高考数学一轮题型归纳(新高考地区专用)考点29等差数列及其n项和12种常见考法归类(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮题型归纳(新高考地区专用)考点29等差数列及其n项和12种常见考法归类(原卷版+解析)，共85页。试卷主要包含了利用定义求等差数列的通项公式，等差数列的基本运算，等差数列的判定与证明，等差数列的性质，等差数列前n项和的性质，含绝对值的等差数列的前n项和，含取整符号的等差数列的前n项和，等差数列前n项和的最值问题等内容，欢迎下载使用。

考点一 利用定义求等差数列的通项公式
考点二 利用Sn与an的关系求等差数列通项公式
考点三 等差数列的基本运算
（一）等差数列通项公式及其应用
（二）等差数列前n项和的有关计算
（三）与数学文化的结合
考点四 等差数列的判定与证明
考点五 等差数列的性质
（一）等差中项的应用
（二）利用等差数列性质计算及应用
考点六 等差数列前n项和的性质
（一）等差数列前n项和与中项性质
（二）等差数列片段和的性质
（三）等差数列前n项和与n的比值问题
（四）两个等差数列前n项和的比值问题
（五）等差数列偶数项或奇数项的和
考点七 含绝对值的等差数列的前n项和
考点八 含取整符号的等差数列的前n项和
考点九 等差数列前n项和的最值问题
考点十 等差数列中的单调性与最值问题
考点十一 等差数列的综合问题
考点十二 等差数列的实际应用
1. 等差数列的概念
(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即an－an－1＝d
(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋).
注：在等差数列{an}中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为an＋1＝eq \f(an＋an＋2,2)，等价于an＋an＋2＝2an＋1，以及an＋1－an＝an＋2－an＋1.
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
2. 等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是. 该式又可以写成an＝nd＋(a1－d)，这表明d≠0时，an是关于n的一次函数，且d>0时是增函数，d<0时是减函数.
(2)等差数列通项公式的变形及推广
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．
(3)前n项和公式：Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d. 该式又可以写成Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，这表明d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下.
3. 等差数列的前n项和公式与函数的关系
(1)Sn＝eq \f(na1＋an,2) eq \(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\d5( ))Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n
(2)数列是等差数列⇔（为常数）．若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{an}从第2项起成等差数列.
(3)当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下.
4. 等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．
5.解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)结合使用．
6.特殊设法:
三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
7.由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系：
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
②若a1不适合an，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
8.等差数列的判定与证明方法
9. 等差数列的性质
(1)与项有关的性质
①等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝eq \f(an－am,n－m).
②在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
注：出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值．
③若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列.
④若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)也是等差数列，且公差为λ1d1＋λ2d2.
⑤数列{an}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项ak，ak＋m，ak＋2m，…，组成的数列仍是等差数列，公差为md.
⑥如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
(2)与和有关的性质
①等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列，公差为n2d；
②记S偶为所有偶数项的和，S奇为所有奇数项的和.
若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an)(S奇≠0)；
若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n－1,n)(S奇≠0).
③若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．
④两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn 之间的关系为eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1) (bn≠0，T2n－1≠0).
⑤等差数列中，,则,.
⑥等差数列中，若，则．
⑦等差数列中，若，则．
注：等差数列中，若，则
10.其他衍生等差数列．
若已知等差数列，公差为，前项和为，则：
①等间距抽取为等差数列，公差为．
②等长度截取为等差数列，公差为．
③算术平均值为等差数列，公差为．
11. 等差数列前n项和的最值
(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．
①若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最大值.
在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；
②若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值.
若，则满足的项数使得取得最小值．
③若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
(2)函数法：利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；
(3)数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.
(4)在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.
12.与等差数列单调性有关的问题
（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”．
（2）数列的单调性与，的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”．
13.关于奇偶项问题的讨论
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
14.对于含绝对值的数列求和问题
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
15.等差数列的实际应用
(1)与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．
考点一 利用定义求等差数列的通项公式
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________.
2．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知数列满足，，，，则数列的前10项和（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则=（ ）
A．80B．100C．120D．143
4．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）数列中，，（为正整数），则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则______．
6．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．
7．（2023·福建南平·统考模拟预测）设为数列的前n项积．已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
考点二 利用Sn与an的关系求等差数列通项公式
8．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若，且，则__________.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．2nC．D．
10．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知为数列的前项和，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明：．
11．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）数列的前项和为，，若该数列满足，则下列命题中错误的是（ ）
A．是等差数列B．
C．D．是等比数列
12．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．3D．2
13．（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．数列为等差数列D．－5050
考点三 等差数列的基本运算
（一）等差数列通项公式及其应用
14．（2023·江西赣州·统考二模）等差数列满足，，则（ ）
A．5B．7C．9D．11
15．（2023·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（ ）．
A．3B．5C．7D．9
16．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知等差数列满足，．
(1)求；
(2)数列满足，为数列的前项和，求．
（二）等差数列前n项和的有关计算
17．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则 （ ）
A．54B．71C．80D．81
18．（2023·青海海东·统考模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．44B．48C．55D．72
19．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于（ ）
A．10B．15C．20D．25
20．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知等差数列满足，则的前20项和（ ）
A．200B．300C．210D．320
21．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）设等差数列的前n项和为，，，则满足的正整数n的最大值为（ ）
A．16B．15C．12D．8
22．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2020项和为（ ）
A．B．C．D．
（三）与数学文化的结合
23．（2023·江西抚州·统考模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第12月营收贯数为（ ）
A．64B．66C．68D．70
24．（2023·江苏南通·统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
25．（2023·全国·高三专题练习）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A．3339块B．3402块C．3474块D．3699块
26．（2023·广东深圳·校考二模）宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n层的圆球总数为，容易发现：，，，则（ ）
A．45B．40C．35D．30
27．（2023·全国·高三专题练习）公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的纽带；下图为五角形数的前4个，现有如下说法：①第9个五角形数比第8个五角形数多25；②前8个五角形数之和为288；③记所有的五角形数从小到大构成数列，则的前20项和为610；则正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
考点四 等差数列的判定与证明
28．（2023·浙江温州·统考三模）已知数列各项为正数，满足，，则（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
29．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.
(1)证明：数列是等差数列，
(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.
