[数学][期中]广东省汕尾市部分学校2023-2024学年高一上学期期中考试试卷(解析版)

这是一份[数学][期中]广东省汕尾市部分学校2023-2024学年高一上学期期中考试试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题.
1. 已知集合或，，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】当时，无解，此时，满足题意；
当时，有解，即，
若，则，所以要使，需满足，解得；
若，则，所以要使，需满足，解得，
综上，实数a的取值范围为.
故选：A.
2. “”是“方程有实数解”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，此时的方程为，即无解，
所以有实数解；
因为，所以，即，
所以方程有实数解；
所以“”是“方程有实数解”的必要不充分条件．
故选：B.
3. 若命题，则表述准确的是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】全称命题的否定为特称命题，排除BD选项，
其中可解得，的否定应是，
A选项中，可解得，故A选项错误，C选项正确.
故选：C.
4. 如果，，那么下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由选项可知，仅需要比较三个数的大小，显然，
所以最大，由可得，，所以，即，
可得.
故选：D.
5. 若函数满足对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为对任意的，都有，故为增函数，
故当时为增函数，故，即，
又当时为增函数，且对称轴为，故，即，
又当时，，即，
综上有.
故选：A.
6. 如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“稳定型函数”.则下列函数中是“稳定型函数”的有( )个
①；②；
③；④.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】设，且(*)，
对于①，设，此时只需证，即证，即证，
取，，但，即ab＜c，
故不是“稳定型函数”；
对于②，只需证明，
即说明是“稳定型函数”，只需证即可，
即证，结合(*)，显然成立，∴是“稳定型函数”；
对于③，取，，此时，
∴不是“稳定型函数”；
对于④，，(a)，(b)，(c)，
则有(a)(b)(c)，
故(a)，(b)，(c)也是某个三角形的三边长，f(x)是“稳定型函数”；
综上，其中②④为“稳定型函数”.
故选：B.
7. 设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有，则函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，得，即；
令，则，即；
，
令，则，，
所以的值域是.
故选：B.
8. 已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】函数中，当，即时，恒有，
则点，
依题意，，即，又，因此，
，当且仅当，
即时取等号，所以的最小值为8.
故选：D.
二、多项选择题.
9. 十六世纪中叶，英国数学家加雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列结论正确的是（ ）
A. 糖水加糖更甜可用式子表示，其中，
B. 若，，，则
C. 当时，
D. 当时，的最小值为4
【答案】BC
【解析】选项A，当时，，，A错；
选项B，，
当且仅当即时等号成立，B正确；
选项C，，则，，
当且仅当即时等号成立，C正确；
选项D，当时，，D错.
故选：BC．
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 和不是同一函数
B.
C. “”是“关于的不等式的解集为”的充分不必要条件
D 如果实数，满足，则不等式恒成立
【答案】ACD
【解析】的定义域为，的定义域为，
则与不是同一函数，故A正确；
，而，从而，故B错误；
关于的不等式的解集为，即不等式的解集为，
则，解得，
而“”是“”充分不必要条件，故C正确；
当时，，从而，即，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域是，对，都有，且当时，，且，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递增
C
D. 满足不等式的的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A：令，得，所以，
故选项A正确；
对于B：令，得，所以，
任取，，且，则，
因为，所以，所以，所以在上单调递增，
故选项B正确；
对于C：
，
故选项C不正确；
对于D：因为，由可得，
所以，
所以不等式等价于即，
因为在上单调递增，所以 解得：，
所以原不等式的解集为，故选项D正确.
故选：ABD．
12. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 函数的周期为
B. 函数的图象关于对称
C. 函数为偶函数
D. 函数的图象关于对称
【答案】BC
【解析】由，得，
将代入，，即，
所以函数的一个周期为7，A项错误；
由是奇函数得，
因为和，
所以，
即，所以的图象关于中心对称，B项正确，D项错误；
因为，，
所以，将代入，
得，即函数为偶函数，C项正确.
故选：BC.
三、填空题.
13. 已知条件：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】设集合，集合，
因为是的充分条件，所以，所以，解得.
故答案为：.
14. 已知表示，，…，这个数中最大的数.能够说明“，，c，，”是假命题的一组整数，，，的值依次为___________.
【答案】2，1，-1，-2
【解析】依题意，不妨令，
则有，，，
则原命题等价于，因此当时，不等式不成立，
即满足条件的只需排序后的第三个数小于0即可，
所以，所求的一组整数，，，的值依次为：2，1，-1，-2.
故答案为：2，1，-1，-2.
15. 若函数在区间上单调递增，则实数的最小值为__________．
【答案】
【解析】函数在上单调递增；
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
要使函数在区间上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，
所以的最小值为.
故答案为：.
16. 已知奇函数在是增函数，且，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】由函数为奇函数，可得不等式即，即和异号，
故有，或，
再由，可得，由函数在上为增函数，
可得函数在上也为增函数，画出函数单调性示意图：
结合函数的单调性示意图可得或.
故答案为：.
四、解答题.
17. 设集合，．
在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答．
（1）求，．
（2）若______，求的取值范围．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：（1）由，得，由，得，则，
或.
（2）选①：当时，，得；
当时，或，得．
故的取值范围为或．
选②：当时，，得；
当时，，得．
故的取值范围为．
18. 2020年初，新冠肺炎袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4万件．已知生产该产品的固定投入为24万元，每生产一万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
解：（1）由题意得，当时，，可得，则，
所以
，其中．
（2），
当且仅当时，等号成立，
故该厂家2020年的促销费用投入5万元时，厂家的利润最大，最大利润为73万元．
19. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立.
（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
解：（1），由题意可知，解得.
（2）当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为，
在区间上有，
则，
故，成立等价于，
即，
若命题真假，结合（1）可知且，故，
若命题真假，结合（1）可知且，故，
综上，.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间不单调，求出实数的取值范围.
解：（1）由是定义在上的奇函数，所以，
又时，，
所以时，，
所以，
所以函数的解析式为.
（2）当时，，
若，由知，在上递增，不合题意；
，，
所以在上先减再增，符合函数在上不单调，
综上，实数的取值范围为.
21. 若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数.
（1）若函数为函数，请直接写出（不要过程）；
（2）判断函数是否为函数，并说明理由；
（3）是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）函数为二次函数，对称轴为，开口向上，
若函数为函数，所以，即，
解得.
（2）函数不是P函数，理由如下：
在上递增，
因为m，n为整数，由题意可知，即，
令，即，解得，
假设函数为P函数，
则，即，与已知矛盾，所以不存在这样的m，n，
所以函数不是P函数.
（3）函数为二次函数，对称轴为，开口向上，
因为关于x的不等式的解集恰为，
所以，即，
将①代入③得，，
又m，n为整数，，所以，解得，此时，满足题意，
综上所述，存在实数使得函数为P函数.
22. 已知二次函数，关于实数的不等式的解集为
（1）当时，解关于的不等式：
（2）是否存在实数，使得关于的函数的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．
解：（1）由不等式的解集为知，
关于的方程的两根为和，且，
由根与系数关系，得，，
所以原不等式化为，
①当时，原不等式化为，且，解得或；
②当时，原不等式化为，解得且；③
④当时，原不等式化为，且，解得或；
综上所述，
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为或．
（2）假设存在满足条件的实数，
由（1）得：，，
，
令，，则，
对称轴为，
又，，，
函数在,递减，
时，最小为：，
解得：，