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山东省济南市莱芜区胜利中学2023-2024学年上学期八年级数学期末模拟试题
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这是一份山东省济南市莱芜区胜利中学2023-2024学年上学期八年级数学期末模拟试题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共40分）
1．下列多项式，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A．B．4a2b2﹣4ab+1
C．y2+10y﹣25D．
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．4B．﹣4C．3或﹣3D．3
3．对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（ ）
A．平均数是1 B．方差是3.5C．中位数是0.5 D．众数是﹣1
（多选）4．下列球类标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
5．在英语听说模拟测试中，7名男生的成绩如下：28，22，22，25，23，25，25，则这组数据的众数是（ ）
A．28B．22C．23D．25
6．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形两组对边分别平行 B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
7．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝5．现将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．若平移的距离为3，则CG的长为（ ）
A．3B．C．4D．2
7. 10.
8．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，2），B（4，0）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣3，2）C．（5，2）D．（3，﹣2）
10．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE≌△ACD；③BE+DC＝DE；④BE2+DC2＝DE2．其中一定正确的是（ ）
A．②④B．①③C．①④D．②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分.请填在答题卡上）
11．把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是 ．
12．一个三角形的周长是12cm，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长为 ．
13．正五边形ABCDE和正方形DEFG位置如图所示，连接AF，则∠AFE的度数为 °．
14．如图是甲、乙两名射击运动员10次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10次射击成绩的方差为s甲2，s乙2，那么s甲2 s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
15．关于x的分式方程＝2的解为正数，则a的取值范围是 ．
16．在△OAB中，顶点O（0，0），A（4，3），B（4，﹣3）．将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17．解方程：
（1）； （2）．
18．分式化简：．
19．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
20．观察下列式子，并探索它们的规律：
；
．
（1）根据以上式子填空：
① ．
② ．
（2）求分式的最小值．
（3）已知x为整数，求能使分式的值为整数的所有x值的和．
21．2022年11月12日，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的参赛作品成绩的众数为 分，中位数为 分，并补全条形统计图；
（2）求本次抽取的参赛作品的平均成绩；
（3）若该校共收到900份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于90分的作品有多少份？
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题：
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0）作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标；
（2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标．
23．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
24．应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
25．在等边三角形ABC的内部有一点D，连接BD，CD，以点B为中心，把BD逆时针旋转630°得到HD′，连接AD′，DD′．以点C为中心，把CD顺时针旋转60°得到CD″，连接AD″，DD″．
（1）判断∠D′BA和∠DBC的大小关系，并说明理由；
（2）求证：D′A＝DC；
（3）求证：四边形AD'DD″是平行四边形．
26．如图，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α≤90°），将BC边绕点C逆时针旋转（180°﹣α）得到线段CD．
（1）判断∠B与∠ACD的数量关系并证明；
（2）将AC边绕点C顺时针旋转α得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．
①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明；
②若AB＝a，AC＝b，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）
莱芜区胜利中学2023-2024学年上学期八年级
数学期末模拟试题
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共40分）
1．下列多项式，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A．B．4a2b2﹣4ab+1
C．y2+10y﹣25D．
【分析】根据完全平方公式法分别判断即可．
【解答】解：，
故A选项不符合题意；
4a2b2﹣4ab+1＝（2ab﹣1）2，
故B选项不符合题意；
y2+10y﹣25不能用完全平方公式因式分解，
故C选项符合题意；
，
故D选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．4B．﹣4C．3或﹣3D．3
【分析】根据分式的值为零，分子等于零列出方程，且分母不等于零．列出不等式，求解即可得到答案．
【解答】解：由题意，知x2﹣9＝0且x+3≠0．
解得x＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（ ）
A．平均数是1B．方差是3.5
C．中位数是0.5D．众数是﹣1