30．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
31．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
32．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）设，向量，，．
(1)令，求证：数列为等差数列；
(2)求证：．
考点五 等差数列的性质
（一）等差中项的应用
33．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，其前n项和为，若，则（ ）
A．B．0C．2D．4
34．（2023秋·广西防城港·高三防城港市高级中学校考阶段练习）已知，，且是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
35．（2023·全国·模拟预测）设为正项等比数列的前项和．若，且，，成等差数列，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
36．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若成等差数列，且的面积为，则（ ）
A．B．2C．D．
（二）利用等差数列性质计算及应用
37．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）在等差数列中，已知，那么（ ）
A．B．C．D．
38．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
39．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）数列是等差数列，若，，则（ ）
A．B．4C．D．
40．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知等差数列满足，，则（ ）
A．25B．35C．40D．50
41．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知等差数列满足，则的值为（ ）
A．－3B．3C．－12D．12
42．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（ ）
A．2033B．2123C．123D．0
考点六 等差数列前n项和的性质
（一）等差数列前n项和与中项性质
43．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．33B．66C．22D．44
44．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．150B．120C．75D．60
45．（2023·河南·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，且，则______．
46．（2023·青海玉树·统考模拟预测）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．4B．8C．12D．16
（二）等差数列片段和的性质
47．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0B．C．D．
48．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列的前项和为，，则（ ）
A．9B．C．12D．
49．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（ ）
A．110B．150
C．210D．280
50．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10B．－20C．－120D．－110
（三）等差数列前n项和与n的比值问题
51．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列 的前项和为， 若且， 则（ ）
A．25B．45C．55D．65
52．（2023·全国·高三专题练习）等差数列中，，前项和为，若，则______.
53．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．是数列中的项
C．数列中的最小项为D．数列是等差数列
54．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当且仅当时，取得最大值
D．若，，则当或14时，取得最大值
（四）两个等差数列前n项和的比值问题
55．（2023·全国·高三专题练习）若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______.
56．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
57．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
58．（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
59．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
60．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（ ）
A．B．C．D．
61．（2023秋·四川甘孜·高三校考阶段练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0，若a5=3a3，则（ ）
A．B．C．D．
（五）等差数列偶数项或奇数项的和
62．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．B．C．D．
63．（2023·重庆·统考二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
64．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
考点七 含绝对值的等差数列的前n项和
65．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣5n+2，则数列{|an|}的前10项和为（ ）
A．56B．58C．62D．60
66．【多选】（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知数列的前项和，则（ ）
A．B．不是等差数列
C．数列中最小D．
67．【多选】（2023春·河北石家庄·高二校考开学考试）已知为等差数列，，则（ ）
A．的公差为2B．的公差为3
C．的前50项和为900D．的前50项和为1300
考点八 含取整符号的等差数列的前n项和
68．（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考期中）等差数列满足 ，，记，其中表示不超过x的最大整数，则（ ）
A．1000B．2445C．1893D．500500
69．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期中）为不超过的最大整数，设为函数的值域中所有元素的个数.若数列的前项和为，则___________.
70．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考阶段练习）已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前2000项的和为______.
71．（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）等差数列中，，.
(1)设，求数列的前7项和，其中表示不超过x的最大整数，如，；
(2)设，是数列的前n项和，求证：.
考点九 等差数列前n项和的最值问题
72．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等差数列{}的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
73．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（ ）
A．8B．9C．10D．11
74．（2023·全国·高三专题练习）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
75．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（ ）①为的最小值 ② ③， ④为的最小值
A．1B．2C．3D．4
76．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知数列满足：对恒成立，且，其前n项和有最大值，则使得的最大的n的值是（ ）
A．10B．12C．15D．17
77．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A．数列的最小项为第项B．
C．D．时，的最大值为
78．（2023秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为______.
考点十 等差数列中的单调性与最值问题
79．【多选】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，是公差大于0的等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
80．【多选】（2023秋·福建宁德·高二统考期末）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
81．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）是各项均为正数的等差数列，其公差，是等比数列，若，，和分别是和的前项和，则（ ）
A．B．
C．D．和的大小关系不确定
82．（2023·全国·高三专题练习）已知是数列的前n项和，，，当数列的前n项和取得最大值时，n的值为（ ）
A．30B．31C．32D．33
考点十一 等差数列的综合问题
83．【多选】（2023·浙江·校联考二模）已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（ ）
A．存在公差为1的等差数列，使得
B．存在公比为2的等比数列，使得
C．若，则
D．若，则
84．【多选】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A．B．
C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值
85．【多选】（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且有，则下列结论正确的是（ ）．
A．B．数列为等差数列
C．D．
86．【多选】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知首项为，公比为的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列，记，，则（ ）
A．公比
B．若是递减数列，则
C．若不单调，则的最大项为
D．若不单调，则的最小项为
考点十二 等差数列的实际应用
87．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额为（ ）
A．19903元B．19913元C．20103元D．20113元
88．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）甲､乙两个机器人分别从相距70的两处同时相向运动，甲第1分钟走2，以后每分钟比前1分钟多走1，乙每分钟走5.若甲､乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过___________分钟.
89．（2023·全国·高三专题练习）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（ ）
A．11小时B．13小时C．17小时D．19小时
90．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102B．103C．104D．105
91．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则 （ ）
A．B．C．D．
92．（2023·陕西汉中·统考二模）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A．B．C．D．
考点十三 等差数列与其他知识的交汇
93．（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）为了解开学后大学生的身体健康状况，2023年寒假开学后，某学校统计了学生在假期间每天的学习时间（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到下图所示的频率分布直方图.图中数值是公差为0.002的等差数列，则估计样本数据的中位数为（ ）
A．120B．125C．160D．165
94．（2023·全国·高三专题练习）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
95．（2023·河北·模拟预测）已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则α的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
96．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数是定义在上的连续函数，且对，满足，，.则的值为（ ）
A．5B．9C．4023D．4049
97．（2023·全国·高三专题练习）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且，则实数λ的值为（ ）
A．B．C．D．
98．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数,点在拋物线上,则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
99．（2023·全国·高三专题练习）若直线与圆C：相切，则①；②数列为等差数列；③圆C可能经过坐标原点；④数列的前10项和为23.以上结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
100．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体中，，，，…，在线段上，且，过点作平行于直线，的平面，截面面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为递减数列
C．存在常数，使为等差数列
D．设为数列的前项和，则时，
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列，若(常数)⇔{an}是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
(为常数,)⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判
断问题
前n项和公式法
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列
是等差数列⇔是等差数列.
