高考数学一轮题型归纳(新高考地区专用)考点21三角恒等变换4种常见考法归类(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮题型归纳(新高考地区专用)考点21三角恒等变换4种常见考法归类(原卷版+解析)，共61页。试卷主要包含了二倍角公式，辅助角公式的应用，简单的三角恒等变换等内容，欢迎下载使用。

考点一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（一）给角求值
（二）给值（式）求值
（三）给值求角
（四）三角函数式的化简
（五）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用
考点二 二倍角公式
（一）给角求值
（二）给值（式）求值
（三）给值求角
（四）与同角三角函数的基本关系综合
（五）与诱导公式的综合
（六）利用二倍角公式化简求值
考点三 辅助角公式的应用
考点四 简单的三角恒等变换
（一）半角公式的应用
（二）三角恒等式的证明
（三） 三角恒等变换的综合问题
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)
二倍角是相对的，如：eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的2倍，3α是eq \f(3α,2)的2倍.
2. 简单的三角恒等变换
(1)降幂公式
sin2α＝eq \f(1－cs2α,2).
cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2).
sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α.
(2)升幂公式
1＋csα＝2cs2eq \f(α,2). 1－csα＝2sin2eq \f(α,2). 1＋sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))eq \s\up12(2). 1－sinα＝(sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2))2.
注：
万能公式
(4)其他常用变式
3. 辅助角公式（同角异名1次）
asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，
其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，或tanφ＝eq \f(b,a). 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点（a，b）决定．
4. 半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,2)).
(2)cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋csα,2)).
(3)taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,1＋csα))＝eq \f(sinα,1＋csα)＝eq \f(1－csα,sinα).
5. 常用的拆角、拼角技巧
(1)15°＝45°－30°＝60°－45°＝eq \f(30°,2).
(2)，α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，
β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β). α－β＝(α－γ)＋(γ－β)
(3)eq \f(π,3)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，eq \f(π,6)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))，
eq \f(π,3)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))，eq \f(π,4)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α)). eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
(2)和差角公式变形：
sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)；
(3)倍角公式变形：降幂公式．
(4)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：
①化非特殊角为特殊角；
②化为正负相消的项，消去后求值；
③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；
④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．
9. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等.
10. 给值(式)求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为eq \f(3,5)，由eq \f(1,2)＜eq \f(3,5)＜eq \f(\r(2),2)，及余弦函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减可知45°＜α＜60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1＝taneq \f(π,4)，1＝sin2α＋cs2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位. 11. 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．（在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.）
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数
（已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i)已知正切值，常选正切函数；(ii)已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii)若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，常选正、余弦函数；(iv)若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，常选正弦函数；(v)若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. ）
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
12. 利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α)，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,2)，cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cs α,2)计算．
13. 三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
考点一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（一）给角求值
1．（2023·全国·高三专题练习）的值是
A．B．C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·广东湛江·统考一模）______．
4．（2023·全国·高三专题练习）__________.
（二）给值（式）求值
5．（2023·江西九江·统考三模）已知，且，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（江西省九江市2023届高三三模数学（理）试题）已知，且，则csβ=（ ）
A．B．C．D．0
7．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（山西省晋中市2023届高三三模数学试题（A卷））已知，为锐角，且，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·全国·高三专题练习）若，，则_____
11．【多选】（河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题）已知，，，下列选项正确的有（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·陕西商洛·统考三模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知、均为锐角，且，，则_____________.
（三）给值求角
14．（2023·全国·高三专题练习）已知都是锐角，，则___________.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则________．
16．（2023·河南·校联考模拟预测）设，是方程的两根，且，则（ ）．
A．B．C．或D．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
18．【多选】（2023·全国·高三专题练习）若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知角为锐角，，且满足，
(1)证明：；
(2)求.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，求的值为_____．
（四）三角函数式的化简
22．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．0B．C．D．
23．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知，则__________.
24．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
26．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
（五）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用
27．（河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题）已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A．8B．C．4D．
28．（2023·陕西·统考一模）在中，点D是边BC上一点，且，.，，则DC=___________.