【分析】将数据重新排列，再根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为﹣1、﹣1、2、4，
所以这组数据的平均数为＝1，中位数为＝0.5，众数为﹣1，
方差为×[2×（﹣1﹣1）2+（2﹣1）2+（4﹣1）2]＝4.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义．
（多选）4．下列球类标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：AC．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
5．在英语听说模拟测试中，7名男生的成绩如下：28，22，22，25，23，25，25，则这组数据的众数是（ ）
A．28B．22C．23D．25
【分析】找到出现次数最多的数据，即为众数．
【解答】解：7个数据中，25出现的次数最多，
∴这组数据的众数是25．
故选：D．
【点评】本题考查众数．熟练掌握众数是出现次数最多的数据，可能不唯一，是解题的关键．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形两组对边分别平行
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
【分析】根据平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、平行四边形两组对边分别平行，说法正确，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；
C、平行四边形的对角相等，邻角互补，说法错误，符合题意；
D、平行四边形的两组对边分别平行且相等，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答．
7．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝5．现将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．若平移的距离为3，则CG的长为（ ）
A．3B．C．4D．2
【分析】根据等腰三角形性质、平移性质、勾股定理求解即可．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移的距离为3，
∴BE＝3，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝5，
∴∠BCA＝45°，CE＝BC﹣BE＝2，
∴∠EGC＝45°＝∠ECG，
∴EG＝CE＝2，
∴CG＝＝＝2，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、平移的性质，熟记等腰三角形的性质、平移的性质是解题的关键．
8．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据原计划的天数﹣实际的天数＝提前的天数可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
＝2，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
9．在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，2），B（4，0）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣3，2）C．（5，2）D．（3，﹣2）
【分析】根据题意画出平行四边形，即可解决问题．
【解答】解：如图，
平行四边形的第三个顶点坐标为（5，2）或（﹣3，2）或（3，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，解题的关键是正确画出图形，属于中考常考题型．
10．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE≌△ACD；③BE+DC＝DE；④BE2+DC2＝DE2．其中一定正确的是（ ）
A．②④B．①③C．①④D．②③
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质，可求得顶角与底角的度数；根据旋转的性质，可得对应角与对应边相等；根据全等三角形的判定定理即可求得①正确；根据勾股定理与等量代换可得④正确；由三角形的三边关系可得③错误；②无法判断，所以错误．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，∠ABC＝∠C＝45°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠BAE+∠DAC＝45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，∠ABF＝∠C＝45°，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝45°，
∴∠EAF＝∠EAD，∠EBF＝90°，
∴△AED≌△AEF，①正确，
∴DE＝EF，
在△BEF中，BE+BF＞EF，
∴BE+CD＞EF，③错误，
∵∠BAE与∠CAD的大小无法确定，
∴△ABE与△ACD是否全等无法确定，故②错误；
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴BE2+DC2＝DE2；④正确；
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的判定定理、等腰直角直角三角形的性质以及旋转的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分.请填在答题卡上）
11．把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是 a（x﹣2）2 ．
【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案为：a（x﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12．一个三角形的周长是12cm，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长为 6cm ．
【分析】先画出图形，由三角形的中位线定理可知：DE＝BC，DF＝AC，EF＝AB，则以三角形三边中点为顶点的三角形的周长是原三角形周长的一半．
【解答】解：根据题意，画出图形如图示，
∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DF＝AC，EF＝AB，
∵△ABC的周长是12cm，
∴AB+CB+AC＝12cm，
∴DE+DF+FE＝24÷2＝6（cm）．
故答案为：6cm．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理以及三角形周长，解决问题的关键是熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
13．正五边形ABCDE和正方形DEFG位置如图所示，连接AF，则∠AFE的度数为 9 °．
【分析】由正多边形的性质得AE＝DE，∠AED＝108°，EF＝DE，∠DEF＝90°，则AE＝EF，∠AEF＝162°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，四边形DEFG是正方形，
∴AE＝DE，∠AED＝×（5﹣2）×180°＝108°，EF＝DE，∠DEF＝90°，
