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- 2.2.1 有理数的乘法 第2课时 有理数的乘法运算律（教学设计） --2024--2025学年人教版（2024）七年级数学上册 教案 3 次下载
- 2.2.2 有理数的除法 第2课时 有理数的加减乘除混合运算（教学设计） --2024--2025学年人教版（2024）七年级数学上册 教案 2 次下载
- 2.3.1 乘方 第1课时 有理数的乘方（教学设计） --2024--2025学年人教版（2024）七年级数学上册 教案 3 次下载
- 2.3.1 乘方 第2课时 有理数的混合运算（教学设计） --2024--2025学年人教版（2024）七年级数学上册 教案 4 次下载
数学七年级上册（2024）2.2 有理数的乘法与除法第1课时教案设计
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这是一份数学七年级上册（2024）2.2 有理数的乘法与除法第1课时教案设计，共5页。教案主要包含了情境导入，教学建议，对应训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。
解题大招 利用有理数除法法则进行分析
例 （1）若两个有理数相除，商是负数，则这两个有理数（ C ）
A.都是负数 B.都是正数
C.一个是正数、另一个是负数 D.有一个是0
（2）如果两个有理数的和除以它们的积，所得的商是0，那么这两个有理数（ A ）
A.互为相反数，且都不等于0 B.互为倒数
C.有一个等于0 D.都等于0
培优点 含绝对值的分数的化简教学目标
课题
2.2.2 第1课时 有理数的除法
授课人
素养目标
1.经历用转化的数学思想探究有理数除法法则的过程，体会除法与乘法的关系，强化推理能力.
2.理解并掌握有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，提高运算能力.
3.从除法的角度理解分数，会利用有理数除法法则化简分数.
教学重点
理解并掌握有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算.
教学难点
会根据不同的情况来选取除法法则的其中一种说法求商.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，导入新课
【情境导入】
1.如图，王芳从家里到学校，每分钟走50 m，共走了20 min，则王芳家离学校有多远？放学时，王芳仍然以每分钟50 m的速度回家，应该走多少分钟？
20×50＝1 000（m），1 000÷50＝20（min）.
因此王芳家离学校1 000 m，放学时应该走20 min.
2.从上面这个例子你可以发现，除法与乘法之间满足怎样的关系？
除法是乘法的逆运算.
引入负数后，在有理数的范围内，该怎么计算除法呢？这节课我们就来学习有理数的除法.
【教学建议】
在实际情境问题中，引导学生根据“路程＝速度×时间”发现除法与乘法的互逆关系，鼓励学生思考有理数的除法.
设计意图
创设情境，激发学生的学习兴趣，引导学生理解有理数除法和有理数乘法之间的互逆关系，从而引出本节课的主题.
活动二：问题引入，合作探究
探究点1 有理数的除法法则
问题1 怎样计算8÷（－4）呢？结合下面图示说一说.
一个数除以－4可以转化为乘－ eq \f(1,4) 来进行，即一个数除以－4，等于乘－4的倒数－ eq \f(1,4) .
问题2 我们换其他数的除法进行类似讨论（如下面例子），是否仍有除以a（a≠0）可以转化为乘 eq \f(1,a) ？
可以看出其他数的除法仍有这种关系.
思考：根据上面你尝试过的例子，能否类比有理数减法法则，总结出有理数除法法则？
有理数除法法则（说法1）：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
这个法则也可以表示成：
a÷b＝a· eq \f(1,b) （b≠0）.
例如：
两个有理数相除（除数不为0），商是一个有理数.
问题3 计算：
6÷3＝ 2 ，6÷（－3）＝ －2 ，
（－6）÷3＝ －2 ，（－6）÷（－3）＝ 2 ，
0÷3＝ 0 ，0÷（－3）＝ 0 .
思考：两数相除的商仍由符号和绝对值两部分组成.由于除法可转化为乘法，因此商的符号确定与有理数乘法类似.从符号和绝对值两个角度观察上述算式，你能否得到与有理数乘法法则类似的除法法则？
有理数除法法则（说法2）：
两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
例1 （教材P44例4） 计算：
（1）（－36）÷9； （2）（－ eq \f(12,25) ）÷（－ eq \f(3,5) ）.
解：（1）（－36）÷9＝－（36÷9）＝－4；
（2）（－ eq \f(12,25) ）÷（－ eq \f(3,5) ）＝（－ eq \f(12,25) ）×（－ eq \f(5,3) ）＝ eq \f(4,5) .
