2022-2023学年吉林省第二实验学校九年级（上）第二次月考数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年吉林省第二实验学校九年级（上）第二次月考数学试卷（五四学制）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 华为自主研发的麒麟芯片晶体管栅极宽度达，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各点中，位于直角坐标系第二象限的点是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在▱中，已知，，平分交边于点，则等于(    )

A.   B.   C.   D.  

6. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于长的一半为半径作圆弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连结，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，、是以线段为直径的上两点，若，且，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在第一象限内，点，是双曲线上的两点，轴于点，轴于点，与交于点，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 分解因式：______．
10. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______．
11. 我国元朝朱世杰所著的算学启蒙中有一个问题：“良马日行里，驽马日行里，驽马先行日，问良马几何追及之”这道题的意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里，慢马先行十二天，快马几天可以追上慢马？如果快马和慢马从同一地点出发，沿同一路径行走．我们设快马天可以追上慢马，根据题意可列方程为______．
12. 将一块含有角的三角板如图放置，三角板角的顶点落在以为直径的半圆上，斜边恰好经过点，一条直角边与半圆交于点，若，则的长为______ 结果保留

13. 如图，点在正方形的边上．若的面积为，，则线段的长为______．
     
14. 当时，直线为常数与抛物线在自变量取值范围内的图象有两个交点，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
16. 本小题分
    根据疫情防控工作需要，某社区组织甲、乙两支医疗队开展疫苗接种工作，甲队比乙队每小时多接种人，甲队接种人与乙队接种人用时相同问甲队每小时接种多少人？
17. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
    求出该抛物线的函数关系式；
    点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为直接写出的面积的最大值．

18. 本小题分
    图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
    在图中的线段上找一点，连接，使；
    在图中的线段上找一点，连接，使；
    在图中的线段上找一点，连接，使．
     
19. 本小题分
    如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作一条直线分别交、的延长线于点、，连接、．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，垂足为，，求：的值．

20. 本小题分
    如图，已知是的直径，，点在的延长线上，连接交于点，过点作垂足为点．
    求证：与相切；
    连结，如果，，求的长．

21. 本小题分
    一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离千米与行驶时间小时的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
    甲乙两地的距离是______千米，慢车的速度为______千米时；
    求出两车相遇前与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    直接写出两车行驶多长时间相距千米？

22. 本小题分
    如图，和均为等边三角形，连接，．
    直接写出与的数量关系为______；直线与所夹锐角为______度；
    将绕点逆时针旋转至如图，取，的中点，，连接，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由；
    若，，当图形旋转至，，三点在一条直线上时，直接写出的面积为______．
23. 本小题分
    如图，在中，，，，点从点出发以的速度沿运动，点从点出发以的速度沿边运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，连结、，设点的运动时间为秒．
    当时，求的长；
    求线段的长用含的代数式表示；
    当点在边上运动时，过点作于点，当与互余时，求的值；
    在点运动的过程中，直接写出与同时为钝角三角形时的取值范围．
     
24. 本小题分
    在平面直角坐标系中，抛物线且是常数与轴只有一个交点．点在抛物线上，且点的横坐标为．
    求该抛物线对应的函数表达式；
    若点是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连结当时，求点的坐标；
    记抛物线且是常数在点右侧部分图象为，当图象的最低点到直线的距离为时，求的值；
    点的坐标为，当不与坐标轴平行时，以为对角线作矩形，使矩形的边与坐标轴垂直，当抛物线且是常数与矩形的某个交点与点所连的直线把矩形面积分成：时，直接写出的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是．
根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】
解：的相反数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法可以表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
【解答】
解：在第一象限，故本选项错误；
B.在第三象限，故本选项错误；
C.在第四象限，故本选项错误；
D.在第二象限，故本选项正确．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得，根据、的值，求出的长．
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
 

6.【答案】 

【解析】解：分别以点和点为圆心，大于长的一半为半径作圆弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连结，
垂直平分，
，
，，
，，
．
故选：．
直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出，的度数即可得出答案．
此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确得出，的度数是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：是直径，
，
，
，
，
，
，
，
故选D．
首先求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出答案．
本题考查圆周角定理、直径的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：把，代入得，解得，，
设直线的解析式为，
把代入得，解得，
所以直线的解析式为，当时，，
所以点坐标为，
所以的面积．
故选：．
先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出，，再利用待定系数法求出直线的解析式为，然后确定点坐标，再根据三角形面积公式求解．
本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的倍，本题可用完全平方公式分解因式．
本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
先计算“”的值．再根的判别式求解．
本题考查了根的判别式，正确计算是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
由慢马先行天可得出快马追上慢马时慢马行走了天，利用路程速度时间，结合快马追上慢马时两马行走的路程相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接．

，，
的长，
故答案为：．
连接，利用圆周角定理求出，利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，记住弧长公式．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形面积，正方形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出的长，难度适中．
根据正方形性质得出，根据面积求出，得出，根据勾股定理求出即可．
【解答】
解：过作于，

四边形是正方形，
，
，，
的面积为，
，
解得：，
即，
，
由勾股定理得：，
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为，
令，则，
令则，，
解得：，，
抛物线与轴的交点为和，与轴交点为，当时，，
抛物线的图象如图所示：

由图象知：直线与抛物线在内图象有一个交点，
则，
故答案为：．
通过抛物线解析式，用五点法画出函数图象，再利用数形结合的思想，得出结论．
本题考查了二次函数的性质，以及直线和抛物线的交点问题，关键是利用五点法画出二次函数的图象，数形结合解决问题．
 