∴AE＝EF，∠AEF＝360°﹣∠AED﹣∠DEF＝360°﹣108°﹣90°＝162°，
∴∠AFE＝∠AEF＝×（180°﹣∠AEF）＝×（180°﹣162°）＝9°，
故答案为：9．
【点评】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
14．如图是甲、乙两名射击运动员10次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10次射击成绩的方差为s甲2，s乙2，那么s甲2 ＞ s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】从统计图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算．
【解答】解：由图中知，甲的成绩为7，10，7，9，10，9，8，10，8，7，
乙的成绩为9，8，10，9，9，8，9，7，7，9，
＝×（7+10+7+9+10+9+8+10+8+7）＝8.5，
＝×（9+8+10+9+9+8+9+7+7+9）＝8.5，
甲的方差s甲2＝[3×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2+2×（9﹣8.5）2]÷10＝1.45，
乙的方差s乙2＝[2×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2+（10﹣8.5）2]÷10＝0.85，
∴s甲2＞s乙2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查方差的定义与意义，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15．关于x的分式方程＝2的解为正数，则a的取值范围是 a＜4且a≠2 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数确定出a的范围即可．
【解答】解：去分母得：1﹣（a﹣1）＝2（x﹣1），
解得：x＝2﹣a，
由分式方程的解为正数，得到2﹣a＞0，且2﹣a≠1，
解得：a＜4且a≠2，
故答案为a＜4且a≠2．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．在△OAB中，顶点O（0，0），A（4，3），B（4，﹣3）．将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标是 （﹣10，3） ．
【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定C（10，﹣3），由题意4次一个循环，由于2022＝4×505+2，所以第2022次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，由此求出点C坐标即可．
【解答】解：∵A（4，3），B（4，﹣3），
∴AB＝3+3＝6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝AB＝6，
∴C（10，﹣3），
∵每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022＝4×505+2，
∴每4次一个循环，第2022次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转2次，每次旋转90°，
∴点D的坐标为（﹣10，3）．
故答案为：（﹣10，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）去分母，得3+（x﹣2）＝﹣（x﹣3），
解得x＝1，
经检验，x＝1是原方程的根，
∴x＝1；
（2）去分母，得2（x﹣1）+3（x+1）＝11，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的根，
∴x＝2．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键，注意验根．
18．分式化简：．
【分析】先通分，再进行约分，最后算加法即可．
【解答】解：
＝+1
＝+1
＝+1
＝+1
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．
20．观察下列式子，并探索它们的规律：
；
．
（1）根据以上式子填空：
① ．
② ．
（2）求分式的最小值．
（3）已知x为整数，求能使分式的值为整数的所有x值的和．
【分析】（1）根据所给的规律对①②进行运算即可；
（2）结合所给的规律进行求解即可；
（3）结合所给的规律进行求解即可．
【解答】解：（1）①
＝
＝
＝3+，
故答案为：；
②
＝
＝
＝a+，
故答案为：；
（2）
＝
＝，
要求原式的最小值，则的值最大，
当x＝0时，，
∴2﹣的最小值为：2﹣6＝﹣4；
（3）
＝
＝x+1﹣
＝x+1﹣
＝x+1﹣4+
＝x﹣3+，
要使结果为整数，
则为整数，
∴x的值为：﹣4或﹣2或0或2，
∴其和为：﹣4﹣2+0+2＝﹣4．
【点评】本题主要考查分式的加减，数字的变化规律，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，及找到存在的规律．
21．2022年11月12日，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的参赛作品成绩的众数为 80 分，中位数为 80 分，并补全条形统计图；
（2）求本次抽取的参赛作品的平均成绩；
（3）若该校共收到900份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于90分的作品有多少份？
【分析】（1）根据70分的占比与人数求得总人数，进而得出90分的人数，进而补全统计图；
（2）根据平均数的定义进行计算即可求解；
（3）根据样本估计总体，用900乘以90分以上人数的占比即可求解．
【解答】解：（1）总人数为（人），则90人的人数为100﹣30﹣40﹣5＝25（人），
∴众数为80，中位数为第50与51个的平均数，即，
补全统计图如图，
故答案为：80，80．
（2）平均数为（分）；
（3）估计此次大赛成绩不低于90分的作品有（份）；
答：估计此次大赛成绩不低于90分的作品有270份．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题：
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0）作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标；
（2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标．
【分析】（1）根据平移的性质作图，可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，可得出答案．
（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，再分别作出线段A1A2，B1B2，C1C2的垂直平分线，交点P即为所求的旋转中心，可得出答案．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．
点A1（3，﹣3），B1（4，﹣1）．
（2）△A2B2C2如图所示．
（3）如图，点P即为所求的旋转中心，
∴旋转中心的坐标为（5，0）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键．
23．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
