2024年湖南省益阳市沅江市两校联考中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项∶
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示∶
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科实行闭卷考试，共两道大题，考试时量60分钟，满分100分．
一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项)
1. 已知有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，那么（ ）

A. B. C. D.
2. 下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，是小明连续两周居家记录的体温情况折线统计图，下列从图中获得的信息不正确的是（ ）
A. 这两周体温的众数为B. 第一周平均体温高于第二周平均体温
C. 第一周体温的中位数为D. 第二周的体温比第一周的体温更加平稳
4. 若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A. B. C. 3D.
5. 与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是，则的面积是
A. B. C. D.
6. 如图，两条平行直线，，从点光源射出的光线射到直线上的点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点，当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 若反比例函数的图象经过点，则当时，函数值y的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项)
11. 分解因式：____．
12. 一只蚂蚁由数轴上表示的点先向右爬3个单位长度，再向左爬5个单位长度，则此蚂蚁所在的位置表示的数是________．
13. 一个不透明口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球,其中有6个黄球,将口袋中的球摇匀,从中任意摸出一个球记下颜色后再放回,通过大量重复上述试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,由此估计口袋中共有小球____________个.
14. 如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是______．
15. 在等腰三角形中，的垂直平分线交直线于点E，连接，如果，那么的度数为________．
16. 在如图所示的正方形网格中，的三个顶点都在格点处，则的值等于___________．
17. 如图，点A，B是双曲线y＝上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若＝2，则+＝___．
18. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，E为上一点，，F为中点，若的周长为32，则的长为___________．

三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10．分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19. 先化简，再求值：，其中
20. 空中缆车是旅游时上、下山和进行空中参观的交通工具．小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡，长度为1200米；从B到C的缆车路线可看作是直线，其与水平线的夹角为45°，且缆车从B到C的平均速度为6米/秒，运行时间为10分钟，求山顶C到AD的距离（结果保留根号）．
21. 某校七年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题中选择一个，七年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少度？
（3）如果该校七年级共有1200名考生，请估计选择以“友善”为主题的七年级学生有多少名？
22. 如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别为，的中点，连接，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当的边满足______时，四边形为矩形．
23. 重庆位于中国内陆西南部、长江上游地区，地貌以丘陵、山地为主，故有“山城”之称．重庆有很多白旅游景区，游客满意度综合排名居全国第一．据统计重庆某级景区在年共接待游客达万人次，在年接待游客达万人次．
（1）若该级景区年到年接待游客人数年平均增长率都相同，求这两年的年平均增率．
（2）某旅行社专门定制了一条来重庆的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过人，人均旅游费为元；如果人数超过人，每增加人，人均旅游费用降低元，但人均旅游费用不得低于元．如果该旅行社组织的一个旅行团共收取了元的费用，求这个旅行团的人数．
24. 设，，…，容易知道，，，如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整数，所以，，都能被8整除．
（1）试探究是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论．
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出，，…这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当n满足什么条件时，为完全平方数．
25. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为线段上一动点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，当的面积最大时，求点P的坐标；
26. （1）如图，是直径，与交于点F，点E在上，连接、， ，求证： ；从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论（填写序号），并完成证明过程；
（2）在（1）的前提下，若，，求的长．