提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.
考点29 等差数列及其前n项和12种常见考法归类
考点一 利用定义求等差数列的通项公式
考点二 利用Sn与an的关系求等差数列通项公式
考点三 等差数列的基本运算
（一）等差数列通项公式及其应用
（二）等差数列前n项和的有关计算
（三）与数学文化的结合
考点四 等差数列的判定与证明
考点五 等差数列的性质
（一）等差中项的应用
（二）利用等差数列性质计算及应用
考点六 等差数列前n项和的性质
（一）等差数列前n项和与中项性质
（二）等差数列片段和的性质
（三）等差数列前n项和与n的比值问题
（四）两个等差数列前n项和的比值问题
（五）等差数列偶数项或奇数项的和
考点七 含绝对值的等差数列的前n项和
考点八 含取整符号的等差数列的前n项和
考点九 等差数列前n项和的最值问题
考点十 等差数列中的单调性与最值问题
考点十一 等差数列的综合问题
考点十二 等差数列的实际应用
1. 等差数列的概念
(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即an－an－1＝d
(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋).
注：在等差数列{an}中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为an＋1＝eq \f(an＋an＋2,2)，等价于an＋an＋2＝2an＋1，以及an＋1－an＝an＋2－an＋1.
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
2. 等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是. 该式又可以写成an＝nd＋(a1－d)，这表明d≠0时，an是关于n的一次函数，且d>0时是增函数，d<0时是减函数.
(2)等差数列通项公式的变形及推广
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．
(3)前n项和公式：Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d. 该式又可以写成Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n，这表明d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下.
3. 等差数列的前n项和公式与函数的关系
(1)Sn＝eq \f(na1＋an,2) eq \(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d),\s\d5( ))Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n
(2)数列是等差数列⇔（为常数）．若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{an}从第2项起成等差数列.
(3)当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝eq \f(d,2)x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下.
4. 等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．
5.解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝eq \f(na1＋an,2)结合使用．
6.特殊设法:
三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.
7.由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系：
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
②若a1不适合an，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
8.等差数列的判定与证明方法
9. 等差数列的性质
(1)与项有关的性质
①等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝eq \f(an－am,n－m).
②在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
注：出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值．
③若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列.
④若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)也是等差数列，且公差为λ1d1＋λ2d2.
⑤数列{an}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项ak，ak＋m，ak＋2m，…，组成的数列仍是等差数列，公差为md.
⑥如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
(2)与和有关的性质
①等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列，公差为n2d；
②记S偶为所有偶数项的和，S奇为所有奇数项的和.
若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，S偶－S奇＝nd，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an)(S奇≠0)；
若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(n－1,n)(S奇≠0).
③若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．
④两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn 之间的关系为eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1) (bn≠0，T2n－1≠0).
⑤等差数列中，,则,.
⑥等差数列中，若，则．
⑦等差数列中，若，则．
注：等差数列中，若，则
10.其他衍生等差数列．
若已知等差数列，公差为，前项和为，则：
①等间距抽取为等差数列，公差为．
②等长度截取为等差数列，公差为．
③算术平均值为等差数列，公差为．
11. 等差数列前n项和的最值
(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．
①若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最大值.
在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；
②若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值.
若，则满足的项数使得取得最小值．
③若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
(2)函数法：利用等差数列的前n项和：(为常数, )为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；
(3)数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.
(4)在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.
12.与等差数列单调性有关的问题
（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”．
（2）数列的单调性与，的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”．
13.关于奇偶项问题的讨论
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
14.对于含绝对值的数列求和问题
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
15.等差数列的实际应用
(1)与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．
考点一 利用定义求等差数列的通项公式
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】根据题意整理可得，结合等差数列分析运算.
【详解】∵，将等式两边同时除以得：，
所以是以为首项，3为公差的等差数列，
则，所以.
故答案为：.
2．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知数列满足，，，，则数列的前10项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等差中项的应用可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，求出数列的通项公式，得，利用裂项相消法求和即可.
【详解】∵，，，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴，∴．
∴，
∴数列的前10项和为
．
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则=（ ）
A．80B．100C．120D．143
【答案】C
【分析】根据，可得，从而可证得数列是等差数列，从而可求得数列的通项，即可得解.
【详解】解：因为，
所以，即，
等式两边开方可得：，即，
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，
所以，所以，
所以.
故选：C．
4．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）数列中，，（为正整数），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由递推式证明数列为等差数列，利用等差数列通项公式求数列的通项，由此可求数列的通项公式.
【详解】因为，所以，
又，可得，
所以数列为首项为1，公差为的等差数列，
所以，
所以，
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则______．
【答案】
【分析】首先求不动点，将已知等式两侧与不动点作差，再化简得到为等差数列，进而求通项公式.
【详解】设，令得：，解得：；
，化简得：，
所以，从而，又，
所以是首项为，公差为1的等差数列，故，
所以．
故答案为：
6．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】C
【分析】通过等差数列的定义求出的通项公式，再利用裂项相消法求出，进而确定m的最小值.
【详解】，是等差数列，又∵，
∴，
故对，，
也符合上式，
，
故，即的最小值为1．
故选：C．
7．（2023·福建南平·统考模拟预测）设为数列的前n项积．已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用给定的递推公式，结合前n项积的意义求解作答.
（2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求解作答.
【详解】（1）依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则，
即，当时，有，两式相除得，，
显然，即，因此当时，，即，
所以数列的通项公式.
（2）设的前项和为，由（1）得，，于是，
因此，
则，
所以数列前项和为.
考点二 利用Sn与an的关系求等差数列通项公式
8．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若，且，则__________.
【答案】
【分析】当时，由可得，两式作差可得出，当时，求出的值，可得出，分析可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得的值.
【详解】当时，由可得，
两式相减得，即，
即.
当时，，即，
所以，，则，
则数列是以为首项，为公差的等差数列.
则.
故答案为：.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．2nC．D．
【答案】D
【分析】首先令求出数列首项，再根据得，两式相减得，然后构造等差数列，通过等差数列通项公式求解数列的通项公式，进而求出的通项公式.
【详解】令，
由可得：，
两式作差可得：，
化简整理可得：，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，进而可得：．
故选：D．
10．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知为数列的前项和，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据给定的递推公式，结合“”可得，由此求出数列通项作答.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和推理作答即可.
