2024年湖南省长沙市多校联考中考三模数学试题

这是一份2024年湖南省长沙市多校联考中考三模数学试题，共13页。试卷主要包含了先化简，再求值等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.
一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1.下列四个实数中，最大的数是
A.-1 B.0 C. D.
2近年来，长沙中高端人才净流入率居全国前三，高精尖人才集中在战略性新兴产业的比例达95%；“人才吸引力指数”跃居全国第十、中部第一.长沙人才总量2023年增至3150000.其中数据3150000用科学记数法表示为
×105 ×106 ×107 D.31.5×106
3.剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸作品的图案是中心对称图形的是
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是
A.神舟十九号载人飞船发射前的零件检查应选择抽样调查
B.“离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件
C.要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图
D.若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩较稳定
6.如图，BE平分∠ABC，BE∥CD，若∠1=25°，则∠C的度数为
A.20° B.25° C.30° D.35°
7.不等式组，的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.
8“爱护环境，人人有责”.为减少塑料垃圾袋的使用，小明统计了他家某一周每天使用塑料垃圾袋的数量(单位：个)：2，2，3，3，3，4，4.则对这组数据说法错误的是
A.众数是3 B.中位数是3 C.平均数是3 D.方差是3
9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，若∠ADC=60°，CD=，则⊙O的半径为
A. B.4 C. D.5
10.在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R(单位：Q)与温度t(单位：℃)之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如下表：
根据上述关系，当温度t为55℃时，该金属导体的电阻R的值为
Ω Ω Ω Ω
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
1.若二次根式在实数范围内有意义，则α的取值范围是____________.
12.一个正多边形的每个外角为30°，则这个多边形的边数为____________.
13.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为___________.
14.已知P(a，b)是反比例函数图象上的一个动点，当a=2时，b=3，则当b=6时，
a的值为___________.
15.如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠C=30°，过点A作AD⊥AB，交CB的延长线于点D，若BC=1，则AD的长为____________.
16.如图，是一个边长为2的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是_________.(填序号)
①若投100次，有80次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为0.8；
②若投100次，有70次落在圆内，则投101次，米粒落在圆内的概率为0.7；
③米粒落在圆内的概率P=；
④若投m次，有n次落在圆内，随着实验次数m的增加，则的值接近于.
三、解答题(本大题共9个小题，第1718、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24，25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.计算：.
18.先化简，再求值：，其中.
19.为了提升居民的居住环境和品质，许多小区采用高层、小高层结合的模式建造.如图，某小区有前后两栋楼分别是高层AB和小高层CD，两栋楼的楼间距BD为40米，当小明站在高层楼顶点A处时，测得对面小高层楼顶C点的俯角为45°，测得对面小高层楼底D点的俯角为58°，已知小高层CD层高为3米.(参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果精确到1米)
(1)求该小区高层AB的高度；
(2)求该小区小高层有多少层?
20.某中学将在九年级开展红色之旅研学活动，为了解学生的研学意向，在九年级的每个班中随机选取了部分同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下统计表和扇形统计图.
根据图表中提供的信息回答下列问题：
(1)统计图表中的m=__________，n=_____________；
(2)如果该校九年级学生共有900人，估计九年级学生最想去的纪念馆是“湖南辛亥革命人物纪念馆”的有多少人?
(3)学校根据调查结果选出一个纪念馆作为研学地.为方便管理，从甲、乙、丙、丁4名学生中，随机选择2名作为此次研学活动老师的助手，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生中没有甲的概率
21.如图，已知Rt△ABC，∠A=90°.
(1)尺规作图：作出线段BC的垂直平分线MN；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，设直线MN交AC于点D，连接BD，若∠ABD=25°，求∠C的度数.
22.话剧是以对话方式为主的戏剧形式，主要叙述手段为演员在台上无伴奏的对白或独白.某剧院上映话剧《雷雨》，设置两种票价，甲种票每张50元，乙种票每张80元.
(1)某校话剧社团共52人去该剧院看话剧《雷雨》，购票共花费3500元，求购买甲、乙两种票各多少张?