思考：对于例1中的两个算式，用有理数除法法则的哪种说法来计算比较简便？
例1（1）用说法2比较简便，例1（2）用说法1比较简便.
【对应训练】
教材P45练习第1题.
【教学建议】
提醒学生：除法与乘法的互逆关系在有理数中也是成立的，这属于除法的意义，即已知两个乘数的积与其中一个乘数，求另一个乘数的运算，这是数学上的一种规定.
【教学建议】
为了有利于学生接受，可让学生自己举例，并模仿教科书的方法进行说明，然后引导学生总结出除法法则.若有困难可让学生类比有理数减法法则来思考如何表述.规定0不能作除数的理由可简单地用0没有倒数来说明，更具体的理由不必在课堂上讲授.
【教学建议】
提醒学生：这是有理数除法法则的另一种说法.
指定学生代表上台板演计算过程，并用除法法则的两种说法分别计算，再引导学生思考对于不同形式的算式，怎么判断用哪种说法计算更简便.
引导学生总结：一般来说，能整除的情况下，往往采用法则的说法2，在确定符号后，再确定商的绝对值.在不能整除的情况下，则往往采用法则的说法1，即将除数换成倒数，除法转化成乘法.
设计意图
类比有理数减法法则的探究过程，根据除法与乘法的互逆关系，让学生通过算式实例探究有理数除法法则的两种说法，增强推理能力.在例题与练习中让学生掌握有理数的除法，并感受除法法则两种说法的适用情况，提升运算能力.
设计意图
探究点2 分数的化简
问题 化简 eq \f(8,4) ，观察 eq \f(8,－4) ，引入负数后，沿用小学时分数的意义，那么 eq \f(8,－4) 化简的结果是什么？
eq \f(8,4) ＝2， eq \f(8,－4) ＝8÷（－4）＝－2.
例2 （教材P44例5） 化简：
（1） eq \f(－2,3) ； （2） eq \f(－45,－12) .
解：（1） eq \f(－2,3) ＝（－2）÷3＝－（2÷3）＝－ eq \f(2,3) ；
（2） eq \f(－45,－12) ＝（－45）÷（－12）＝45÷12＝ eq \f(15,4) .
思考： eq \f(－2,3) 是有理数吗？－ eq \f(2,3) 可以写成两个整数相除的形式吗？
eq \f(－2,3) ＝－ eq \f(2,3) ，这表明 eq \f(－2,3) 是负分数，因而是有理数；反过来看，－ eq \f(2,3) ＝ eq \f(－2,3) ，又表明－ eq \f(2,3) 可以写成Ａ eq \f(－2,3) 这样两个整数相除的形式.
【对应训练】
教材P45练习第2题.
【教学建议】
提醒学生：（1）化简时，若分母是负数，改为除数后要加括号.（2）可以用除法化简，也可以确定符号后直接约分，要根据数的特点灵活选用.（3）一般地，根据有理数的除法，形如 eq \f(p,q) （p，q是整数，q≠0）的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式（整数可以看成分母为1的分数）.这样，有理数就是形如 eq \f(p,q) （p，q是整数，q≠0）的数.
引导学生从除法的角度理解并化简分数，并认识到有理数都可以表示为分数形式，为以后的学习打好基础.
活动三：知识延伸，巩固升华
解：（1）1÷（－1.2）＝1÷（－ eq \f(6,5) ）＝1×（－ eq \f(5,6) ）＝－ eq \f(5,6) ；
（2）（－2 eq \f(3,11) ）÷（－ eq \f(5,22) ）＝（－ eq \f(25,11) ）×（－ eq \f(22,5) ）＝10；
（3）（－0.125）÷ eq \f(8,3) ＝－ eq \f(1,8) × eq \f(3,8) ＝－ eq \f(3,64) ；
（4）|－4 eq \f(2,7) |÷（－3 eq \f(1,3) ）＝ eq \f(30,7) ×（－ eq \f(3,10) ）＝－ eq \f(9,7) .
【对应训练】
计算：
（1）1÷（－0.8）； （2）（－2 eq \f(1,2) ）÷（－ eq \f(5,7) ）；
（3）（－0.25）÷1 eq \f(1,2) ； （4）|－2 eq \f(2,3) |÷（－1 eq \f(7,9) ）.