【详解】（1）解：当时，，
因为，所以．
当时，，
即．
因为，所以，
所以是首项为4，公差为3的等差数列，故．
（2）证明：因为，
所以．
因为，，
所以，.
11．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）数列的前项和为，，若该数列满足，则下列命题中错误的是（ ）
A．是等差数列B．
C．D．是等比数列
【答案】C
【分析】利用可化简已知等式证得A正确；利用等差数列通项公式可整理得到B正确；由与关系可求得C错误；由，结合等比数列定义可知D正确.
【详解】对于A，当时，由得：，
，即，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，A正确；
对于B，由A知：，，B正确；
对于C，当时，，
经检验：不满足，，C错误；
对于D，由B得：，，又，
是以为首项，为公比的等比数列，D正确.
故选：C.
12．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ）
A．B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】由结合求出，从而求得，由此求出的表达式，利用基本不等式即可求得答案．
【详解】各项为正的数列，
，
时，，
即，化为：，
，，
又，解得，
数列是等差数列，首项为1，公差为2．
，
，
，当且仅当时取等号，
的最小值为2．
故选：D．
13．（2023·全国·高三专题练习）设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ）
A．B．C．数列为等差数列D．－5050
【答案】A
【分析】由可得－＝－1，即数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列可判断C，由求出可判断A，B；由等差数列的前n项和公式可判断D.
【详解】是数列的前n项和，且，
则， 整理得－＝－1（常数），
所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确；
所以，故．
所以当时，－，不适合上式，
故故B正确，A错误；
所以， 故D正确．
故选：A.
考点三 等差数列的基本运算
（一）等差数列通项公式及其应用
14．（2023·江西赣州·统考二模）等差数列满足，，则（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质运算求解.
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，解得，
所以.
故选：B.
15．（2023·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（ ）．
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】由等差中项性质得，利用等差数列通项公式求基本量公差，进而写出通项公式，即可得.
【详解】由题设，则，而，
若等差数列公差为，则，
所以，通项公式为，故.
故选：C
16．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知等差数列满足，．
(1)求；
(2)数列满足，为数列的前项和，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件建立方程组，即可求出等差数列的首项和公差，即可求；
（2）利用分组求和及等差数列、等比数列的求和公式即可求数列的前项和．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
因为，．则，解得，
所以．
（2）由（1）可得，
则

，
所以.
（二）等差数列前n项和的有关计算
17．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则 （ ）
A．54B．71C．80D．81
【答案】D
【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以.
故选：D.
18．（2023·青海海东·统考模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．44B．48C．55D．72
【答案】A
【分析】利用基本量法可得，故可求的值.
【详解】设的公差为d，则，即，
则，
故选：A.
19．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】B
【分析】根据给定条件求出等差数列的首项及公差即可得解.
【详解】因数列是等差数列，由等差数列的性质知：，
而，则，
等差数列公差，首项，
则.
故选：B.
20．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知等差数列满足，则的前20项和（ ）
A．200B．300C．210D．320
【答案】C
【分析】设，，则，解方程即可求出，再由等差数列的前项和即可得出答案.
【详解】因为数列为等差数列，设，所以，
所以．因为，
所以所以
则，所以．
故选：C.
21．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）设等差数列的前n项和为，，，则满足的正整数n的最大值为（ ）
A．16B．15C．12D．8
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式求解，再求解不等式得出结果.
【详解】设等差数列公差为d，则，解得，
所以，．
由，得，
即，解得1所以正整数n的最大值为15．
故选：B．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2020项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件求出，写出通项公式，用裂项法求的和.
【详解】设首项为,公差为,由题意得，解得，所以，
所以，
数列的前2020项和.
故选：A
（三）与数学文化的结合
23．（2023·江西抚州·统考模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第12月营收贯数为（ ）
A．64B．66C．68D．70
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等差数列的通项公式及前n项和公式，列出方程求解作答.
【详解】依题意，该人每个月的收入依次排成一列构成等差数列，其前n项和为，
有，设的公差为d，因此，解得，
所以该人第12月营收贯数.
故选：D
24．（2023·江苏南通·统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 ，由题意可得，所以，
故选：B
25．（2023·全国·高三专题练习）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A．3339块B．3402块C．3474块D．3699块
【答案】B
【分析】依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为，其中，，根据下标和性质求出，再根据等差数列求和公式求出即可.
【详解】解：依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为，其中，，
所以，
所以
所以，故圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）块.
故选：B
26．（2023·广东深圳·校考二模）宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n层的圆球总数为，容易发现：，，，则（ ）
A．45B．40C．35D．30
【答案】B
【分析】根据题意，归纳推理，第层的圆球总数个数表达式，再将，，代入求解即可．
【详解】当时，第1层的圆球总数为，
当时，第2层的圆球总数为，
当时，第3层的圆球总数为，
．
所以第层的圆球总数为，
当时，，当时，，
故．
故选：B．
27．（2023·全国·高三专题练习）公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的纽带；下图为五角形数的前4个，现有如下说法：①第9个五角形数比第8个五角形数多25；②前8个五角形数之和为288；③记所有的五角形数从小到大构成数列，则的前20项和为610；则正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】先根据图形找到规律，得到数列的递推关系，然后用累加法可得，然后可判断①②③.
【详解】根据图形知：，，
则
，①正确；
，②正确；
，数列是首项为1公差为的等差数列，
前20项和为，③错误.
故选：C.
考点四 等差数列的判定与证明
28．（2023·浙江温州·统考三模）已知数列各项为正数，满足，，则（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
【答案】C
【分析】分析可知数列的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论.
【详解】因为数列各项为正数，满足，，
故对任意的，，则，
所以，数列的每一项都是正数，
所以，，可得，
由等差中项法可知，数列是等差数列，
故选：C.
29．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.
(1)证明：数列是等差数列，
(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义法判断即可.
（2）由（1）和，求得，，然后表示出的前20项和即可得出答案.
【详解】（1）由题知，是等比数列，
设其公比为，
由，
可得：当时，，
两式相减得，，
故数列是等差数列.
（2）由知：
当时，，
又，所以，
由（1）设的公差为，
则，
由，
则，，
所以
.
即数列的前20项和为.