29．【多选】（2023·江苏南通·模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
30．（广东省潮州市2023届高三二模数学试题）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
考点二 二倍角公式
（一）给角求值
31．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
32．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）的值为（ ）
A．B．C．D．1
33．（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
34．（2023·全国·高三专题练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若，___________.
35．（2023·全国·高三专题练习）若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
（二）给值（式）求值
36．【多选】（2023·山西·校联考模拟预测）已知，其中，则（ ）
A．B．C．D．
37．（2023·福建泉州·校考模拟预测）已知，则______．
38．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知，则________．
39．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知，，其中，为锐角，则以下命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
40．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知，，则__________．
41．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知，，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
42．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．－1C．D．
43．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
（三）给值求角
44．（2023·全国·高三专题练习）已知且，则=（ ）
A．B．
C．D．或
45．（2023·全国·高三专题练习）若，，则______．
（四）与同角三角函数的基本关系综合
46．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则_________
47．（2023·海南·校联考模拟预测）已知，则_________．
48．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
（五）与诱导公式的综合
49．（2023春·江西南昌·高三统考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
50．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
51．（2023·河北·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
52．（2023·湖北武汉·统考二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
（六）利用二倍角公式化简求值
53．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________．
54．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．5B．C．2D．4
55．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求的值；
(2)已知，求的值．
考点三 辅助角公式的应用
56．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为________，最小值为________.
57．（2023·陕西铜川·统考二模）已知函数，若，则函数的值域为______.
58．（2023·山东泰安·统考二模）已知，则_______.
59．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）若，则__________.
60．（2023·辽宁丹东·统考二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
61．（2023秋·福建莆田·高三校考期中）已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)求函数在区间的值域；
考点四 简单的三角恒等变换
（一）半角公式的应用
62．（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知，则__________.
63．（2023·全国·高三专题练习）若，，则（ ）．
A．B．C．D．
64．（2023·全国·高三专题练习）若，是第三象限的角，则＝（ ）
A．2B．C．﹣2D．
65．（2023·浙江·校联考二模）数学里有一种证明方法叫做Prfwithutwrds，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（ ）
A．B．
C．D．
（二）三角恒等式的证明
66．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足．
(1)证明：；
(2)求的最大值．
67．（2023·高三课时练习）小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
①；
②；
③；
④；
⑤．
(1)请依据②式求出这个常数；
(2)相据（1）的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
68．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）已知为斜三角形．
(1)证明：；
(2)若为锐角三角形，，求的最小值．
（三） 三角恒等变换的综合问题
69．（2023春·北京·高三清华附中校考期中）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值，并求相应的的值.
70．（2023·上海浦东新·统考三模）已知向量，.设.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长.
71．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在中，分别是角的对边，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
72．（2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中）已知向量，．设函数，．
(1)求函数的解析式及其单调减区间；
(2)若将的图像上的所有点向左平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．当（其中）时，记函数的最大值与最小值分别为与，设，且使对都有成立，求实数k的最小值．
73．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高三年级学生中征集解决方案.如图所示，是中点，分别在上，拟建成办公区，四边形拟建成教学区，拟建成生活区，和拟建成专用通道，，记.
(1)若，求教学区所在四边形的面积；
(2)当取何值时，可使快速通道的路程最短？最短路程是多少？
C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
C(α＋β)
cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β
记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β(异名相乘、加减一致)
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β(异名相乘、加减一致)
记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；(两式相除、上同下异)．
变形：①tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)②tan α·tan β＝eq \f(tan α－tan β,tan(α－β))－1
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；(两式相除、上同下异)．
变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)②tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan(α＋β))
S2α
sin 2α＝2sin_αcs_α；
变形：sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α，csα＝eq \f(sin2α,2sinα)，
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
变形：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）
考点21 三角恒等变换4种常见考法归类
考点一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（一）给角求值
（二）给值（式）求值
（三）给值求角
（四）三角函数式的化简
（五）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用
考点二 二倍角公式
（一）给角求值
（二）给值（式）求值
（三）给值求角
（四）与同角三角函数的基本关系综合
（五）与诱导公式的综合
（六）利用二倍角公式化简求值
考点三 辅助角公式的应用
考点四 简单的三角恒等变换
（一）半角公式的应用
（二）三角恒等式的证明
（三） 三角恒等变换的综合问题
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)
二倍角是相对的，如：eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的2倍，3α是eq \f(3α,2)的2倍.