解：（1）1÷（－0.8）＝1÷（－ eq \f(4,5) ）＝1×（－ eq \f(5,4) ）＝－ eq \f(5,4) ；
（2）（－2 eq \f(1,2) ）÷（－ eq \f(5,7) ）＝（－ eq \f(5,2) ）×（－ eq \f(7,5) ）＝ eq \f(7,2) ；
（3）（－0.25）÷1 eq \f(1,2) ＝（－ eq \f(1,4) ）× eq \f(2,3) ＝－ eq \f(1,6) ；
（4）|－2 eq \f(2,3) |÷（－1 eq \f(7,9) ）＝ eq \f(8,3) ×（－ eq \f(9,16) ）＝－ eq \f(3,2) .
【教学建议】
提醒学生：应用法则“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”时，如果有小数或带分数，应先化小数为分数，化带分数为假分数，另外有绝对值符号的先去绝对值符号.引导学生观察发现：1除以一个不等于0的数，等于这个数的倒数.
设计意图
通过具体的算式让学生从除法的角度理解有理数的倒数，并进一步掌握用除法法则计算各种形式的数的除法，提高运算能力.
活动四：随堂训练，课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.有理数除法法则有哪几种说法？
2.怎么根据除法算式的情况决定选用哪一种说法？
3.怎么利用有理数的除法法则化简分数？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P48习题2.2第6，7，8，12，16题.
板书设计
2.2.2 有理数的除法
第1课时 有理数的除法
1.有理数除法法则：①说法1；②说法2
2.化简分数
教学反思
本节课以一实际问题引入，铺垫除法与乘法的互逆关系，再据此关系，类比减法法则的推导，引导学生用算式实例总结出有理数除法法则的第一种说法，再在此基础上推出法则的第二种说法，由易到难，培养了学生的推理能力与探究意识.后续借助例题与练习，让学生感知法则的两种说法的适用情况，并能根据算式特点灵活选用，增强运算能力.接着让学生通过除法理解并化简分数，进一步掌握除法法则，并引导学生发现有理数都可以表示为分数形式，加强对有理数的理解，为后续学习做铺垫，整体效果较好.
利用有理数除法法则进行分析
由被除数和除数分析商
①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；②0除以任何一个不等于0的数，都得0；③任何一个数（0除外）除以原数都得1，除以原数的相反数都得－1；④1除以一个非0数等于这个数的倒数
由商分析被除数和除数
①两个数相除，若商是正数，则两数同号；若商是负数，则两数异号；②两个数相除，若商是0，则被除数为0，除数不为0；③两个数相除，若商是1，则这两个数相等（均不为0）；若商是－1，则这两个数互为相反数（均不为0）
解题大招 利用有理数除法法则进行分析
例 （1）若两个有理数相除，商是负数，则这两个有理数（ C ）
A.都是负数 B.都是正数
C.一个是正数、另一个是负数 D.有一个是0
（2）如果两个有理数的和除以它们的积，所得的商是0，那么这两个有理数（ A ）
A.互为相反数，且都不等于0 B.互为倒数
C.有一个等于0 D.都等于0
培优点 含绝对值的分数的化简教学目标
课题
2.2.2 第1课时 有理数的除法
授课人
素养目标
1.经历用转化的数学思想探究有理数除法法则的过程，体会除法与乘法的关系，强化推理能力.
2.理解并掌握有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，提高运算能力.
3.从除法的角度理解分数，会利用有理数除法法则化简分数.
教学重点
理解并掌握有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算.
教学难点
会根据不同的情况来选取除法法则的其中一种说法求商.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设情境，导入新课
【情境导入】
1.如图，王芳从家里到学校，每分钟走50 m，共走了20 min，则王芳家离学校有多远？放学时，王芳仍然以每分钟50 m的速度回家，应该走多少分钟？
20×50＝1 000（m），1 000÷50＝20（min）.
因此王芳家离学校1 000 m，放学时应该走20 min.
2.从上面这个例子你可以发现，除法与乘法之间满足怎样的关系？
除法是乘法的逆运算.
引入负数后，在有理数的范围内，该怎么计算除法呢？这节课我们就来学习有理数的除法.
【教学建议】
在实际情境问题中，引导学生根据“路程＝速度×时间”发现除法与乘法的互逆关系，鼓励学生思考有理数的除法.
设计意图
创设情境，激发学生的学习兴趣，引导学生理解有理数除法和有理数乘法之间的互逆关系，从而引出本节课的主题.