15.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

16.【答案】解：设甲队每小时接种人，则乙队每小时接种人，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：甲队每小时接种人． 

【解析】设甲队每小时接种人，则乙队每小时接种人，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲队接种人与乙队接种人用时相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：将，，代入，
，
解得，
该抛物线的函数关系式为：；
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于于点，
点的横坐标为，
，则，
，
，
，
当时，的面积有最大值． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
先求直线的解析式，过点作轴交于于点，则，，再由，求点坐标即可．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用铅锤法求三角形面积是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求．
 

【解析】如图中，在上截取即可；
如图中，的垂直平分线交于点，点即为所求；
如图中，取格点，连接交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】证明：在菱形中，，，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；

解：设，
，，
，
又，
，
∽，
，
，
，
∽，
：：：：． 

【解析】根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
设，根据的正切值表示出，再根据和相似，利用相似三角形对应边成比例求出，然后根据和相似，利用相似三角形对应边成比例求解即可．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难点在于两次求出三角形相似．
 

20.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
解：在中，，，
，，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，等量代换得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
解直角三角形求出、，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：观察图象可得，甲乙两地的距离是千米，
慢车的速度为：千米时；
设相遇前解析式为．
把，代入中得，
，
解得，
；
相遇前相距千米，
，
，
相遇后相距千米，
快车速度为：千米时，
相遇后两车相距千米，设时间为，
则，
，
综上所述，当或时，两车相距千米．
观察图象可得出甲乙两地的距离，利用路程时间速度求解即可；
设相遇前解析式为，把，代入求解即可；
分两种情况：相遇前相距千米；相遇后相距千米解答即可．
本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图像获取信息是解题的关键．
 

22.【答案】   或 

【解析】解：如图，

设直线和交于点，和交于点，
和是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
，，
，
，
故答案为：，；
如图，

的值不变，理由如下：
连接，，
和是等边三角形，是的中点，是的中点，
，，，，
，，
，
，
即：，
∽，
，
的值不变；
如图，

是等边三角形，点是的中点，
，
，，，
，
，
，
由知：∽，
，
，
，
如图，

同理可得，
，
，
故答案为：或．
证明≌，从而得出结果；
证明∽，进而得出结果；
先求出的面积，结合中的相似，从而求得结果．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
 

23.【答案】解：，
，
，，，
，
；
解：，点从点出发以的速度沿运动，
当在上时，，
，
当在上时，，
点从点出发以的速度沿边运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，
，
的取值范围为：，
当时，；
当时，；
解：如图所示：

，，
，
，
∽，
，
，
∽，
∽，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
解：当在上运动时，，是钝角三角形，
当时，∽，
，
即，
，
当时，是钝角三角形；
当在上运动时，，为钝角三角形，
当，∽，
，
即，
，
当时，为钝角三角形，
综上所述，当，时，与同时为钝角三角形． 

【解析】根据勾股定理和线段的关系得出代数式即可；
根据两种情况，得出代数式解答即可；
根据相似三角形的判定和性质得出方程解答即可；
根据相似三角形的性质分两种情况解答即可．
本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：，且抛物线与轴只有一个交点，
该抛物线的顶点在轴上，
，
解得或不符合题意，舍去，
该抛物线对应的函数表达式．
由得抛物线的顶点为，对称轴为直线，
点在直线左侧，点与点关于直线对称，且，
，
当时，，
．
如图，当，即时，抛物线的顶点是图象的最低点，
，
解得或不符合题意，舍去；
如图，当，即时，点是图象的最低点，
当时，，
，
，
若，
解得或不符合题意，舍去；
若，此方程无解，
综上所述，的值为或．
由题意可知，抛物线需经过矩形某边的中点，
点的坐标为，
点的运动路径为抛物线，
当，即时，边在边的右侧，
当边在边上方时，则，
解得或，
当，且抛物线经过边的中点时，如图，
，
解得或不符合题意，舍去；
当时，边在边左侧且边在边下方，
抛物线不经过矩形某边的中点；
当，且抛物线经过边中点时，如图，
点在抛物线上，
，
解得或不符合题意，舍去；
当，且抛物线经过边中点时，如图，
，
解得或不符合题意，舍去；
当，且抛物线经过边中点时，如图，
点在抛物线上，
，
解得或不符合题意，舍去，
综上所述，的值为或或或． 

【解析】将函数关系式配方成顶点式得，则，所以符合题意的值为，则该抛物线对应的函数表达式；
由可知抛物线的顶点为，对称轴为直线，则点的横坐标为，即可求得；
分两种情况，一是当，即时，抛物线的顶点是图象的最低点，所以，则；二是当，即时，点是图象的最低点，因为，所以，则；
因为抛物线与矩形的某个交点与点所连的直线把矩形面积分成：两部分，所以抛物线经过矩形某边的中点，由点的坐标为，可知点的运动路径为抛物线，当，即时，边在边的右侧，当边在边上方时，则，解得或，然后结合函数图象进行如下讨论：当，且抛物线经过边的中点时，可列方程；当时，边在左侧且边在下方，抛物线不经过矩形某边的中点；当，且抛物线经过边中点时，由点在抛物线上，得；当，且抛物线经过边中点时，可列方程；当，且抛物线经过边中点时，由点在抛物线上，得，解方程求出相应的符合题意的值即可．
此题重点考查二次函数的图象与性质、矩形的性质、线段的中点坐标的表示方法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．