【分析】（1）证△AOE≌△COD（ASA），得OD＝OE，再由AO＝CO，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得OB⊥AC，则平行四边形AECD是菱形，再由勾股定理求出OD＝3，则DE＝6，即可得出答案．
【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
24．应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元，每个甲种书柜的进价为1.1x元，根据用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台，列方程求解；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60﹣m）个，根据乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍，列不等式组求解．
【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为1.1x元，
根据题意得，+5＝，
解得x＝300，
经检验，x＝300是原方程的根，
300×1.1＝330（元）．
故每个甲种书柜的进价为330元，每个乙种书柜的进价为300元；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60﹣m）个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意得，
，
解得y＝30m+18000（m≥20），
∵k＝30＞0，
∴y随x的增大而增大，
当m＝20时，y＝18600（元）．
故购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．
25．在等边三角形ABC的内部有一点D，连接BD，CD，以点B为中心，把BD逆时针旋转630°得到HD′，连接AD′，DD′．以点C为中心，把CD顺时针旋转60°得到CD″，连接AD″，DD″．
（1）判断∠D′BA和∠DBC的大小关系，并说明理由；
（2）求证：D′A＝DC；
（3）求证：四边形AD'DD″是平行四边形．
【分析】（1）先根据旋转的性质得∠DBD′＝60°，BD＝BD′，则可判断△BDD′为等边三角形，所以∠DBD′＝60°，BD＝BD′，再2利用△ABC为等边三角形得到∠ABC＝60°，BA＝BC，则可得到∠D′BA＝∠DBC；
（2）通过证明△ABD′≌△CBD得到D′A＝DC；
（3）先判断△DCD″为等边三角形得到DD″＝DC，∠DCD″＝60°，再与（2）的证明方法一样证明△ACD″≌Rt△BCD得到AD″＝BD，所以DD′＝AD″，加上DD″＝DC＝AD′，从而可判断四边形AD'DD″是平行四边形．
【解答】（1）解：∠D′BA＝∠DBC．
理由如下：∵BD逆时针旋转60°得到BD′，
∴∠DBD′＝60°，BD＝BD′，
∴△BDD′为等边三角形，
∴DD′＝BD，∠DBD′＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵∠D′BA+∠ABD＝60°，∠ABD+∠DBC＝60°，
∴∠D′BA＝∠DBC；
（2）证明：在△ABD′和△CBD中，
，
∴△ABD′≌△CBD（SAS），
∴D′A＝DC；
（3）证明：∵CD顺时针旋转60°得到CD″，
∴∠DCD″＝60°，CD＝CD″，
∴△DCD″为等边三角形，
∴DD″＝DC，∠DCD″＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，CA＝CB，
∵∠D″CA+∠ACD＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，
∴∠D″CA＝∠DCB；
在△ACD″和△BCD中，
，
∴△ACD″≌Rt△BCD（SAS），
∴AD″＝BD，
∴DD′＝AD″，
∵DD″＝DC＝AD′，
∴四边形AD'DD″是平行四边形．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定．
26．如图，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α≤90°），将BC边绕点C逆时针旋转（180°﹣α）得到线段CD．
（1）判断∠B与∠ACD的数量关系并证明；
（2）将AC边绕点C顺时针旋转α得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．
①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明；
②若AB＝a，AC＝b，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）
【分析】（1）由旋转可知∠BCD＝180°﹣α，再由∠ACD+∠BCA＝180°﹣α，可得∠B+∠BCA＝180°﹣α，即可证明∠B＝∠ACD；
（2）①在AB上取点N使得∠BCN＝∠CDM，先证明△CDM≌△BCN（ASA），再证明△ECM≌△CAN（ASA），即可求解；
②由①可知CM＝BN，CM＝AN，则CM＝AN＝BN＝AB＝a，即可求出AM＝AC﹣CM＝b﹣a．
【解答】解：（1）∠B＝∠ACD，理由如下：
由旋转可知∠BCD＝180°﹣α，
∴∠ACD+∠BCA＝180°﹣α，
∵∠A＝α，
∴∠B+∠BCA＝180°﹣α，
∴∠B＝∠ACD；
（2）①DM＝EM，理由如下：
在AB上取点N使得∠BCN＝∠CDM，
∵BC＝CD，∠B＝∠ACD，
∴△CDM≌△BCN（ASA），
∴CN＝DM，
∵∠CMD＝∠E+∠BEM，∠BNC＝∠ACN+∠A，
又∵∠ECM＝∠A＝α，
∴∠E＝∠ACN，
∴△ECM≌△CAN（ASA），
∴CN＝EM，
∴DM＝EM；
②由①可知，CM＝BN，CM＝AN，
∴CM＝AN＝BN＝AB＝a，
∴AM＝AC﹣CM＝b﹣a．
【点评】本题考查图形旋转的性质，熟练掌握图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共40分）
1．下列多项式，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A．B．4a2b2﹣4ab+1
C．y2+10y﹣25D．
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．4B．﹣4C．3或﹣3D．3
3．对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（ ）
A．平均数是1 B．方差是3.5C．中位数是0.5 D．众数是﹣1
（多选）4．下列球类标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
5．在英语听说模拟测试中，7名男生的成绩如下：28，22，22，25，23，25，25，则这组数据的众数是（ ）
A．28B．22C．23D．25
6．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形两组对边分别平行 B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
7．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝5．现将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．若平移的距离为3，则CG的长为（ ）
A．3B．C．4D．2
7. 10.