30．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，为数列的前n项和，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由得出，再计算，将代入，即可证明；
（2）由（1）得，得出为公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式得出，代入，再裂项得，即可求得数列的前n项和．
【详解】（1）因为，
所以，即
所以
（为常数），
所以数列是等差数列．
（2）由（1）知，即.
所以，
所以为公比为的等比数列，
又，
所以，
因为，
所以，
所以数列的前项和为：
．
31．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列满足．
(1)证明为等差数列，并的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据等差差数列的定义证明即可，从而可得的通项公式；
（2）利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得.
【详解】（1）证明：因为，所以，即
所以是以为首项，为公差的等差数列，则，
所以；
（2）
.
32．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）设，向量，，．
(1)令，求证：数列为等差数列；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算可得，进而可得，结合等差数列的定义分析证明；
（2）利用裂项相消法分析证明.
【详解】（1）由题意可得：，
则，可得，
故数列是以首项，公差的等差数列.
（2）由（1）可得：，
则，
∵，故.
考点五 等差数列的性质
（一）等差中项的应用
33．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，其前n项和为，若，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】先利用等差中项判定数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式、等差数列的性质即可求解.
【详解】根据题意，可得数列为等差数列，所以，所以，
所以，所以.
故选：C．
34．（2023秋·广西防城港·高三防城港市高级中学校考阶段练习）已知，，且是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知得，使用基本不等式求的最小值.
【详解】因为是与的等差中项，所以，所以，
因为，，则，当且仅当时取等号.
故选：A
35．（2023·全国·模拟预测）设为正项等比数列的前项和．若，且，，成等差数列，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设正项等比数列的公比为q，根据，，成等差数列，求得公比即可.
【详解】解：设正项等比数列的公比为q，
当时，，不满足，
当时，，
即，解得或（舍去），
所以，
故选：A
36．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若成等差数列，且的面积为，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】由成等差数列得，结合余弦定理，可得，由的面积为，可得，两式相除可得答案.
【详解】若成等差数列，则，
由余弦定理得，，则，①
由的面积为，得，则，②
由②÷①得.
故选：C.
（二）利用等差数列性质计算及应用
37．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）在等差数列中，已知，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差中项的性质直接可得解.
【详解】由等差中项的性质得，
解得，
故选：B．
38．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等差中项求解即可.
【详解】因为数列是等差数列，
所以，即，
所以，
故选：A
39．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）数列是等差数列，若，，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】根据等差数列性质得到，得到答案.
【详解】，故.
故选：C
40．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知等差数列满足，，则（ ）
A．25B．35C．40D．50
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式以及性质求得答案即可.
【详解】设等差数列的公差为.
由，得，即①；
由，得，②；
由①②得，
则.
故选：A.
41．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知等差数列满足，则的值为（ ）
A．－3B．3C．－12D．12
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质若则可得.
【详解】由等差中项的性质可得，，解得，
∵，∴．
故选：A
42．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（ ）
A．2033B．2123C．123D．0
【答案】D
【分析】根据是等差数列，先求出公差，然后由等差数列的通项公式即可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为，则，
所以，
故选：D.
考点六 等差数列前n项和的性质
（一）等差数列前n项和与中项性质
43．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．33B．66C．22D．44
【答案】A
【分析】先由等差数列的性质求出，再按照等差数列求和公式及等差数列性质求解即可.
【详解】由题意知：，则，则.
故选：A.
44．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．150B．120C．75D．60
【答案】D
【分析】根据等差数列前项和的公式结合等差数列的性质即可得解.
【详解】因为也成等差数列，故，同理
因为，所以，故
所以.
故选：D
45．（2023·河南·统考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，且，则______．
【答案】182
【分析】根据等差数列的求和公式以及等差数列的性质即可求解.
【详解】因为，所以，解得．
又，所以，所以．
故答案为：182．
46．（2023·青海玉树·统考模拟预测）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】C
【分析】根据等差数列前和公式及等差数列性质可求得，则可得的值.
【详解】根据数列为等差数列，则，
所以，所以，
故选：C.
（二）等差数列片段和的性质
47．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．
【详解】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，
，解得．
故选：C.
48．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列的前项和为，，则（ ）
A．9B．C．12D．
【答案】A
【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果.
【详解】由已知，，，即3，，成等差数列，
所以，所以，
故选：A．
49．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（ ）
A．110B．150
C．210D．280
【答案】D
【分析】根据在等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列即可得解.
【详解】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，
所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．
故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，
所以S30＝150，
又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，
所以S40＝280.
故选：D.
50．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．－10B．－20C．－120D．－110
【答案】C
【分析】利用数列的运算性质与等差数列的前n项和的公式计算即可.
【详解】，
，则.
故选：C
（三）等差数列前n项和与n的比值问题
51．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列 的前项和为， 若且， 则（ ）
A．25B．45C．55D．65
【答案】D
【分析】等差数列 的前项和为，则为等差数列，结合等差中项根据基本量法计算可得.
【详解】由等差数列 的前项和为， 所以为等差数列，设其公差为，
由，知，
所以，所以， 所以，
故选：D．
52．（2023·全国·高三专题练习）等差数列中，，前项和为，若，则______.
【答案】
【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解．
【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为
，，
，
，
，则
故答案为：
53．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．是数列中的项
C．数列中的最小项为D．数列是等差数列
【答案】ACD
【分析】利用数列的单调性可判断A选项；求出数列的通项公式，解方程，可判断B选项；解不等式，可判断C选项；求出数列的通项公式，利用等差数列的定义可判断D选项.
【详解】由已知，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，.
对于A选项，因为，所以，是递增数列，A对；
对于B选项，令，可得，B错；
对于C选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C对；
对于D选项，，则，
所以，，
故数列为等差数列，D对.
故选：ACD.
54．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当且仅当时，取得最大值
D．若，，则当或14时，取得最大值
【答案】BD
【分析】由等差数列前n项和有最大值，得数列为递减数列，分析的正负号，可得的最大值的取到情况.
【详解】由等差数列前n项和有最大值，所以数列为递减数列，
对于A，且时取最大值，设，
则，
当时，；时，；时，，
所以或14时，前k项和取最大值，A项错误；
对于B，当且仅当时取最大值，则时，，时，.
，则，，
，，
前14项和最大，B项正确；
对于C，，则，同理，，，
前13项和最大，C项错误；
对于D，，，得，由题等差数列在时，，时，，所以，，，所以或14时，前k项和取最大值，D项正确；
故选：BD.