(2)该剧院场馆共有500个座位，在每场票售罄的前提下，要使该话剧每场售票总金额不低于35000元，则甲种票所对应的座位最多可设置多少个?
23.在新学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板(△ABF和△CDE)，按如图的方式放置，已知∠BAF=∠DCE=90°，AF=CB=3，AB=CD=4，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若四边形AECF是菱形，求菱形AECF的面积和BD的长.
24.定义：若函数，的自变量x的取值范围相同，我们把函数叫做，的加权平均函数，其中t为加权系数，且0(1)已知，.
①当时；，的加权平均函数为___________；
②诺是，的加权平均函数，则t=_______，m=________；
(2)已知，，其加权平均函数y的图象经过两个定点A，B(点A在点B的左侧)，试在x轴上求一点P，使得PB-PA取得最大值，并写出点Р的坐标；
(3)已知与对于025.如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，AC为⊙O的直径，BA=BC，过点B作射线BM，使得∠CBM=∠BAC，点P为射线BM上的一个动点，连接PC并延长交⊙O于点D，连接AD，BD.
(1)求证：BM为⊙O的切线；
(2)设BD=x，四边形ABCD的面积为y.
①y关于x的函数关系式；
②当S△BCD：S△BCP=7：9，AC=6时，求y的值；
(3)已知E为CD的中点，连接AE交BD于点F，连接FC，若tan∠ABD=，试探究线段FA，FB，FC能否构成一个三角形，若能，请证明你的结论，并判断三角形的形状；若不能，请说明理由.
参考答案
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分.，共30分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
11.；12.12；13.6；14.1；15..；16.①③④
三、解答题(本大题共9个小题，共72分)
17.解：原式=3-3+1-2
=-(6分)
18、解：原式=
=
=(4分)
当时，
原式=(6分)
19.解：(1)根据题意，易得∠ADB=58，AB⊥BD.
在Rt△ABD中，AB=BD·tan58≈40×1.60=64(米)，
∴该小区高层AB的高度约为64米；…….….….……………………(3分)
(2)如解图，过点C作CE⊥AB于点E，
根据题意，易得四边形CDBE为矩形，∠ACE=45°，
∴CE=BD=40米，CD=BE，△AEC为等腰直角三角形，
∴AE=CE=40米，
由(1)知，AB=64米，
∴BE=AB-AE=24(米)，
∴CD=BE=24(米)，
∵小高层CD层高为3米，
∴24+3=8(层)，
∴该小区小高层有8层.….……(6分)
20.解：(1)20，30；….(2分)
(2)900×=225(人)，
估计九年级学生最想去的纪念馆是"湖南辛亥革命人物纪念馆”的有225人；……….(2分)
(3)根据题意，列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生中没有甲的结果有6种，
∴P(选出的2名学生中没有甲)=………………………………………(8分)
21.解：(1)作出线段BC的垂直平分线MN如解图①；…(4分)
(2)如解图②，∵∠A=90°，∠ABD=25，
∴∠ADB=180°-90°-25°=65°，
由(1)知，MN为线段BC的垂H平分线，
∴BD=CD，
∴∠C=∠DBC=∠ADB=32.5°.…………………………………(8分)
22解：(1)设购买甲种票x张，购买乙种票y张，
根据题意，得，
解得，
答：购买甲种票22张，购买乙种票30张；…..……(4分)
(2)设甲种票所对应的座位设置a个，则乙种票所对应的座位设置(500-a)个，
根据题意，得，
解得，
∵a为整数，
∴，
答：甲种票所对应的座位最多可设置166个.……(9分)
23.(1)证明：在△ABF和△CDE中，
∴△ABFQ≌△CDE(SAS)，
∴∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE.
∵AF=CE
∴四边形AECF为平行四边形；….…(4分)
(2)解；如解图，连接AC交E于点O，
∵四边形AECF为菱形，
∴AC⊥EF，OE=OF，OA=OC.
在Rt△ABF中，.
由(1)知，△ABF≌△CDE，
∴BF=DE=5.