8．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，2），B（4，0）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣3，2）C．（5，2）D．（3，﹣2）
10．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE≌△ACD；③BE+DC＝DE；④BE2+DC2＝DE2．其中一定正确的是（ ）
A．②④B．①③C．①④D．②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分.请填在答题卡上）
11．把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是 ．
12．一个三角形的周长是12cm，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长为 ．
13．正五边形ABCDE和正方形DEFG位置如图所示，连接AF，则∠AFE的度数为 °．
14．如图是甲、乙两名射击运动员10次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10次射击成绩的方差为s甲2，s乙2，那么s甲2 s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
15．关于x的分式方程＝2的解为正数，则a的取值范围是 ．
16．在△OAB中，顶点O（0，0），A（4，3），B（4，﹣3）．将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17．解方程：
（1）； （2）．
18．分式化简：．
19．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
20．观察下列式子，并探索它们的规律：
；
．
（1）根据以上式子填空：
① ．
② ．
（2）求分式的最小值．
（3）已知x为整数，求能使分式的值为整数的所有x值的和．
21．2022年11月12日，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的参赛作品成绩的众数为 分，中位数为 分，并补全条形统计图；
（2）求本次抽取的参赛作品的平均成绩；
（3）若该校共收到900份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于90分的作品有多少份？
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题：
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0）作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标；
（2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标．
23．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
24．应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
25．在等边三角形ABC的内部有一点D，连接BD，CD，以点B为中心，把BD逆时针旋转630°得到HD′，连接AD′，DD′．以点C为中心，把CD顺时针旋转60°得到CD″，连接AD″，DD″．
（1）判断∠D′BA和∠DBC的大小关系，并说明理由；
（2）求证：D′A＝DC；
（3）求证：四边形AD'DD″是平行四边形．
26．如图，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α≤90°），将BC边绕点C逆时针旋转（180°﹣α）得到线段CD．
（1）判断∠B与∠ACD的数量关系并证明；
（2）将AC边绕点C顺时针旋转α得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．
①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明；
②若AB＝a，AC＝b，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）
莱芜区胜利中学2023-2024学年上学期八年级
数学期末模拟试题
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共40分）
1．下列多项式，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A．B．4a2b2﹣4ab+1
C．y2+10y﹣25D．
【分析】根据完全平方公式法分别判断即可．
【解答】解：，
故A选项不符合题意；
4a2b2﹣4ab+1＝（2ab﹣1）2，
故B选项不符合题意；
y2+10y﹣25不能用完全平方公式因式分解，
故C选项符合题意；
，
故D选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．4B．﹣4C．3或﹣3D．3
【分析】根据分式的值为零，分子等于零列出方程，且分母不等于零．列出不等式，求解即可得到答案．
【解答】解：由题意，知x2﹣9＝0且x+3≠0．
解得x＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（ ）
A．平均数是1B．方差是3.5
C．中位数是0.5D．众数是﹣1
【分析】将数据重新排列，再根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为﹣1、﹣1、2、4，
所以这组数据的平均数为＝1，中位数为＝0.5，众数为﹣1，
方差为×[2×（﹣1﹣1）2+（2﹣1）2+（4﹣1）2]＝4.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义．
（多选）4．下列球类标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：AC．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
5．在英语听说模拟测试中，7名男生的成绩如下：28，22，22，25，23，25，25，则这组数据的众数是（ ）
A．28B．22C．23D．25
【分析】找到出现次数最多的数据，即为众数．
【解答】解：7个数据中，25出现的次数最多，
∴这组数据的众数是25．
故选：D．
【点评】本题考查众数．熟练掌握众数是出现次数最多的数据，可能不唯一，是解题的关键．
6．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形两组对边分别平行