（四）两个等差数列前n项和的比值问题
55．（2023·全国·高三专题练习）若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______.
【答案】/
【分析】利用等差数列的性质和求和公式，把转化为求解.
【详解】因为，为等差数列，所以，
因为，所以.
故答案为：.
56．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列前n项求和公式可得，由题意可得，令，计算即可求解.
【详解】,
又，
，
所以，又，
所以.
故选：A.
57．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据给定条件结合等差数列性质及前n项和公式，将用n表示出即可作答.
【详解】依题意，，又=，
于是得，
因此，要为整数，当且仅当是正整数，而，则是32的大于1的约数，
又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，
所以使得为整数的正整数n的个数为5.
故选：B
58．（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答.
【详解】两个等差数列和的前项和分别为、，且，
所以.
故选：A
59．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的下标性质将式子化为，再化为，进而得到，最后根据条件求得答案.
【详解】由题意，.
故选：C.
60．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的前项和的特点和条件可设，，然后算出、即可得答案.
【详解】因为=，所以可设，，，
所以，，
所以，
故选：A.
61．（2023秋·四川甘孜·高三校考阶段练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0，若a5=3a3，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论.
【详解】解：依题意，，又，∴，
故选：D.
【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题.
（五）等差数列偶数项或奇数项的和
62．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列前项和公式解决即可.
【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项，
奇数项之和为，
偶数项之和为，
所以奇数项之和与偶数项之和的比为，
故选：D
63．（2023·重庆·统考二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，首项为，
则，所以，
因为，即，则，
等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，
所以.
故选：B
64．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合已知条件，推出数列奇数项与偶数项都是等差数列，然后分别判断选项的正误即可．
【详解】解：数列的前项和为，若，，
可得：，，，所以不正确；
可得，可知数列奇数项与偶数项都是等差数列，公差都是1，
，所以正确；
，所以不正确；
，所以不正确；
故选：B．
考点七 含绝对值的等差数列的前n项和
65．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣5n+2，则数列{|an|}的前10项和为（ ）
A．56B．58C．62D．60
【答案】D
【分析】求出数列{an}的正负分界点，a3＝S3﹣S2＝（﹣4）﹣（﹣4）＝0，数列{|an|}的前10项和：S＝S10﹣2S3即可得解.
【详解】Sn＝n2﹣5n+2的最小值是当n2.5时取得，
∵n是自然数，取值计算：
n＝2时，Sn＝22﹣5×2+2＝﹣4，
n＝3时，Sn＝32﹣5×3+2＝﹣4，
a3＝S3﹣S2＝（﹣4）﹣（﹣4）＝0，
∴n≥4时，an＞0，n≤3时，an≤0，
a1＝S1＝1﹣5+2＝﹣2，
∴数列{|an|}的前10项和：
S＝S10﹣2S3＝（100﹣50+2）﹣2（9﹣15+2）＝60．
故选：D．
66．【多选】（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知数列的前项和，则（ ）
A．B．不是等差数列
C．数列中最小D．
【答案】BD
【分析】根据求出数列的通项公式，即可判断A、B、C，再根据数列的特征计算D；
【详解】解：因为，当时，
当时，
所以，显然当时不成立，
所以，所以从第二项起以为公差的等差数列，
故数列不是等差数列，即A错误，B正确；
从第二项起为递增的等差数列，又，所以为数列的最小项，故C错误；
因为，所以
，故D正确；
故选：BD
67．【多选】（2023春·河北石家庄·高二校考开学考试）已知为等差数列，，则（ ）
A．的公差为2B．的公差为3
C．的前50项和为900D．的前50项和为1300
【答案】AD
【分析】根据求出，求出通向公式.
.
【详解】，
，所以A对，B错.
，
，
当时，；当时，，
=
，所以D对，C错.
故选：AD
考点八 含取整符号的等差数列的前n项和
68．（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考期中）等差数列满足 ，，记，其中表示不超过x的最大整数，则（ ）
A．1000B．2445C．1893D．500500
【答案】B
【分析】先求等差数列的通项公式，再分段求出，最后分组求和可得.
【详解】由，可得，所以，所以
所以.
故选：B.
69．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期中）为不超过的最大整数，设为函数的值域中所有元素的个数.若数列的前项和为，则___________.
【答案】
【分析】通过规律找出，再裂项相消求和即可.
【详解】因为时，，，即；
时，，，即；
时，，，即；
时，，，即；
…
以此类推，，
故，
故.
故答案为：
70．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考阶段练习）已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，若表示不超过的最大整数，如，，则数列的前2000项的和为______.
【答案】3782
【分析】先根据等差数列的通项求出的表达式，再根据求出数列的通项公式，再根据的定义即可得解.
【详解】∵数列是首项为，公差为的等差数列，
∴，得到，
当时，，
当时，，
又，∴，∴，
当时，，则，此时，
当时，，则、3、…、19，此时，
当时，，则、21…、199，此时，
当时，，则、201、…、1999，此时，
当时，，此时，
故数列的前2000项的和为：
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：理解的定义是解决本题的关键是.
71．（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）等差数列中，，.
(1)设，求数列的前7项和，其中表示不超过x的最大整数，如，；
(2)设，是数列的前n项和，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意求得等差数列的通项公式，由的定义，分别求得，即可得到结果；
（2）根据题意可得数列的通项公式，然后由裂项相消法即可得到结果；
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，则，
所以，则；
且，则，，，
，，，，
所以数列的前7项和为.
（2）由（1）可知，，
所以，
所以.
考点九 等差数列前n项和的最值问题
72．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等差数列{}的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式可得，根据前n项和的性质确定取最值情况即可.
【详解】设等差数列{}的公差为，因为，即，所以，
因为，解得，所以，则，
这是关于的二次函数，开口向上，在处取得最小值，由于，最靠近的正整数为，所以当时，取得最小值.
故选：D．
73．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】根据条件，利用等差数列的性质可得出，，即可求解.
【详解】在等差数列{}中，由，得，
则，又，
∴，，则当取得最大值时，．
故选：C
74．（2023·全国·高三专题练习）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】C
【分析】通过分析得数列为递减的等差数列，根据得，，即可得到有最大值，为.
【详解】由得，∴数列为递减的等差数列，
∵，∴，，
∴当且时，，当且时，，
∴有最大值，最大值为.
故选：C.