∵S△ABF=AB·AF=BF·AO，
∴，….…(6分)
∴AC=2AO=
在Rt△AOF中，，
∴EF=2OF=…..(7分)
BE=BF-EF=
∴BD=BE+ED=………(9分)
24.解：(1)①……(1分)
②，1；(3分)
(2)由题意，得，
∵y过定点，
∴，
解得或，
当时，y=-1，当时，y=2，
∵点A在点B的左侧，
∴A(1，-1)，B(4，2)，
如解图，作点A(1，-1)关于x轴的对称点A'(1，1)，直线A'B与x轴的交点即为所求的点P，使得PB-PA的值最大，
设直线A'B的解析式为.
将点A'(1，1)，B(4，2)代入，
得，
解得，
∴直线A'B的解析式为.
令y=0，得，
∴点P的坐标为(-2，0)；…(6分)
(3)∵，与
∴，
∵1>0，
∴加权平均函数y的图象开口向上，
∴当时，，
∵加权平均函数y的图象都在x轴上方，
∴
∴，
令，
∵1>0，
∴函数h的图象开口向上.
令t=1，得，
令t=0，得.
∵0∴，且，
解得，
∴n的取值范为.………………(10分)
25.(1)证明：如解图，连接OB.
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°.
∵，
∴BA=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BCA=45°.
∵OB=OC，
∴·OBC=∠OCB=45°.
∵∠CBM=∠BAC，
∴∠CBM=45°，
∴∠OBM=∠CBM+∠CBO=90°，
∴BM⊥OB.
∵OB为⊙O的半径，
∴BM为⊙O的切线；…(3分)
(2)解：①如解图，作BG⊥CD于点G，BH⊥DA交DA的延长线于点H.
∵BG⊥CD，BH⊥DH，
∴∠BHD=∠BGD=90°.
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴四边形BGDH为矩形，
∵，
∴BA=BC，∠ADB=∠BDC.
∵BC⊥CD，BH⊥DH，
∴BH=BG，
∴矩形BCDH为正方形，
在Rt△ABH和Rt△CBG中，
，
∴Rt△ABH≌Rt△CBG(HL)，
∴S△ABH=S△CBG，
∴S四边形ABCD=S正方形BCDH，
∵S正方形BCDH=
∴(5分)
②由(1)知，∠PBC=∠BAC=45°.
∴∠PDB=∠BAC=∠PBC=45°.
∵∠BPC=∠DPB，
∴△BCP∽△DBP，
∴
∵=7：9，
∴
∴
∴
在Rt△ABC中，BC=AC·sin45°=，
∴BD=，即，
∴……(7分)
(3)线段FA，FB，FC能构成一个三角形，三角形的形状为直角三角形，证明如下：
如解图，
∵tan∠ABD=，
∴tan∠ACD=.
由(2)①知，∠ADC=908，
∴AD=CD.
∵E为CD的中点，
∴ED=EC=CD，
∴AD=ED，
∴△ADE是等腰直角三角形.
由(2)①知，∠ADB=∠BDC，
∴DB垂直平分AE，
∴，
∴，，
∴，
∵∠CEF=∠AEC，
∴△CEF∽△AEC，
∴，
∴AC=FC.
由(1)知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB，
∴FC=AB，
在Rt△ABF中，FA2+FB2=AB2.
∴FA2+FB2=FC2，
线段FA，FB，FC能构成一个直角三角形.…………………(10分)t(℃)
0
10
20
30
40
R(Ω)
5
5.08
5.16
5.24
5.32
调查问卷
在下面四个纪念馆中，你最想去的是( )(单选)
A.秋收起义文家市会师纪念馆
B.湖南红色档案馆
C.中国共产党长沙历史馆
D.湖南辛亥革命人物纪念馆
纪念馆
人数
A
16
B
m
C
24
D
20
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
C
C
B
C
D
B
C
第一名
第二名
甲
乙
丙
丁
甲
-
(甲，乙)
(甲，丙)
(甲，丁)
乙
(乙，甲)
-
(乙，丙)
(乙，丁)
丙
(丙，甲)
(丙，乙)
-
(丙，丁)
丁
(丁，甲)
(丁，乙)
(丁，丙)
-