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2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各组数，能作为直角三角形三边长的是( )
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 1，1，2D. 4，6，7
2.下列计算正确的是( )
A. ( 3)2=9B. (−2)2=−2C. 8÷ 2=2D. 6÷ 2=3
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 5B. 13C. 12D. 50
4.如图，在四边形ABCD中，BC//AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB=CD
B. AB//CD
C. ∠A=∠C
D. BC=AD
5.如图，在△ABC中，D和E分别为所在边的中点，若DE=3，则AC的长为( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
6.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等D. 对角线相等且互相垂直
7.如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形A，B的面积分别是16，9，则最大正方形C的面积是( )
A. 30
B. 25
C. 20
D. 15
8.若 a+1+|b−2|=0，则(a+b)2024=( )
A. −1B. 0C. 32024D. 1
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标分别为(−6,0)，(0,−4)，则菱形ABCD的面积为( )
A. 24
B. 48
C. 16 3
D. 24 3
10.炭河古城作为我国首个周文化主题公园，备受大家追捧，如今已成为旅游热点.在如图是古城某个绿植拐角的平面图，为了不践踏绿植，需要避开“捷径AC”走横平竖直的路.已知AB=6米，BC=8米，请问与捷径AC相比多走了多少米？( )
A. 2米
B. 3米
C. 4米
D. 5米
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若 x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
12.如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC边的中点，AC=4，则BD的长为______．
13.请写出一个大于1且小于2的最简二次根式______．
14.请写出命题“如果a>b，那么 a> b”的逆命题：______．
15.我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为“1”的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，如图线段OA的长度是______．
16.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是______．
①S△ABC=S△ADC；
②S△AEF=S△ANF；
③S矩形NFGD=S矩形EFMB；
④S△AEF=S矩形NFGD．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(2024−π)0+|− 3|−(12)−1− 3．
18.(本小题6分)
计算： 6÷ 3+ 8− 12× 6．
19.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C.E是边BC上一点，且DE=DC．
求证：四边形ABED是平行四边形．
20.(本小题8分)
设a=1+ 2，b=1− 2．
(1)求a+b，ab的值；
(2)求a2+2ab+b2的值．
21.(本小题8分)
如图为某小区绿化带示意图，已知∠ABC=90°，AB=3米，BC=4米，CD=12米，AD=13米．
(1)试判断△ACD的形状，并说明理由；
(2)若铺设一平米草坪费用为100元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？
22.(本小题9分)
如图，已知∠AOB，点C在射线OA上，点D在射线OB上，其中OC=OD．
(1)尺规作图：用直尺和圆规作出菱形CODN．
(2)作出(1)中菱形CODN后，若OC=2 3，∠AOB=60°，求ON的长．
23.(本小题9分)
如图平面直角坐标系中，已知三点A(0,7)，B(8,1)，C(x,0)．
(1)请用含x的代数式表示AC和BC的值，AC= ______，BC= ______；
(2)请求出使得CA=CB时的x值；
(3)请求出CA+CB的最小值．
24.(本小题10分)
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
(1)若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E、F相遇时除外)？
答：______；(直接填空，不用说理)
(2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
(3)在(1)条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．
25.(本小题10分)
我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是______(填序号)；
(2)如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连AG、EG.求证：四边形ABEG是“宁美四边形”；
(3)如图2，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB′=2，正方形的边长为6，求线段OF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故符合题意；
C、1+1=2，不能组构成三角形，故不符合题意；
D、42+62≠72，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：B．
根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．
此题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、( 3)2=3，故本选项计算错误，不符合题意；
