湖南省长沙市宁乡市西部乡镇2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市宁乡市西部乡镇2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列根式中属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.如果有意义，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
4.正方形具备而菱形不具备的性质是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等D. 每条对角线平分一组对角
5.边长分别是下列各组数的三角中，是直角三角形的是( )
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
6.若一直角三角形两边长分别为和，则第三边长为( )
A. B. 或C. 或D.
7.下列说法中正确的个数有( )
三角形的三条高一定都在三角形内
有一个角是直角的四边形是矩形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
A. 个B. 个C. 个D. 个
8.满足下列条件的，不是直角三角形的是( )
A. B.
C. ：：：：D. ：：：：
9.若，那么的值为( )
A. B. C. 或D.
10.如图所示，四边形为正方形，边长为，点，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且的坐标为，是上的一动点，试求和的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
12.在平行四边形中，，则 ______．
13.在菱形中，对角线、交于点，，，则菱形的面积是______．
14.若，则 ______
15.把长，宽的矩形沿着对折，使点落在边的点上，则 ______．
16.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
如图，、是平行四边形对角线上两点，，求证：．
20.本小题分
如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，、在上，且，求证：四边形是平行四边形．
21.本小题分
在正方形中，为对角线，为上一点，连接、．
求证：≌．
延长交于，当时，求的度数．
22.本小题分
若实数，满足，求的值．
23.本小题分
已知：如图，在梯形中，，，求的度数及的长．
24.本小题分
阅读下列简化过程：
；
；
．
解答下列问题：
直接写出结果；
计算：；
设，，，比较，，的大小关系．
25.本小题分
已知：如图在中，，，垂足为，是的外角的平分线，于，连接交于．
试判断四边形的形状，并说明理由．
求证：，；
当是什么三角形时，四边形是一个正方形？并说明理由．
答案和解析
1.
解析：解：、，不是最简二次公式，故本选项错误；
B、是最简二次根式，故本选项正确；
C、，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选B．
2.
解析：解：有意义，
，
即，
故选：．
根据“负数没有平方根”进行解答即可．
本题考查二次根式有意义的条件，理解“负数没有平方根”是正确解答的前提．
3.
解析：解：、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、与被开方数相同，故是同类二次根式；
C、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
D、不是二次根式，与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选B．
先将各选项化简，再找到被开方数为的选项即可．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
4.
解析：解：平行四边形的对角线互相平分，所以菱形和正方形对角线均互相平分，故本选项错误；
菱形和正方形的对角线均互相垂直，故本选项错误；
正方形对角线相等，而菱形对角线不相等，故本选项正确；
对角线即角平分线是菱形的性质，正方形具有全部菱形的性质，所以本选项错误．
故选：．
正方形具有矩形和菱形的性质，故根据正方形和菱形的性质即可解题．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形和菱形的性质，熟悉掌握菱形、正方形的性质是解本题的关键．
5.
解析：解：、，不能构成直角三角形，故错误；
B、，不能构成直角三角形，故错误；
C、，不能构成直角三角形，故错误；
D、，能构成直角三角形，故正确；
故选：．
由已知得其符合勾股定理的逆定理才能构成直角三角形，对选项一一分析，选出正确答案．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6.
解析：解：当是斜边时，第三边是；
当是直角边时，第三边是．
故选：．
7.
解析：解：错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外，不符合题意；
错误，理由：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形，故不符合题意；
正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故符合题意；
错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形，故不符合题意．
正确的只有，
故选：．
根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题．
本题考查三角形高，菱形、矩形、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
8.
解析：解：、由得符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
B、由三角形三个角度数和是及解得，故是直角三角形；
C、由：：：：，及得，，，没有角，故不是直角三角形；
D、由：：：：得符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形．
故选C．
9.
解析：解：，
，，
．
故选A．
根据，进而化简求出即可．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确理解公式是解题关键．
10.