2. 简单的三角恒等变换
(1)降幂公式
sin2α＝eq \f(1－cs2α,2).
cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2).
sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α.
(2)升幂公式
1＋csα＝2cs2eq \f(α,2). 1－csα＝2sin2eq \f(α,2). 1＋sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))eq \s\up12(2). 1－sinα＝(sineq \f(α,2)－cseq \f(α,2))2.
注：
万能公式
(4)其他常用变式
3. 辅助角公式（同角异名1次）
asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，
其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，或tanφ＝eq \f(b,a). 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点（a，b）决定．
4. 半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,2)).
(2)cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋csα,2)).
(3)taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－csα,1＋csα))＝eq \f(sinα,1＋csα)＝eq \f(1－csα,sinα).
5. 常用的拆角、拼角技巧
(1)15°＝45°－30°＝60°－45°＝eq \f(30°,2).
(2)，α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)，
β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β). α－β＝(α－γ)＋(γ－β)
(3)eq \f(π,3)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，eq \f(π,6)－α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))，
eq \f(π,3)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))，eq \f(π,4)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α)). eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
(2)和差角公式变形：
sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β；
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)；
(3)倍角公式变形：降幂公式．
(4)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：
①化非特殊角为特殊角；
②化为正负相消的项，消去后求值；
③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；
④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．
9. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等.
10. 给值(式)求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为eq \f(3,5)，由eq \f(1,2)＜eq \f(3,5)＜eq \f(\r(2),2)，及余弦函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减可知45°＜α＜60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1＝taneq \f(π,4)，1＝sin2α＋cs2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.
11. 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．（在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.）
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数
（已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i)已知正切值，常选正切函数；(ii)已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii)若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，常选正、余弦函数；(iv)若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，常选正弦函数；(v)若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. ）
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
12. 利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α)，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1－cs α,2)，cs2eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cs α,2)计算．
13. 三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”．
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
考点一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（一）给角求值
1．（2023·全国·高三专题练习）的值是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】变形后，根据两角差的余弦公式计算可得答案.
【详解】
，
故选：C.
【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.
2．（2023·全国·模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式及三角恒等变换化简求值即可.
【详解】已知可化为：.
故选：A
3．（2023·广东湛江·统考一模）______．
【答案】
【分析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解.
【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：
.
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）__________.
【答案】2
【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.
【详解】因为，
，
，
所以
故答案为：2.
（二）给值（式）求值
5．（2023·江西九江·统考三模）已知，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据，，求出，，再利用两角差的余弦公式求
【详解】解析：，，，
，，
，
故选：A.
6．（江西省九江市2023届高三三模数学（理）试题）已知，且，则csβ=（ ）
A．B．C．D．0
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换计算即可，注意整体思想的运用.
【详解】解法一：∵，∴，
又，∴，
∴
，
故选：D．
解法二：∵，∴，∴，
即
∵
∴，
故选：D．
7．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
8．（山西省晋中市2023届高三三模数学试题（A卷））已知，为锐角，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由条件，结合同角关系求，再由特殊角三角函数值求，再利用两角差的余弦公式求.
【详解】因为，所以 ，
又，为锐角，
所以，，且．
因为，为锐角，，所以，
又， 所以，
故．
故选：D.
9．（河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出，代入两角差的余弦公式即可.
【详解】由题意可得，
即，，
故.
故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）若，，则_____
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，由求出，从而求出，再利用两角和的正弦公式计算可得.
【详解】，，所以，
，
，
，
所以.
故答案为：
11．【多选】（河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题）已知，，，下列选项正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得，进而可判断A，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD.