B、 (−2)2=2，故本选项计算错误，不符合题意；
C、 8÷ 2= 8÷2= 4=2，故本选项计算正确，符合题意；
D、 6÷ 2= 6÷2= 3，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的性质、二次根式的除法法则计算，判断即可．
本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】
解：A： 5是最简二次根式，故本选项符合题意；
B： 13的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C： 12的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D： 50的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】
本题考查了最简二次根式的定义，熟记最简二次根式的定义是解本题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
4.【答案】A
【解析】解：当BC//AD，AB=CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
当AB//CD，BC//AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意；
当BC//AD，∠A=∠C时，可得AB//DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故C选项不合题意；
当BC//AD，BC=AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意；
故选：A．
依据平行四边形的判定方法，即可得到不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件．
此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要记准平行四边形的判定方法．
5.【答案】A
【解析】解：∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∵DE=3，
∴AC=6．
故选：A．
根据三角形的中位线求解即可．
本题考查了三角形的中位线，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6.【答案】C
【解析】解：A、矩形、菱形都具有此性质，故A不符合题意；
B、菱形具有此性质，但矩形不一定具有此性质，故B不符合题意；
C、矩形具有而菱形不一定具有此性质，故C符合题意；
D、矩形、菱形都不一定具有此性质，故D不符合题意．
故选：C．
由菱形和矩形的性质，即可判断．
本题考查矩形、菱形的性质，关键是掌握矩形、菱形的性质．
7.【答案】B
【解析】解：设正方形A、B、C的边长分别为a，b，c，
∴S正方形A=a216，S正方形B=b2=9，S正方形C=c2，
∵a，b，c为直角三角形的三边，且正方形C的面积为最大，
∴C为直角三角形的斜边，a，b为直角三角形的直角边，
由勾股定理得：a2+b2=c2，
∴S正方形C=c2=a2+b2=16+9=25．
故选：B．
设正方形A、B、C的边长分别为a，b，c，则S正方形A=a216，S正方形B=b2=9，S正方形C=c2，然后根据正方形C的面积为最大可判断c为直角三角形的斜边，最后再利用勾股定理可得出答案．
此题主要考查了正方形的面积，勾股定理，解答此题的关键是理解勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
8.【答案】D
【解析】解：由题可知，
a+1=0b−2=0，
解得a=−1b=2，
则(a+b)2024=12024=1．
故选：D．
先根据非负数的性质求出a与b的值，再代入进行计算即可．
本题考查非负数的性质、算术平方根、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵A，B两点的坐标分别为(−6,0)，(0,−4)，
∴AO=6，BO=4，
∴S△AOB=12×AO×BO=12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD=4S△AOB=48．
故选：B．
计算出△AOB的面积即可求解．
本题考查菱形面积的求解．抓住S菱形ABCD=4S△AOB是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，
由勾股定理得：AC= AB2+BC2= 62+82=10(米)，
∵AB+BC−AC=6+8−10=14，
∴与捷径AC相比多走了4米，
故选：C．
根据勾股定理求出AC，计算即可．
本题考查的是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
11.【答案】x≥3
【解析】解：∵x−3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：在△ABC中，
∵∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，
∴AC=2BD，
∵AC=4，
∴BD=2．
故答案为：2．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD，进而可得答案．
此题主要考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13.【答案】 2(答案不唯一)
【解析】解：大于1且小于2的最简二次根式可以为 2(答案不唯一)．
故答案为： 2(答案不唯一)．
根据最简二次根式的概念解答即可．
本题考查的是最简二次根式的概念和实数的大小比较，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
14.【答案】如果 a> b，那么a>b
【解析】解：命题“如果a>b，那么 a> b”的逆命题是：如果 a> b，那么a>b，
故答案为：如果 a> b，那么a>b．
交换命题的题设和结论后即可写出原命题的逆命题．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
15.【答案】 2
【解析】解：根据题意知，
OA=OB= 12+12= 2，
故答案为： 2
利用勾股定理求得对角线OB的长度再结合图形即可求解．
本题主要考查了实数与数轴之间的关系，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