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
【分析】根据平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、平行四边形两组对边分别平行，说法正确，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；
C、平行四边形的对角相等，邻角互补，说法错误，符合题意；
D、平行四边形的两组对边分别平行且相等，说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答．
7．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝5．现将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．若平移的距离为3，则CG的长为（ ）
A．3B．C．4D．2
【分析】根据等腰三角形性质、平移性质、勾股定理求解即可．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移的距离为3，
∴BE＝3，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝5，
∴∠BCA＝45°，CE＝BC﹣BE＝2，
∴∠EGC＝45°＝∠ECG，
∴EG＝CE＝2，
∴CG＝＝＝2，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、平移的性质，熟记等腰三角形的性质、平移的性质是解题的关键．
8．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据原计划的天数﹣实际的天数＝提前的天数可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
＝2，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
9．在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，2），B（4，0）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣3，2）C．（5，2）D．（3，﹣2）
【分析】根据题意画出平行四边形，即可解决问题．
【解答】解：如图，
平行四边形的第三个顶点坐标为（5，2）或（﹣3，2）或（3，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，解题的关键是正确画出图形，属于中考常考题型．
10．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE≌△ACD；③BE+DC＝DE；④BE2+DC2＝DE2．其中一定正确的是（ ）
A．②④B．①③C．①④D．②③
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质，可求得顶角与底角的度数；根据旋转的性质，可得对应角与对应边相等；根据全等三角形的判定定理即可求得①正确；根据勾股定理与等量代换可得④正确；由三角形的三边关系可得③错误；②无法判断，所以错误．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，∠ABC＝∠C＝45°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠BAE+∠DAC＝45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，∠ABF＝∠C＝45°，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝45°，
∴∠EAF＝∠EAD，∠EBF＝90°，
∴△AED≌△AEF，①正确，
∴DE＝EF，
在△BEF中，BE+BF＞EF，
∴BE+CD＞EF，③错误，
∵∠BAE与∠CAD的大小无法确定，
∴△ABE与△ACD是否全等无法确定，故②错误；
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴BE2+DC2＝DE2；④正确；
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的判定定理、等腰直角直角三角形的性质以及旋转的性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分.请填在答题卡上）
11．把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是 a（x﹣2）2 ．
【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案为：a（x﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12．一个三角形的周长是12cm，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长为 6cm ．
【分析】先画出图形，由三角形的中位线定理可知：DE＝BC，DF＝AC，EF＝AB，则以三角形三边中点为顶点的三角形的周长是原三角形周长的一半．
【解答】解：根据题意，画出图形如图示，
∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DF＝AC，EF＝AB，
∵△ABC的周长是12cm，
∴AB+CB+AC＝12cm，
∴DE+DF+FE＝24÷2＝6（cm）．
故答案为：6cm．
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理以及三角形周长，解决问题的关键是熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
13．正五边形ABCDE和正方形DEFG位置如图所示，连接AF，则∠AFE的度数为 9 °．
【分析】由正多边形的性质得AE＝DE，∠AED＝108°，EF＝DE，∠DEF＝90°，则AE＝EF，∠AEF＝162°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，四边形DEFG是正方形，
∴AE＝DE，∠AED＝×（5﹣2）×180°＝108°，EF＝DE，∠DEF＝90°，
∴AE＝EF，∠AEF＝360°﹣∠AED﹣∠DEF＝360°﹣108°﹣90°＝162°，
∴∠AFE＝∠AEF＝×（180°﹣∠AEF）＝×（180°﹣162°）＝9°，
故答案为：9．
【点评】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