【详解】由于且，所以，
又，，
故或，当时，显然不满足，故，所以，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C, ，故C错误，
对于D，由B可知，所以，故D正确，
故选：BD
12．（2023·陕西商洛·统考三模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由求得，再使用凑配角由求.
【详解】，解得，
则．
故选：D
13．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知、均为锐角，且，，则_____________.
【答案】/
【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得、角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.
【详解】因为，，即，
所以，
又，即，则，
又、均为锐角，所以，，
所以，，
所以.
故答案为：
（三）给值求角
14．（2023·全国·高三专题练习）已知都是锐角，，则___________.
【答案】/
【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求.
【详解】、为锐角，
，
，
由于为锐角，
故答案为：
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则________．
【答案】
【详解】因为,所以,又因为,所以
,所以=
==,又因为,所以β=.
16．（2023·河南·校联考模拟预测）设，是方程的两根，且，则（ ）．
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】利用两角和的正切公式求解即可.
【详解】因为，是方程的两根，
所以
所以，
因为
所以且，
所以，所以，
所以，
故选:B.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，利用两角和差余弦公式可求得，结合可得结果.
【详解】，，，，
，
又，.
故选：B.
18．【多选】（2023·全国·高三专题练习）若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】首先由两角和的正切公式得出，即可得到的取值；
【详解】解：由题意得，
所以，
所以的值可能为，．
故选：AC
19．（2023·全国·高三专题练习）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果.
【详解】（1）解：因为，，
又，所以，
所以.
（2）解：因为，
，
又因为，所以，
由（1）知，，
所以．
因为，，则，所以．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知角为锐角，，且满足，
(1)证明：；
(2)求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据二倍角的正切公式计算可得即可证明；
（2）根据同角三角函数的关系可得，，再根据两角和差的正弦公式，结合求解即可
【详解】（1）证明：因为，
所以，
因为为锐角且函数在上单调递增，所以
（2）由，结合角为锐角，解得，，
因为，且
所以.
又，
所以
21．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，求的值为_____．
【答案】/
【分析】注意到，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意范围的确定.
【详解】，则，注意到
，于是
，不妨记
，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：
，而，于是
.
故答案为：.
（四）三角函数式的化简
22．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于的方程，解之即可求得的值.
【详解】
，
，
又，
则，则
故选：A
23．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知，则__________.
【答案】2
【分析】利用两角和的正弦公式，化简求，再化简求值.
【详解】已知，所以，，
.
故答案为：2
24．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两角和的正弦公式将式子展开，然后平方得到，
然后利用已知条件得到，并求出和的值，代入所求式子即可求解.
【详解】由可得，
则有，平方可得，则，
因为，所以，
则，
所以，所以，
故选：C.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式及二倍角公式公式得到，再将弦化切，求出，最后利用两角差的正切公式及二倍角公式计算可得.
【详解】因为，所以，
即，所以，
所以，解得或，
因为，所以，
所以
.
故选：D
26．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对题目条件进行三角恒等变化，得，将转化为，求出最值.
【详解】因为，，
所以，
，
即，所以，
因为，，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，取得最大值.
故选：B.
（五）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用
27．（河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题）已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A．8B．C．4D．
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐标表示，结合数量积公式，即可求解.
【详解】因为，
，.
所以.
所以.
故选：A
28．（2023·陕西·统考一模）在中，点D是边BC上一点，且，.，，则DC=___________.
【答案】3
【分析】在中，利用余弦定理得到进而在中，利用两角差正弦公式得到结果．
【详解】在中，，可得.
又由余弦定理，，可得.
在中，，
由此可得，
由已知可得，代入可得，
所以，所以.
故答案为：3.
29．【多选】（2023·江苏南通·模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】ABD
【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设，可得，由，结合题中条件可判断A，B，表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，D.
【详解】如图，作,分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，
设，则，
由可得 ，且，
若，则，
解得，（负值舍去），故，A正确；
若，则，，所以，
所以，故B正确；
，由于，故，
故，故C错误；
由于，
故
，而，所以，
所以，故D正确，
故选：ABD
30．（广东省潮州市2023届高三二模数学试题）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和的正切公式和诱导公式即可求解，
（2）根据三角函数的性质即可求解.
