[数学][期末]山东省济南市莱芜区2023-2024学年八年级下学期期末模拟试题(解析版)

这是一份[数学][期末]山东省济南市莱芜区2023-2024学年八年级下学期期末模拟试题(解析版)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 二次根式中的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若有意义，
则且，
即：且，解得
2. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的面积为1，则的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】∵与是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴
3. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、是分式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
B、，是一元二次方程，符合题意；
C、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；
D、是一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意
4. 某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量，，则这个风筝的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积为：．
5. 关于x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】B
【解析】根据题意得，
解得：．
6. 如图，在中，，边在x轴上，边在y轴上，且点，．将先沿x轴向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，延长交x轴于点C，则点C的横坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，
∴，∴．
如图，延长与x轴交于点D，
由题意可得：
∴，
∴，
由平移的性质可得出，，，
∴，
解得：，
∴，
∴点C的横坐标为．
7. 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形．，点是边上一点，则满足的点的个数为（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】D
【解析】如图所示，四边形是黄金矩形，，，
设，，假设存在点，且，则，
在中，，
在中，，
，
，即，
整理得，
，又，即，
，
，，
，
方程无解，即点不存在．
8. 如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即
9. 一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元，
由题意可得，，
解得，
经检验，是原方程的解，符合题意，
∴，
∴第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元，
∴根据第二天总利润为元可得，
，
整理得，，解得，，
当时，，，
∵，∴符合题意；
当，，
∵，∴不合题意，舍去；∴
10. 如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（ ）
A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ①②③④
【答案】D
【解析】如图，连接，

四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，故正确；
，，
，
，
又，
，
，
，故正确；
．．，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，故正确；
，，
，，
，
，
又，
，
，，
，故正确
二、填空题（本大题共5小题，每小题填对得4分，共20分．请填在答题卡上）
11. 已知、、是的三边长，化简______．
【答案】
【解析】、、是三边长，
，，，
原式
．
12. 如图，中，，是斜边上的中线．
某同学按照如下步骤画图：
（1）取的中点F；
（2）连接并延长到E，使；
（3）连接，．所得四边形的形状是__________．
【答案】菱形
【解析】∵中，，是斜边上的中线，
∴，
∵，点F为的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，∴四边形是菱形．
13. 某小微企业今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到121万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是__________．
【答案】
【解析】设平均每月利润增长的百分率为x，
根据题意，得，解得，（舍去），
∴平均每月利润增长的百分率为．
14. 如图所示，边长为5的等边和边长为4的正方形的边在同一条直线上．若一动点 G沿着的边移动，则当的长度最小时，的长为_________．
【答案】
【解析】过点作，此时的长度为最小值，如图，
∵是等边三角形，四边形是正方形，
∴
∴
∴∴
∵∴
15. 如图， 正方形中，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则 ________．
【答案】
【解析】如图，过点作的平行线，分别交于点，
四边形是正方形，，
，，四边形是矩形，
，
点为中点，
，
，
，
，即，
设，则，
，
由折叠的性质得：，
，
又，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得，，，
又，
，
解得或，
经检验，是所列方程的解，不是所列方程的解，
，
三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答题要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
16. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
17. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
移项，得：，
配方，得：，
即，开方，得，
∴，；
（2），
移项，得：，
因式分解，得，
∴或，∴，．
18. 某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标B杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．
解：由题意得：，，
∴，，
，∴，
，
（米），
∵，∴，
（米），
答：古塔的高度为22米．
19. 如图，平行四边形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求的度数．
解：（1）∵，，
∴，
又∵，，
∴，∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵，是矩形，
∴，，
∴在中，，
∴．
20. 芯片目前是全球紧缺资源，市政府通过资本招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题：
（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
解：（1）设求前三季度生产量的平均增长率为x，
依题意得：，
解得：=0.2=20%，=-2.2（不合题意，舍去）．
答：前三季度生产量的平均增长率20%；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（600-20m）万个/季度，
依题意得：（1+m）（600-20m）=2600，
整理得：，
解得：=4，=25，
∵在增加产能同时又要节省投入，∴m=4．
答：应该再增加4条生产线
21. 和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点，线段与射线CA相交于点．
（1）如图①，当点在线段上，且时，求证：；
（2）如图②，当点在线段CA的延长线上时，求证：；并求当，时的长．
（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，，
是的中点，，
在和中，
，
；
（2）解：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，，
，
．
22. 【阅读下列材料】
若，则（注：）．
．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．）
【例】：若，求的最小值．
解：，
．
时，的最小值为8．
【解决问题】
（1）若，求的最大值；
（2）用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
（3）用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少．
解：（1）∵
∴
∴∴
∴，∴当时，的最大值为；
（2）设这个长方形的长为x米，另一边为米，
则，∴，
∴所用篱笆的长为米，
，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为，
∴或（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
（3）设一边为，则另一边长为，则
∴
∴
∴，
∴
∴当时的最大值为
∴当时，菜园的面积有最大值为平方米，
答：菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米．
23. 综合与实践
完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）
【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．
【迁移探究】
（2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．
①在图2中，已知，求证：；
②在图3中，若，则的度数为多少?
【拓展应用】
（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）①作于点H，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②作于点L，

同理可证四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，

同理可证，
∴．
∵，∴，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
②当N、F在的延长线上时，如图，
同理可得：，，
∴．
．
24. 【问题情境】
（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC² = AB·AD．
【结论运用】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若，求OF的长．

解：（1）证明：如图1，∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，

而∠A=∠A，∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC² = AB·AD；
（2）①证明：如图2，

∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD=90°，
∴BC2=BO•BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2=BF•BE，
∴BO•BD=BF•BE，
即，而∠OBF=∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=，
∴CE=，
∴DE=BC-CE=2；
在Rt△OBC中，OB=BC=，
∵△BOF∽△BED，
∴，即，
∴OF=.
25. 综合与实践
“领航”数学研究小组在数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．
实践探究：
四边形和四边形都是正方形．
（1）连接，如图1，试猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，连接BG，如图2，若，，，则__________；
（3）连接，如图3，则与的数量关系为__________；
拓展应用：
（4）如图4，四边形和四边形都是平行四边形，，，且，，连接，则与的数量关系为__________．
解：（1），理由如下：
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
；
（2）如图，连接，
正方形中，，
，，
由（1）得，，
，
，
（3）如图，连接，
四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
，
，
，
，
，
即
（4）如图，连接，过点A作，
，，
，
，
，
四边形ABCD和四边形AEFG都是平行四边形，，
，
，
，
即，数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．

甲小组同学的证明思路如下：
由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得．
乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下：
由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．