活动二：问题引入，合作探究
探究点1 有理数的除法法则
问题1 怎样计算8÷（－4）呢？结合下面图示说一说.
一个数除以－4可以转化为乘－ eq \f(1,4) 来进行，即一个数除以－4，等于乘－4的倒数－ eq \f(1,4) .
问题2 我们换其他数的除法进行类似讨论（如下面例子），是否仍有除以a（a≠0）可以转化为乘 eq \f(1,a) ？
可以看出其他数的除法仍有这种关系.
思考：根据上面你尝试过的例子，能否类比有理数减法法则，总结出有理数除法法则？
有理数除法法则（说法1）：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
这个法则也可以表示成：
a÷b＝a· eq \f(1,b) （b≠0）.
例如：
两个有理数相除（除数不为0），商是一个有理数.
问题3 计算：
6÷3＝ 2 ，6÷（－3）＝ －2 ，
（－6）÷3＝ －2 ，（－6）÷（－3）＝ 2 ，
0÷3＝ 0 ，0÷（－3）＝ 0 .
思考：两数相除的商仍由符号和绝对值两部分组成.由于除法可转化为乘法，因此商的符号确定与有理数乘法类似.从符号和绝对值两个角度观察上述算式，你能否得到与有理数乘法法则类似的除法法则？
有理数除法法则（说法2）：
两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
例1 （教材P44例4） 计算：
（1）（－36）÷9； （2）（－ eq \f(12,25) ）÷（－ eq \f(3,5) ）.
解：（1）（－36）÷9＝－（36÷9）＝－4；
（2）（－ eq \f(12,25) ）÷（－ eq \f(3,5) ）＝（－ eq \f(12,25) ）×（－ eq \f(5,3) ）＝ eq \f(4,5) .
思考：对于例1中的两个算式，用有理数除法法则的哪种说法来计算比较简便？
例1（1）用说法2比较简便，例1（2）用说法1比较简便.
【对应训练】
教材P45练习第1题.
【教学建议】
提醒学生：除法与乘法的互逆关系在有理数中也是成立的，这属于除法的意义，即已知两个乘数的积与其中一个乘数，求另一个乘数的运算，这是数学上的一种规定.
【教学建议】
为了有利于学生接受，可让学生自己举例，并模仿教科书的方法进行说明，然后引导学生总结出除法法则.若有困难可让学生类比有理数减法法则来思考如何表述.规定0不能作除数的理由可简单地用0没有倒数来说明，更具体的理由不必在课堂上讲授.
【教学建议】
提醒学生：这是有理数除法法则的另一种说法.
指定学生代表上台板演计算过程，并用除法法则的两种说法分别计算，再引导学生思考对于不同形式的算式，怎么判断用哪种说法计算更简便.
引导学生总结：一般来说，能整除的情况下，往往采用法则的说法2，在确定符号后，再确定商的绝对值.在不能整除的情况下，则往往采用法则的说法1，即将除数换成倒数，除法转化成乘法.
设计意图
类比有理数减法法则的探究过程，根据除法与乘法的互逆关系，让学生通过算式实例探究有理数除法法则的两种说法，增强推理能力.在例题与练习中让学生掌握有理数的除法，并感受除法法则两种说法的适用情况，提升运算能力.
设计意图
探究点2 分数的化简
问题 化简 eq \f(8,4) ，观察 eq \f(8,－4) ，引入负数后，沿用小学时分数的意义，那么 eq \f(8,－4) 化简的结果是什么？
eq \f(8,4) ＝2， eq \f(8,－4) ＝8÷（－4）＝－2.
例2 （教材P44例5） 化简：
（1） eq \f(－2,3) ； （2） eq \f(－45,－12) .
解：（1） eq \f(－2,3) ＝（－2）÷3＝－（2÷3）＝－ eq \f(2,3) ；
（2） eq \f(－45,－12) ＝（－45）÷（－12）＝45÷12＝ eq \f(15,4) .
思考： eq \f(－2,3) 是有理数吗？－ eq \f(2,3) 可以写成两个整数相除的形式吗？
eq \f(－2,3) ＝－ eq \f(2,3) ，这表明 eq \f(－2,3) 是负分数，因而是有理数；反过来看，－ eq \f(2,3) ＝ eq \f(－2,3) ，又表明－ eq \f(2,3) 可以写成Ａ eq \f(－2,3) 这样两个整数相除的形式.