【详解】（1），
又,所以,
由于为三角形的内角，所以,
（2）由于，所以,
故,
由于为锐角三角形，所以且，故，
则，故，
故的取值范围为
考点二 二倍角公式
（一）给角求值
31．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用二倍角公式，两角和差的正弦、正切公式及特殊角的三角函数值计算可得；
【详解】解：对于A：，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确；
故选：ACD
32．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】根据和差公式和二倍角公式化简,即可求解.
【详解】解：，
，
故，
故选：D.
33．（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.
【详解】原式
.
故选：B.
34．（2023·全国·高三专题练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若，___________.
【答案】2
【分析】由平方关系结合倍角公式得出答案.
【详解】因为，，所以，
故答案为：
35．（2023·全国·高三专题练习）若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.
【详解】由已知可得
.
故选：A.
（二）给值（式）求值
36．【多选】（2023·山西·校联考模拟预测）已知，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】对于A：利用同角三角函数基本关系来计算判断；
对于B：利用倍角公式来计算判断；
对于C：利用倍角公式来计算判断；
对于D：利用两角差的余弦公式来计算判断.
【详解】对于A：若，其中，则，，故A错误；
对于B：，且，则，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确．
故选：BCD.
37．（2023·福建泉州·校考模拟预测）已知，则______．
【答案】
【分析】根据同角的三角函数关系先求出，再用二倍角公式求出、，最后再利用余弦的和角公式求．
【详解】∵，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
38．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知，则________．
【答案】
【分析】平方，结合同角三角函数平方关系即正弦二倍角公式求解.
【详解】两边平方得：
，
解得：.
故答案为：
39．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知，，其中，为锐角，则以下命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求解.
【详解】因为 ( 为锐角),
故 , 故 正确;
因为 ,
所以

,
故 B 错误;
由
,
故 ,
故 C 正确;
且 ,
所以 ,
故 D 错误.
故选: AC.
40．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知，，则__________．
【答案】/
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合降幂公式、诱导公式进行求解即可.
【详解】解：由，，得，
所以．
故答案为：
41．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知，，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【分析】将已知条件化简后两边平方，由此求得的值，进而求得的值.
【详解】由于，所以，所以
由化简得，
两边平方得，
即，解得（负根舍去），
由于，所以.
故选：A.
42．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．－1C．D．
【答案】C
【分析】应用诱导公式、商数关系可得，再由和角正切公式展开求得，最后由求值即可.
【详解】由，
所以，则，
所以，则，故，
由.
故选：C
43．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用降幂公式，化简求值.
【详解】，解得：.
故选：B
（三）给值求角
44．（2023·全国·高三专题练习）已知且，则=（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.
【详解】因，则，
，
因，，则，又，有，
于是得，因此，，
所以.
故选：C
45．（2023·全国·高三专题练习）若，，则______．
【答案】
【分析】根据余弦的二倍角公式化简即可求值.
【详解】因为，
所以或，
又，
所以，
故答案为：
（四）与同角三角函数的基本关系综合
46．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则_________
【答案】/
【分析】方法1,、利用正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式化为齐次式，求得，结合，即可求解；
方法2、利用三角函数的基本关系式，求得和的值，进而求得的值.
【详解】解法1、因为，
则，
解得或，
又因为，所以，
所以．
解法2、因为，可得，
所以，
，
所以且，
解得，，所以．
故答案为：.
47．（2023·海南·校联考模拟预测）已知，则_________．
【答案】/0.5
【分析】由平方关系及二倍角公式可得，代入，求解即可.
【详解】解：因为，
所以原式．
故答案为：
48．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式，结合商数关系式弦化切，再代入可解得结果．
【详解】．
故选：B．
（五）与诱导公式的综合
49．（2023春·江西南昌·高三统考开学考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，得到，再利用二倍角公式和商数关系求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
，
故选：D．
50．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用倍角公式以及诱导公式，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】∵，
∴，
∵，
故选：C.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决给值求值问题，属基础题.