解析：解：连接，交于则就是和的最小值．
在直角中，，，，
，
．
和的最小值是．
故选：．
要求和的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解．
考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
11.
解析：解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列式计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
12.
解析：解：四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故答案为．
如图：由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边平行，可得，所以可求得的度数．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行．还考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
13.
解析：解：因为菱形的面积等于两条对角线的积的一半，
所以该菱形的面积是．
故答案为．
根据菱形的面积公式，已知，的长，易求出菱形面积．
此题主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半．
14.
解析：解：由题可知，
，
解得，
则．
故答案为：．
先根据非负数的性质求出与的值，再代入进行解题即可．
本题考查非负数的性质、算术平方根与绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
15.
解析：解：由折叠的性质知，，，
在中，由勾股定理知，，，
在中，由勾股定理知，，
，
解得．
故答案为：，
在中，利用折叠及勾股定理易得长度，即可得的长度，用表示出，利用的三边关系即可求得长度．
此题主要考查了折叠的性质、矩形的性质，勾股定理等知识点．利用折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等得出是解题关键．
16.
解析：解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形，，，的面积之和．
故答案为：．
根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
熟练运用勾股定理进行面积的转换．
17.解：

．
解析：根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根分别计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根是解题的关键．
18.解：原式，
，
，
当时，原式．
解析：首先计算括号里面的加法，再算括号外的除法，化简后，再代入的值可得答案．
此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序和计算法则，正确进行化简．
19.证明：平行四边形中，，，
．
又，
，
≌，
．
解析：本题利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．
先证，再证出≌，从而得出．
20.证明：四边形为平行四边形，
，．
，
．
四边形为平行四边形．
解析：根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
21.证明：四边形是正方形
，，
，，
≌
，且





解析：由题意可得：，且，可证≌；
由，可得，由平行线的性质可求的度数．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，熟练运用这些性质和判定是本题的关键．
22.解：由题意，得
，，
解得，
当时，．
当，时，．
解析：本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出，的值是解题关键．
根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案．
23.解：解法一：分别作，，、是垂足，
，，
，
四边形是矩形．
，
，
≌．
，
，，
，
在中，
，
，
，
，
，
由勾股定理，
得，
，．
解法二：过点作交于点，
，
四边形是平行四边形．
，，
，，
，
即，，
是直角三角形，是等边三角形，
，，
，．
在中，
，
，．
解析：解法一：分别作，，、是垂足，把梯形转换成矩形和两个直角三角形，首先利用梯形的性质和已知条件证明≌，然后在中解直角三角形即可求出所求线段；
解法二：过点作交于点，把梯形的问题转换成平行四边形和等边三角形，然后利用等边三角形的性质和三角函数的定义即可求出所求线段．
此题主要考查了梯形的常用辅助线：作梯形的高和平移腰，把梯形的问题转换成直角三角形或等边三角形的问题，然后利用解直角三角形的知识和等边三角形的性质解决问题．
24.解：原式
；
原式
；
，，，
而，
．
解析：直接分母有理化即可；
先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
先分母有理化得到，，，然后比较大小．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和分母有理化是解决问题的关键．
25.解：四边形为矩形，理由如下：
，，
，
又平分，
，
，
，
又，，
，
四边形为矩形；
证明：四边形是矩形，
，
，平分，
，
是的中位线，
即，；
解：当是等腰直角三角形时，四边形为正方形．理由如下：
且，，
，，
，
．
四边形为矩形，
四边形为正方形．
解析：由等腰三角形三线合一的性质得，又根据外角及角平分线的性质可得，根据三个角是直角的四边形是矩形可得结论；
根据四边形是矩形，可知是的中点，由，平分可知是的中点，故DF是的中位线，即，；
根据等腰直角三角形的性质，可得与的关系，根据正方形的判定，可得答案．
本题考查了正方形的判定，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的性质，三角形中位线定理，能够掌握并熟练运用．