14．如图是甲、乙两名射击运动员10次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10次射击成绩的方差为s甲2，s乙2，那么s甲2 ＞ s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】从统计图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算．
【解答】解：由图中知，甲的成绩为7，10，7，9，10，9，8，10，8，7，
乙的成绩为9，8，10，9，9，8，9，7，7，9，
＝×（7+10+7+9+10+9+8+10+8+7）＝8.5，
＝×（9+8+10+9+9+8+9+7+7+9）＝8.5，
甲的方差s甲2＝[3×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2+2×（9﹣8.5）2]÷10＝1.45，
乙的方差s乙2＝[2×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2+（10﹣8.5）2]÷10＝0.85，
∴s甲2＞s乙2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查方差的定义与意义，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
15．关于x的分式方程＝2的解为正数，则a的取值范围是 a＜4且a≠2 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数确定出a的范围即可．
【解答】解：去分母得：1﹣（a﹣1）＝2（x﹣1），
解得：x＝2﹣a，
由分式方程的解为正数，得到2﹣a＞0，且2﹣a≠1，
解得：a＜4且a≠2，
故答案为a＜4且a≠2．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．在△OAB中，顶点O（0，0），A（4，3），B（4，﹣3）．将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标是 （﹣10，3） ．
【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定C（10，﹣3），由题意4次一个循环，由于2022＝4×505+2，所以第2022次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，由此求出点C坐标即可．
【解答】解：∵A（4，3），B（4，﹣3），
∴AB＝3+3＝6，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝AB＝6，
∴C（10，﹣3），
∵每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022＝4×505+2，
∴每4次一个循环，第2022次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转2次，每次旋转90°，
∴点D的坐标为（﹣10，3）．
故答案为：（﹣10，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17．解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）去分母，得3+（x﹣2）＝﹣（x﹣3），
解得x＝1，
经检验，x＝1是原方程的根，
∴x＝1；
（2）去分母，得2（x﹣1）+3（x+1）＝11，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的根，
∴x＝2．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键，注意验根．
18．分式化简：．
【分析】先通分，再进行约分，最后算加法即可．
【解答】解：
＝+1
＝+1
＝+1
＝+1
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．
20．观察下列式子，并探索它们的规律：
；
．
（1）根据以上式子填空：
① ．
② ．
（2）求分式的最小值．
（3）已知x为整数，求能使分式的值为整数的所有x值的和．
【分析】（1）根据所给的规律对①②进行运算即可；
（2）结合所给的规律进行求解即可；
（3）结合所给的规律进行求解即可．
【解答】解：（1）①
＝
＝
＝3+，
故答案为：；
②
＝
＝
＝a+，
故答案为：；
（2）
＝
＝，
要求原式的最小值，则的值最大，
当x＝0时，，
∴2﹣的最小值为：2﹣6＝﹣4；
（3）
＝
＝x+1﹣
＝x+1﹣
＝x+1﹣4+
＝x﹣3+，
要使结果为整数，
则为整数，
∴x的值为：﹣4或﹣2或0或2，
∴其和为：﹣4﹣2+0+2＝﹣4．
【点评】本题主要考查分式的加减，数字的变化规律，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，及找到存在的规律．
21．2022年11月12日，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的参赛作品成绩的众数为 80 分，中位数为 80 分，并补全条形统计图；
（2）求本次抽取的参赛作品的平均成绩；
（3）若该校共收到900份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于90分的作品有多少份？
【分析】（1）根据70分的占比与人数求得总人数，进而得出90分的人数，进而补全统计图；
（2）根据平均数的定义进行计算即可求解；
（3）根据样本估计总体，用900乘以90分以上人数的占比即可求解．
【解答】解：（1）总人数为（人），则90人的人数为100﹣30﹣40﹣5＝25（人），
∴众数为80，中位数为第50与51个的平均数，即，
补全统计图如图，
故答案为：80，80．
（2）平均数为（分）；
（3）估计此次大赛成绩不低于90分的作品有（份）；
答：估计此次大赛成绩不低于90分的作品有270份．
【点评】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，2），B（﹣1，4），C（﹣4，5），请解答下列问题：
（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（1，0）作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标；
（2）将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心的坐标．
【分析】（1）根据平移的性质作图，可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，可得出答案．