51．（2023·河北·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数诱导公式结合二倍角余弦公式，化简求值，即得答案.
【详解】由题意得
,
故选：B
52．（2023·湖北武汉·统考二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.
【详解】
.
故选：D
（六）利用二倍角公式化简求值
53．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________．
【答案】
【分析】根据和、差角的正、余弦公式与商数关系式化简即可求解．
【详解】
．
故答案为：．
54．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．5B．C．2D．4
【答案】A
【分析】先求得，然后根据同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等知识求得正确答案.
【详解】，
所以，则，
所以
故选：A
55．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求的值；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，最后代入数值即可；
（2）由，结合倍角公式即可求得
（1）．∴．
（2）由，得．
考点三 辅助角公式的应用
56．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为________，最小值为________.
【答案】
【分析】利用两角差的余弦公式以及辅助角公式化简合并得到，即可得到最大最小值.
【详解】
，
，，.
故答案为：；.
57．（2023·陕西铜川·统考二模）已知函数，若，则函数的值域为______.
【答案】
【分析】利用诱导公式、三角恒等变换化简，再应用正弦型函数性质求值域即可.
【详解】
，
∴时，，得：.
故答案为：
58．（2023·山东泰安·统考二模）已知，则_______.
【答案】
【分析】利用辅助角公式求得，根据倍角公式和诱导公式化简目标式，即可求得结果.
【详解】因为，故可得，
则
故答案为：.
59．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）若，则__________.
【答案】/
【分析】根据两角和的正弦公式可得，从而求，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，即.
所以，解得.
所以.
故答案为:.
60．（2023·辽宁丹东·统考二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用二倍角公式化简已知得到，其中．再求出即得解.
【详解】由，
得．
因为，所以，
所以，
所以，
于是，其中．
所以.
所以
从而．
故选：D
61．（2023秋·福建莆田·高三校考期中）已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)求函数在区间的值域；
【答案】(1)最小正周期为，递增区间为，；
(2)
【分析】（1）由二倍角公式，结合辅助角公式得，再利用周期、正弦型函数单调性求结果；
（2）由的范围求的范围，进而可求出的范围，从而可求的值域.
【详解】（1），
∴函数的最小正周期为.
令，，则，，
所以单调递增区间为，.
（2）∵，则，∴，
∴，故函数在区间的值域为.
考点四 简单的三角恒等变换
（一）半角公式的应用
62．（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知，则__________.
【答案】
【分析】利用半角公式即可求解.
【详解】因为，且，
所以，
故答案为：.
63．（2023·全国·高三专题练习）若，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数商数关系，半角公式化简得到，结合角的范围，求出，从而求出正切值.
【详解】因为，所以，
又因为，，
所以，即，
所以，
又因为，所以，．
故选：B．
64．（2023·全国·高三专题练习）若，是第三象限的角，则＝（ ）
A．2B．C．﹣2D．
【答案】C
【分析】将表达式中的正切化成正余弦，由，求出，代入即可求解．
【详解】由且是第三象限的角，可得，
又由，即.
故选：C.
65．（2023·浙江·校联考二模）数学里有一种证明方法叫做Prfwithutwrds，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形中的定义写出，用表示出，然后分析可得．
【详解】由已知，则，，
又，，，，
因此，
故选：C．
（二）三角恒等式的证明
66．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且满足．
(1)证明：；
(2)求的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）由两角和的余弦公式展开后变形，再由商数关系可证；
（2）由（1）利用平方关系化右侧为关于的二次齐次式，再弦化切，然后利用基本不等式得最大值．
【详解】（1）由已知，
，
∴；
（2），则，，
由（1）得
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是．
67．（2023·高三课时练习）小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
①；
②；
③；
④；
⑤．
(1)请依据②式求出这个常数；
(2)相据（1）的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)三角恒等式为，证明见解析
【分析】（1）根据②式，由平方公式、倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解；
（2）发现推广三角恒等式为 ，由三角函数中的恒等变换应用展开即可证明．
【详解】（1）解：由②得；
（2）解：三角恒等式为．
证明如下：
．
68．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）已知为斜三角形．
(1)证明：；
(2)若为锐角三角形，，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用诱导公式结合两角和的正切公式可证得结论成立；
（2）推导出，利用（1）中的结论结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】（1）证明：，所以．
因为，所以，所以．
由，可得．
（2）解：因为，
所以，可得．
由（1）得
．
因为为锐角三角形，由可知，
设，则，
当且仅当时取等号，再由（1）可得，
此时，解得或时，
即当或时，等号成立，
故的最小值为.