【对应训练】
教材P45练习第2题.
【教学建议】
提醒学生：（1）化简时，若分母是负数，改为除数后要加括号.（2）可以用除法化简，也可以确定符号后直接约分，要根据数的特点灵活选用.（3）一般地，根据有理数的除法，形如 eq \f(p,q) （p，q是整数，q≠0）的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式（整数可以看成分母为1的分数）.这样，有理数就是形如 eq \f(p,q) （p，q是整数，q≠0）的数.
引导学生从除法的角度理解并化简分数，并认识到有理数都可以表示为分数形式，为以后的学习打好基础.
活动三：知识延伸，巩固升华
解：（1）1÷（－1.2）＝1÷（－ eq \f(6,5) ）＝1×（－ eq \f(5,6) ）＝－ eq \f(5,6) ；
（2）（－2 eq \f(3,11) ）÷（－ eq \f(5,22) ）＝（－ eq \f(25,11) ）×（－ eq \f(22,5) ）＝10；
（3）（－0.125）÷ eq \f(8,3) ＝－ eq \f(1,8) × eq \f(3,8) ＝－ eq \f(3,64) ；
（4）|－4 eq \f(2,7) |÷（－3 eq \f(1,3) ）＝ eq \f(30,7) ×（－ eq \f(3,10) ）＝－ eq \f(9,7) .
【对应训练】
计算：
（1）1÷（－0.8）； （2）（－2 eq \f(1,2) ）÷（－ eq \f(5,7) ）；
（3）（－0.25）÷1 eq \f(1,2) ； （4）|－2 eq \f(2,3) |÷（－1 eq \f(7,9) ）.
解：（1）1÷（－0.8）＝1÷（－ eq \f(4,5) ）＝1×（－ eq \f(5,4) ）＝－ eq \f(5,4) ；
（2）（－2 eq \f(1,2) ）÷（－ eq \f(5,7) ）＝（－ eq \f(5,2) ）×（－ eq \f(7,5) ）＝ eq \f(7,2) ；
（3）（－0.25）÷1 eq \f(1,2) ＝（－ eq \f(1,4) ）× eq \f(2,3) ＝－ eq \f(1,6) ；
（4）|－2 eq \f(2,3) |÷（－1 eq \f(7,9) ）＝ eq \f(8,3) ×（－ eq \f(9,16) ）＝－ eq \f(3,2) .
【教学建议】
提醒学生：应用法则“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”时，如果有小数或带分数，应先化小数为分数，化带分数为假分数，另外有绝对值符号的先去绝对值符号.引导学生观察发现：1除以一个不等于0的数，等于这个数的倒数.
设计意图
通过具体的算式让学生从除法的角度理解有理数的倒数，并进一步掌握用除法法则计算各种形式的数的除法，提高运算能力.
活动四：随堂训练，课堂总结
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.有理数除法法则有哪几种说法？
2.怎么根据除法算式的情况决定选用哪一种说法？
3.怎么利用有理数的除法法则化简分数？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P48习题2.2第6，7，8，12，16题.
板书设计
2.2.2 有理数的除法
第1课时 有理数的除法
1.有理数除法法则：①说法1；②说法2
2.化简分数
教学反思
本节课以一实际问题引入，铺垫除法与乘法的互逆关系，再据此关系，类比减法法则的推导，引导学生用算式实例总结出有理数除法法则的第一种说法，再在此基础上推出法则的第二种说法，由易到难，培养了学生的推理能力与探究意识.后续借助例题与练习，让学生感知法则的两种说法的适用情况，并能根据算式特点灵活选用，增强运算能力.接着让学生通过除法理解并化简分数，进一步掌握除法法则，并引导学生发现有理数都可以表示为分数形式，加强对有理数的理解，为后续学习做铺垫，整体效果较好.
利用有理数除法法则进行分析
由被除数和除数分析商
①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；②0除以任何一个不等于0的数，都得0；③任何一个数（0除外）除以原数都得1，除以原数的相反数都得－1；④1除以一个非0数等于这个数的倒数
由商分析被除数和除数
①两个数相除，若商是正数，则两数同号；若商是负数，则两数异号；②两个数相除，若商是0，则被除数为0，除数不为0；③两个数相除，若商是1，则这两个数相等（均不为0）；若商是－1，则这两个数互为相反数（均不为0）
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