75．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（ ）①为的最小值 ② ③， ④为的最小值
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质，即可得，，从而确定，即可逐项判断得答案.
【详解】等差数列中，，则，故②正确；
又，所以，故，则，故③正确；
于是可得等差数列满足，其为递增数列，则，又，所以为的最小值，故①正确，④不正确；
则四个命题正确个数为.
故选：C.
76．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知数列满足：对恒成立，且，其前n项和有最大值，则使得的最大的n的值是（ ）
A．10B．12C．15D．17
【答案】C
【分析】由等差中项性质可得数列为等差数列，再由，其前n项和有最大值可得，即可求得，即可知所求结果为.
【详解】由数列满足对恒成立可知，数列为等差数列；
设数列的首项为，公差为，则，
若前n项和有最大值，则可知，因此，
又，所以，可得，
所以，即
；
所以，使得的最大的n的值是.
故选：C
77．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A．数列的最小项为第项B．
C．D．时，的最大值为
【答案】ABC
【分析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于 的不等式组，求出的取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C，D选项的正误.
【详解】对于C选项，由且，可知，故C正确；
对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；
对于D选项，因为，，
所以，满足的的最大值为，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当且时， ；
当且时，，
所以，当且时，，
当且时，，
当且时，.
由题意可知单调递减，
所以当且时，，
由题意可知单调递减，即有，
所以，
由不等式的性质可得，
从而可得，
因此，数列的最小项为第 项，故A正确.
故选：ABC.
78．（2023秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知等差数列的前n项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为______.
【答案】
【分析】根据已知条件将恒成立问题转化为求最值问题，再利用等差数列的下角标性质及等差数列前项和公式即可求解.
【详解】由题意可知，所以，
同理得，所以.
结合，可得.
当时，取得最大值为，
要使对恒成立，只需要，即可，
所以,，即.
所以正整数的值为.
故答案为：.
考点十 等差数列中的单调性与最值问题
79．【多选】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知数列是各项均为正数的等比数列，是公差大于0的等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据题意得，为单调递增数列，进而作出函数图象，结合图象性质说明即可.
【详解】解：设的公比为，的公差为，
所以，，，
所以，由可知为单调递增数列，即
因为，，，
所以，即，数列为单调递增数列，
作出函数，的图象如图所示，
由上述图象可知，当时，两函数图象在处相交，
所以，当时，，当或时，.
故选：BCD.
80．【多选】（2023秋·福建宁德·高二统考期末）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据给定条件，确定数列相邻两项的特性判断AC；再判断等差数列单调性判断BD作答.
【详解】因为等比数列的公比，则，，而的正负不确定，
因此不能确定和的正负及大小关系，AC错误；
显然和异号，又且，则中至少有一个是负数，而，
于是等差数列的公差，即数列单调递减，因此，且，BD正确.
故选：BD
81．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）是各项均为正数的等差数列，其公差，是等比数列，若，，和分别是和的前项和，则（ ）
A．B．
C．D．和的大小关系不确定
【答案】B
【分析】分析可知等比数列为正项单调数列，利用等差数列的求和公式以及基本不等式可得出与的大小.
【详解】因为是各项均为正数的等差数列，其公差，
则，且，则，
设等比数列的公比为，则且，即且，
又因为，所以，等比数列为正项单调数列，
由基本不等式可得，，
，，
所以，，
故选：B.
82．（2023·全国·高三专题练习）已知是数列的前n项和，，，当数列的前n项和取得最大值时，n的值为（ ）
A．30B．31C．32D．33
【答案】C
【分析】由递推式得到，结合等差中项知为等差数列，进而写出其通项公式并判断单调性，最后判断上各项的符号，即可确定前n项和取得最大值时n的值.
【详解】①，则②，
②－①得：，即，
则数列为等差数列，且，
由得：，则公差，
所以，数列单调递减，而，，，，
设，当时，，且，，
当时，恒成立，显然，，
即数列的前32项和最大.
故选：C
考点十一 等差数列的综合问题
83．【多选】（2023·浙江·校联考二模）已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（ ）
A．存在公差为1的等差数列，使得
B．存在公比为2的等比数列，使得
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】运用公式法计算A，B选项，根据数列的性质推导C，D选项.
【详解】对于A，设数列的首项为，则 ，解得 ，
即当等差数列的首项为138，公差为1时， ，正确；
对于B，设首项为 ，则 ，正确；
对于C，欲使得尽可能地大，不妨令 ，则有 ，
又 ，即 ，
，
即 ，正确；
对于D， ， ，即 ，
比如， ，
则 ，D错误；
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：数列中与整数有关的不等式或方程问题，注意利用整数的性质来处理.
84．【多选】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（ ）
A．B．
C．当时，是的最大值D．当时，是的最小值
【答案】ACD
【分析】根据等比中项的性质得到方程，即可得到，再根据等差数列的通项公式、求和公式及单调性判断即可.
【详解】因为，，成等比数列，所以，即，
整理得，因为，所以，
所以，则，故A正确、B错误；
当时单调递减，此时，
所以当或时取得最大值，即，故C正确；
当时单调递增，此时，
所以当或时取得最小值，即，故D正确；
故选：ACD
85．【多选】（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且有，则下列结论正确的是（ ）．
A．B．数列为等差数列
C．D．
【答案】CD
【分析】根据题意和（）可得，结合等差数列的定义可证明是以1为首项，公差为1的等差数列，进而、，结合选项依次判断即可.
【详解】A：，当时，，由解得，故A错误；
B：，当时，，则，
整理得，又、解得，
得，有，符合上式，
所以是以1为首项，公差为1的等差数列，故B错误；
C：由选项B的分析可知，由解得，
所以，故C正确；
所以，
D：由选项C的分析可知，则，
所以，，，得，故D正确.
故选：CD.
86．【多选】（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知首项为，公比为的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列，记，，则（ ）
A．公比
B．若是递减数列，则
C．若不单调，则的最大项为
D．若不单调，则的最小项为
【答案】BC
【分析】由等差中项的性质即可判断A，由等比数列前项和即可判断B，由以及与的关系即可判断CD.