（三） 三角恒等变换的综合问题
69．（2023春·北京·高三清华附中校考期中）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值，并求相应的的值.
【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为
(2)当时，；当时，
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数最小正周期、单调区间的求法可求得结果；
（2）由的范围可求得的范围，结合正弦函数的性质可确定最值点和最值.
【详解】（1），
的最小正周期；
令，解得：，
的单调递增区间为.
（2）当时，；
当，即时，；
当，即时，.
70．（2023·上海浦东新·统考三模）已知向量，.设.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用数量积的坐标公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用最小正周期公式求解即可；
（2）根据求出角A，结合条件及三角形面积公式求出c，利用余弦定理即可求解a.
【详解】（1）由题意，
，
因此函数的最小正周期为；
（2）由得，
因为，所以，解得，
因为，所以,
由余弦定理解得,
所以.
71．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在中，分别是角的对边，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将已知等式配凑成的形式，由此可得；
（2）根据锐角三角形的特征可求得的范围；利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，结合的范围可确定最值，由此可得结果.
【详解】（1）由得：，
，则，
又，.
（2）是锐角三角形，，，解得：；
由正弦定理得：（其中，）；
当时，；
当时，；
当时，；
的取值范围为.
72．（2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中）已知向量，．设函数，．
(1)求函数的解析式及其单调减区间；
(2)若将的图像上的所有点向左平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像．当（其中）时，记函数的最大值与最小值分别为与，设，且使对都有成立，求实数k的最小值．
【答案】(1)，，（）；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等变换化简即得函数的解析式，再解不等式，，即得单调减区间；
（2）先求出，再对分类讨论，求出的解析式，再利用三角函数的图象和性质求解.
【详解】（1）由题意可知
，
∴．
由，，可得，，
∴函数的单调减区间为，（）
（2）将的图像上的所有的点向左平移个单位，
可得函数，
再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数，
∴，
∵，∴
①若，，，
此时；
②若，，，
此时
∴综上.
当时，，所以，所以即
时，
当时，有，所以，即
即时，所以
所以实数k的最小值为．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两个，其一是求函数的解析式，其二利用三角函数的图象和性质求解三角函数的最值.
73．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高三年级学生中征集解决方案.如图所示，是中点，分别在上，拟建成办公区，四边形拟建成教学区，拟建成生活区，和拟建成专用通道，，记.
(1)若，求教学区所在四边形的面积；
(2)当取何值时，可使快速通道的路程最短？最短路程是多少？
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）在Rt中计算出，再分析出四边形为直角梯形，利用梯形面积公式即可；
（2）利用正弦定理求得，写出的表达式，利用三角恒等变换、换元以及函数单调性即可得到最值.
【详解】（1）因为，则在Rt中，；
为等边三角形，，
则四边形为直角梯形，.
（2）在中，由正弦定理得：.
在中，由正弦定理得：，
所以，
，
设快速通道的长度为，
设，由题得，则，
则，则，
显然在上单调递减，
所以当，即时，取得最小值.
C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
C(α＋β)
cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β
记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β(异名相乘、加减一致)
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β(异名相乘、加减一致)
记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；(两式相除、上同下异)．
变形：①tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)②tan α·tan β＝eq \f(tan α－tan β,tan(α－β))－1
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；(两式相除、上同下异)．
变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)②tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan(α＋β))
S2α
sin 2α＝2sin_αcs_α；
变形：sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α，csα＝eq \f(sin2α,2sinα)，
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
变形：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）