0.158 7，所以10.158 70.841 3.【答案】0.841 3三、感悟问题，提升能力1. 投掷两颗均匀骰子,已知点数不同,设两颗骰子点数之和为,则________.【解析】方法一：投掷两颗骰子,其点数不同的所有可能结果共30种,其中点数之和的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),共11种,所以所求概率.方法二：设 “投掷两颗骰子,其点数不同”, “”,则,所以.【答案】 QUOTE 1130 2. 十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？【解析】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次.所以，从低层到顶层停不少于3次的概率设从低层到顶层停次，则其概率为，所以当或时，最大，即最大，答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．3. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.（1）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【解析】（1）随机变量的所有可能的值为0,1,2,3，，，.所以，随机变量的分布列为所以随机变量的数学期望.（2）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.4. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者和4名女志愿者，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的频率；（2）用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列与均值.【解析】（1）设接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，则 （2）由题意知可能的取值为0,1,2,3,4, 则 ， ，，的分布列为所以5. 某校四门课外选修课的学生人数如下表，现用分层抽样的方法从中选取15人参加学校的座谈会.（1）应分别从四门课中各抽取多少名学生;（2）从抽取的15名学生中再随机抽取2人，求这2人的选修课恰好不同的概率; （3）若从两门课中抽取的学生中再随机抽取3人，用表示其中选修的人数，求的分布列和均值.【解析】（1）应分别从四门课中各抽取的学生人数为2,3,4,6人 （2）这2人的选修课恰好不同的概率为． （3）根据题意知可能的值为0,1,2,3 ，，，． 的分布列为所以． 6. 某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【解析】（1）设事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，所以（2）设事件 “一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，所以又，所以因此一续保人本年度的保费高于基本保费的概率为 （3）记续保人本年度的保费为，则的分布列为所以因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为200300400编号1234516917816617518075807770810120123123401230.2160.4320.2880.064012301234选修课学生人数A20B30C40D600123上年度出险次数012345保费0.851.251.51.752一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05