广西专版2023_2024学年新教材高中数学第7章随机变量及其分布7.3.2离散型随机变量的方差训练提升新人教版选择性必修第三册

7.3.2　离散型随机变量的方差

课后·训练提升

基础巩固

1.设一随机试验的结果只有A和,且P(A)=m,定义随机变量X=则D(X)等于(　　)

A.m B.2m(1-m)

C.m(m-1) D.m(1-m)

答案:D

解析:随机变量X的分布列为

因此E(X)=0×(1-m)+1×m=m,故D(X)=(0-m)2×(1-m)+(1-m)2×m=m(1-m).

2.已知随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.7,则E(X)和D(X)的值分别为(　　)

A.0.6和0.7 B.1.7和0.09

C.0.3和0.7 D.1.7和0.21

答案:D

解析:由题意得E(X)=1×0.3+2×0.7=1.7,D(X)=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21.

3.如果X是离散型随机变量,E(X)=6,D(X)=0.5,X1=2X-5,那么E(X1)和D(X1)分别是(　　)

A.E(X1)=12,D(X1)=1

B.E(X1)=7,D(X1)=1

C.E(X1)=12,D(X1)=2

D.E(X1)=7,D(X1)=2

答案:D

解析:由题意得E(X1)=2E(X)-5=12-5=7,D(X1)=4D(X)=4×0.5=2.

4.(多选题)下列说法中错误的是(　　)

A.离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值

B.离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平

C.离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平

D.离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值

答案:ABD

解析:E(X)反映了X取值的平均水平,D(X)反映了X取值的离散程度.

5.已知随机变量X的分布列如下:

若E(X)=2,则D(X)的最小值等于(　　)

A. B.2 C.1 D.0

答案:D

解析:由题意得a=1-,

所以E(X)=m+n=2,即m+2n=6.

又D(X)=×(m-2)2+×(n-2)2=2(n-2)2,所以当n=2时,D(X)取最小值为0.

6.设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)=　　　　　,D(X)=　　　　　. 

答案:2　8

解析:随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,

则E(Y)=2E(X)+b=4+b,即E(X)=2.

∵D(Y)=4D(X)=32,∴D(X)=8.

7.随机变量X的分布列如下,其中a,b,c成等差数列.若E(X)=,则D(X)的值为　　　　　. 

答案:

解析:因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.

又因为a+b+c=1,所以b=.

又因为E(X)=a+2b+3c=,所以a=,b=,c=,所以X的分布列为

所以D(X)=2×+2×+2×.

8.已知随机变量X的分布列为

若E(X)=.

(1)求D(X)的值;

(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.

解由+p=1,得p=.

又E(X)=0×+1×x=,解得x=2.

(1)D(X)=2×+2×+2×.

(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.

9.在一轮投篮练习中,每名选手最多可投篮4次,现规定一旦命中即停止该轮练习,否则一直试投到4次为止.已知一选手的投篮命中率为0.7,求一轮练习中该选手的实际投篮次数X的分布列,并求X的期望与方差.(结果精确到0.01)

解X的可能取值为1,2,3,4.

X=1表示第一次即投中,则P(X=1)=0.7;

X=2表示第一次未投中,第二次投中,则P(X=2)=(1-0.7)×0.7=0.21;

X=3表示第一、二次未投中,第三次投中,则P(X=3)=(1-0.7)2×0.7=0.063;

X=4表示前三次未投中,则P(X=4)=(1-0.7)3=0.027.

因此X的分布列为

E(X)=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.417≈1.42.

D(X)=(1-1.417)2×0.7+(2-1.417)2×0.21+(3-1.417)2×0.063+(4-1.417)2×0.027≈0.53.

能力提升

1.设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,随机变量X1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量X2取值的概率也均为0.2,若记D(X1),D(X2)分别为X1,X2的方差,则(　　)

A.D(X1)>D(X2) 

B.D(X1)=D(X2)

C.D(X1)<D(X2) 

D.D(X1)与D(X2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关

答案:A

解析:由题意可知E(X1)=E(X2),

又因为10≤x1<<x2<<x3<<x4≤104<<x5=105,

所以X1的波动性较大,从而有D(X1)>D(X2).

2.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,若E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为(　　)

A. B. C.3 D.

答案:C

解析:∵E(X)=x1+x2=,

∴x2=4-2x1,D(X)=2×+2×.

∵x1<x2,∴∴x1+x2=3.

3.已知A1,A2为两所高校举行的考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过高校的个数为随机变量X,则D(X)=(　　)

A. B. 

C. D.

答案:A

解析:因为X的取值为0,1,P(X=0)=×=,P(X=1)=+×,

所以E(X)=0×+1×,D(X)=2×+2×.

故选A.

4.设a,b∈,随机变量X的分布列如表所示,则(　　)

A.E(X)增大,D(X)增大

B.E(X)增大,D(X)减小

C.E(X)为定值,D(X)先增大后减小

D.E(X)为定值,D(X)先减小后增大

答案:D

解析:由题意可得a+b+=1,所以b=-a,

E(X)=0×a+2a×+1×b=a+-a=,

D(X)=×a+2×+2×b=2a2-a+=2.

因为a∈,所以当a∈时,D(X)单调递减,当a∈时,D(X)单调递增,故选D.

5.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表所示.

若历史气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300 mm,700 mm,900 mm的概率分别为0.3,0.7,0.9,则工期延误天数Y的方差为　　　　　. 

答案:9.8

解析:由已知可得,P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,

P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,

P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.

所以随机变量Y的分布列为

故E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,

D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.

故工期延误天数Y的方差为9.8.

6.最近,李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财,提出了三种方案.

方案一:

李师傅的儿子认为:根据股市收益大的特点,应该将10万元全部用来买股票.据分析预测:投资股市一年后可以获利40%,也可能亏损20%(假设只有这两种可能),且获利的概率为;

方案二:

李师傅认为:现在股市风险大,基金风险较小,应将10万元全部用来买基金.据分析预测:投资基金一年后可能获利20%,可能损失10%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为;

方案三:

李师傅的妻子认为:投资股市、基金均有风险,应该将10万元全部存入银行一年,现在存款年利率为3%.

针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方案,并说明理由.

解若按方案一执行,设收益为X万元,则其分布列为

X的数学期望E(X)=4×+(-2)×=1.

若按方案二执行,设收益为Y万元,则其分布列为

Y的数学期望E(Y)=2×+0×+(-1)×=1.

若按方案三执行,收益y=10×3%=0.3,

因此E(X)=E(Y)>y.

又D(X)=(4-1)2×+(-2-1)2×=9,D(Y)=(2-1)2×+(0-1)2×+(-1-1)2×.

由以上可知D(X)>D(Y).

这说明虽然方案一、二收益均相等,但方案二更稳妥.所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理.

7.投资A,B两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为

投资A项目的利润率分布列

投资B项目的利润率分布列

(1)若在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(单位:万元)和Y2(单位:万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);

(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出当x为何值时,f(x)取得最小值.

解(1)由题意知,Y1和Y2的分布列分别为

E(Y1)=5×0.8+10×0.2=6,D(Y1)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4;

E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D(Y2)=(2-8)2×0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12.

(2)f(x)=D+D

=D(Y1)+D(Y2)

=[x2+3(100-x)2]

=(4x2-600x+30000).

所以,当x==75时,f(x)取得最小值3.