（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，再分别作出线段A1A2，B1B2，C1C2的垂直平分线，交点P即为所求的旋转中心，可得出答案．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．
点A1（3，﹣3），B1（4，﹣1）．
（2）△A2B2C2如图所示．
（3）如图，点P即为所求的旋转中心，
∴旋转中心的坐标为（5，0）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键．
23．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
【分析】（1）证△AOE≌△COD（ASA），得OD＝OE，再由AO＝CO，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得OB⊥AC，则平行四边形AECD是菱形，再由勾股定理求出OD＝3，则DE＝6，即可得出答案．
【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
24．应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元，每个甲种书柜的进价为1.1x元，根据用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台，列方程求解；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60﹣m）个，根据乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍，列不等式组求解．
【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为1.1x元，
根据题意得，+5＝，
解得x＝300，
经检验，x＝300是原方程的根，
300×1.1＝330（元）．
故每个甲种书柜的进价为330元，每个乙种书柜的进价为300元；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60﹣m）个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意得，
，
解得y＝30m+18000（m≥20），
∵k＝30＞0，
∴y随x的增大而增大，
当m＝20时，y＝18600（元）．
故购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．
25．在等边三角形ABC的内部有一点D，连接BD，CD，以点B为中心，把BD逆时针旋转630°得到HD′，连接AD′，DD′．以点C为中心，把CD顺时针旋转60°得到CD″，连接AD″，DD″．
（1）判断∠D′BA和∠DBC的大小关系，并说明理由；
（2）求证：D′A＝DC；
（3）求证：四边形AD'DD″是平行四边形．
【分析】（1）先根据旋转的性质得∠DBD′＝60°，BD＝BD′，则可判断△BDD′为等边三角形，所以∠DBD′＝60°，BD＝BD′，再2利用△ABC为等边三角形得到∠ABC＝60°，BA＝BC，则可得到∠D′BA＝∠DBC；
（2）通过证明△ABD′≌△CBD得到D′A＝DC；
（3）先判断△DCD″为等边三角形得到DD″＝DC，∠DCD″＝60°，再与（2）的证明方法一样证明△ACD″≌Rt△BCD得到AD″＝BD，所以DD′＝AD″，加上DD″＝DC＝AD′，从而可判断四边形AD'DD″是平行四边形．
【解答】（1）解：∠D′BA＝∠DBC．
理由如下：∵BD逆时针旋转60°得到BD′，
∴∠DBD′＝60°，BD＝BD′，
∴△BDD′为等边三角形，
∴DD′＝BD，∠DBD′＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵∠D′BA+∠ABD＝60°，∠ABD+∠DBC＝60°，
∴∠D′BA＝∠DBC；
（2）证明：在△ABD′和△CBD中，
，
∴△ABD′≌△CBD（SAS），
∴D′A＝DC；
（3）证明：∵CD顺时针旋转60°得到CD″，
∴∠DCD″＝60°，CD＝CD″，
∴△DCD″为等边三角形，
∴DD″＝DC，∠DCD″＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，CA＝CB，
∵∠D″CA+∠ACD＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，
∴∠D″CA＝∠DCB；
在△ACD″和△BCD中，
，
∴△ACD″≌Rt△BCD（SAS），
∴AD″＝BD，
∴DD′＝AD″，
∵DD″＝DC＝AD′，
∴四边形AD'DD″是平行四边形．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定．
26．如图，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α≤90°），将BC边绕点C逆时针旋转（180°﹣α）得到线段CD．
（1）判断∠B与∠ACD的数量关系并证明；
（2）将AC边绕点C顺时针旋转α得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．
①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明；
②若AB＝a，AC＝b，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）
【分析】（1）由旋转可知∠BCD＝180°﹣α，再由∠ACD+∠BCA＝180°﹣α，可得∠B+∠BCA＝180°﹣α，即可证明∠B＝∠ACD；
（2）①在AB上取点N使得∠BCN＝∠CDM，先证明△CDM≌△BCN（ASA），再证明△ECM≌△CAN（ASA），即可求解；
②由①可知CM＝BN，CM＝AN，则CM＝AN＝BN＝AB＝a，即可求出AM＝AC﹣CM＝b﹣a．
【解答】解：（1）∠B＝∠ACD，理由如下：
由旋转可知∠BCD＝180°﹣α，
∴∠ACD+∠BCA＝180°﹣α，
∵∠A＝α，
∴∠B+∠BCA＝180°﹣α，
∴∠B＝∠ACD；
（2）①DM＝EM，理由如下：
在AB上取点N使得∠BCN＝∠CDM，
∵BC＝CD，∠B＝∠ACD，
∴△CDM≌△BCN（ASA），
∴CN＝DM，
∵∠CMD＝∠E+∠BEM，∠BNC＝∠ACN+∠A，
又∵∠ECM＝∠A＝α，
∴∠E＝∠ACN，
∴△ECM≌△CAN（ASA），
∴CN＝EM，
∴DM＝EM；
②由①可知，CM＝BN，CM＝AN，
∴CM＝AN＝BN＝AB＝a，
∴AM＝AC﹣CM＝b﹣a．
【点评】本题考查图形旋转的性质，熟练掌握图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
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