【详解】由，，成等差数列，
得，即，
，得，故A错误；
当时，数列不单调，当时，数列单调递减，
若是递减数列，则，故B正确；
若不单调，则，则，
，是关于的增函数，当时，有最大值为，则的最大项为，故C正确；
当时，有最小值为，则的最小项为，故D错误．
故选：BC．
考点十二 等差数列的实际应用
87．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额为（ ）
A．19903元B．19913元C．20103元D．20113元
【答案】C
【分析】利用等差数列前n项和公式即可求得小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额．
【详解】设小方第天存钱元，
则数列从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1，
所以小方存钱203天的储蓄总额为
元．
故选：C
88．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）甲､乙两个机器人分别从相距70的两处同时相向运动，甲第1分钟走2，以后每分钟比前1分钟多走1，乙每分钟走5.若甲､乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过___________分钟.
【答案】15
【分析】甲每分钟走的路程成等差数列，求出通项，因为第1次相遇甲､乙共走70m；第2次相遇甲､乙共走了，列出方程，求出时间即可.
【详解】由已知甲每分钟走的路程成等差数列，设为，则，
乙每分钟速度为每分钟走5，
因为第1次相遇甲､乙共走70m；第2次相遇甲､乙共走了，时间设为，
则.
（负值舍去）.
故答案为：15.
89．（2023·全国·高三专题练习）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（ ）
A．11小时B．13小时C．17小时D．19小时
【答案】B
【分析】利用题意，将给药时间与检测次数转化为等差数列模型，将给药时间与患者血药浓度转化为等比数列模型，则利用数列的通项公式求解即可.
【详解】解：检测第n次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的的等差数列，
所以，
设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为a，
则数列是首项为a，公比为的等比数列，所以，
令，即，解得，
当血药浓度为峰值的时，给药时间为，
故选：B.
90．（2023·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102B．103C．104D．105
【答案】C
【分析】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，求出其通项，结合条件列不等式求出结果.
【详解】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，
由已知是的倍数，也是的倍数，
故为的倍数，
所以首项为，公差为的等差数列，
所以，
令，可得，又
解得，且，
故获得精品足球的人数为.
故选：C.
91．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可推出，且，从而说明数列是以为首项，为公差的等差数列，求得数列的通项公式，即可求得答案.
【详解】由题意知，，
，，，，都是直角三角形，
，且，故，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
．
又，，
数列的通项公式为，
，
故选：C．
92．（2023·陕西汉中·统考二模）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得：每段圆弧的圆心角为，半径满足，结合等差数列的通项公式和求和公式分析运算.
【详解】由题意可知：每段圆弧的圆心角为，
设第段圆弧的半径为，则可得，
故数列是以首项，公差的等差数列，则，
则“蚊香”的长度为.
故选：D.
考点十三 等差数列与其他知识的交汇
93．（2023·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）为了解开学后大学生的身体健康状况，2023年寒假开学后，某学校统计了学生在假期间每天的学习时间（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到下图所示的频率分布直方图.图中数值是公差为0.002的等差数列，则估计样本数据的中位数为（ ）
A．120B．125C．160D．165
【答案】C
【分析】由已知结合图象，列出方程组，求出的值.然后根据频率分布直方图，计算可得前4个小矩形的面积之和为，即可得出答案.
【详解】由题意，，解得，
所以，前4个小矩形的面积之和为，
所以中位数为160.
故选：C.
94．（2023·全国·高三专题练习）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得且，
化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由等差数列的前项和公式，可得，可得，
又由且，
所以，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
95．（2023·河北·模拟预测）已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则α的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得函数周期，从而得到，然后由正弦型函数的单调增区间列出不等式，即可得到结果.
【详解】由题知.
因为函数的零点是以为公差的等差数列，所以，即，
所以，得.所以.
易知当时，单调递增，
即在上单调递增.
又在区间上单调递增，所以，
所以，即的取值范围为.
故选：A.
96．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数是定义在上的连续函数，且对，满足，，.则的值为（ ）
A．5B．9C．4023D．4049
【答案】D
【分析】令，代入原式可得，利用等差数列通项公式基本量计算即可.
【详解】令，代入可得，
即，，
所以数列为等差数列，又，f(3)=9，所以公差，
所以.
故选：D
97．（2023·全国·高三专题练习）已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且，则实数λ的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由可知P，B，C三点共线，从而有+λ=1，再由等差数列的性质可求解.
【详解】因为P，B，C三点共线，所以+λ=1，所以+λ=1，，所以+λ=+λ=1，λ=，
故选:B.
98．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数,点在拋物线上,则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件可得数列是以公差为的等差数列,过点的直线的方向向量与共线,根据向量共线定理即可求解.
【详解】因为点在拋物线上,
所以,即,
所以数列是以公差为的等差数列,
所以,
则过点的直线的方向向量为,
经检验，.
故选：D.
99．（2023·全国·高三专题练习）若直线与圆C：相切，则①；②数列为等差数列；③圆C可能经过坐标原点；④数列的前10项和为23.以上结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用距离公式可求，从而可判断①②的正误，由可判断③的正误，计算出后可判断④的正误.
【详解】因为直线与圆 相切，
所以圆C的圆心(2，0)到直线的距离 ，
故 ，则 ，故①错误；
数列是首项为公差为的等差数列，故②正确;
当时，，圆C经过坐标原点，故③正确；
因为 ，所以的前10项和为 ，故④正确.
故选：C.
100．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体中，，，，…，在线段上，且，过点作平行于直线，的平面，截面面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为递减数列
C．存在常数，使为等差数列
D．设为数列的前项和，则时，
【答案】ABD
【分析】A选项，画出截面，并判断出截面为矩形，求出截面边长，得到，求出；B选项，利用得到B正确；C选项，求出，并用等差数列的定义判断C错误；D选项，化简得到，利用裂项相消法求和，列出方程，求出答案.
【详解】由题意得，
取中点，连接，因为均为等边三角形，
所以，
因为，平面，
因为平面，
所以，
A选项，过点做交于点，过点做交于点，连接，则，
故四边形为截面，且四边形为矩形，
由相似知识可知，，
故，所以，A正确；
B选项，因为，所以，
故，故为递减数列，B正确；
C选项，，则，
不是常数，C错误；
D选项，，
则，
令，解得，D正确.
故选：ABD
方法
解读
适合题型
定义法
对于数列，若(常数)⇔{an}是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
对于数列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
(为常数,)⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判
断问题
前n项和公式法
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，Sn为数列{an}的前n项和)⇔{an}是等差数列
是等差数列⇔是等差数列.
提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.