16.【答案】①②③
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴S△ABC=S△ADC，故①正确；
∵FE⊥AB，FN⊥AD，∠BAD=90°，
∴四边形AEFN是矩形，
∴S△AEF=S△ANF，故②正确；
同理可得：S△CMF=S△CGF，
∴S矩形NFGD=S矩形EFMB，故③正确；
由题意无法证明S△AEF=S矩形NFGD.故④错误，
故答案为：①②③．
由矩形的性质可得S△ABC=S△ADC，S△AEF=S△ANF，由面积的和差公式可得S矩形NFGD=S矩形EFMB，即可求解．
本题考查了矩形的性质，三角形的面积公式，掌握矩形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(2024−π)0+|− 3|−(12)−1− 3
=1+ 3−2− 3
=−1．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解： 6÷ 3+ 8− 12× 6
= 2+2 2− 3
=3 2− 3．
【解析】先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】证明：∵DE=DC，
∴∠DEC=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠DEC，
∴AB//DE，
∵AD//BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
【解析】由等腰三角形的性质得∠DEC=∠C，再证∠B=∠DEC，则AB//DE，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵a=1+ 2，b=1− 2，
∴a+b=(1+ 2)+(1− 2)=2；
ab=(1+ 2)×(1− 2)=1−2=−1；
(2)a2+2ab+b2
=(a+b)2
=22
=4．
【解析】(1)直接导入计算即可；
(2)结合(1)代入计算即可．
本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
21.【答案】解：(1)△ACD是直角三角形，理由如下：
∵∠ABC=90°，AB=3米，BC=4米，
∴AC= AB2+BC2= 32+42=5(米)，
∵CD=12米，AD=13米．
∴AD2=132=52+122=AC2+CD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°；
(2)∵∠ABC=∠ACD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×5×12=36(平方米)，
∵铺设一平米草坪费用为100元，
∴将该绿化带铺满草坪需要的费用为36×100=3600(元)，
答：将该绿化带铺满草坪需要3600元钱．
【解析】(1)由勾股定理得出AC的长，再由勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形即可；
(2)由三角形面积公式求出四边形ABCD的面积，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，以点C为圆心，OD的长为半径画弧，再以点D为圆心，OC的长为半径画弧，两弧交于点N，连接CN，DN，
则四边形CODN即为所求．
(2)连接CD，ON，相交于M，
∵四边形CODN为菱形，
∴OC=OD=2 3，CD⊥ON，OM=MN，CM=DM，
∵∠AOB=60°，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=2 3，
∴DM=12CD= 3．
在Rt△DOM中，由勾股定理得，OM= OD2−DM2= (2 3)2−( 3)2=3，
∴ON=2OM=6．
【解析】(1)结合菱形的判定，以点C为圆心，OD的长为半径画弧，再以点D为圆心，OC的长为半径画弧，两弧交于点N，连接CN，DN即可．
(2)连接CD，ON，相交于M，根据菱形的性质可得OC=OD=2 3，CD⊥ON，OM=MN，CM=DM，进而可得△COD为等边三角形，则CD=2 3，DM=12CD= 3.在Rt△DOM中，利用勾股定理求出OM的长，进而可得ON的长．
本题考查作图—复杂作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
23.【答案】 x2+49 x2−16x+65
【解析】解：∵A(0,7)，B(8,1)，C(x,0)，
∴AC= (x−0)2+(7−0)2= x2+49，
BC= (8−x)2+(1−0)2= x2−16x+65，
故答案为： x2+49， x2−16x+65；
(2)如图，CA=CB，过点B作BD⊥x轴于点D，
由题意，知OA=7，OC=x，CD=8−x，BD=1，
在Rt△ACO中，CA2=OA2+OC2=49+x2，
在Rt△BCD中，CB2=CD2+BD2=(8−x)2+1，
∵CA=CB，
∴49+x2=(8−x)2+1，
解得x=1；
(3)如图，作点A关于x轴的对称点A′(0,−7)，连接A′B交x轴于点C，
则CA′=CA，CA+CB=CA′+CB=A′B，
即CA+CB的最小值为A′B，
过点B作BD⊥y轴于点D，
则A′D=OA′+OD=7+1=8，BD=8，
由勾股定理，得A′B= A′D2+BD2= 82+82=8 2，
故CA+CB的最小值为8 2．
(1)根据平面直角坐标系中两点间的距离公式即可用含x的代数式表示AC和BC的值；
(2)画出图形，利用勾股定理表示出CA2，CB2，利用CA=CB列方程解出即可；
(3)根据将军饮马模型，利用勾股定理即可求出CA+CB的最小值．
本题考查平面直角坐标系中两点间的距离公式，勾股定理，轴对称−最短路线问题，能将两线段和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．
24.【答案】解：(1)四边形EGFH是平行四边形；
(2)连接GH，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，AD//BC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
由(1)可知：G，H分别是AD，BC中点，
∴AG=12AD，BH=12BC，
∴AG=BH，
又∵AG//BH，∠B=90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH=AB=6，
根据题意可知：AE=CF=t，
当四边形EGFH为矩形时，EF=GH，
当E、F两点相遇前，EF=10−2t，根据EF=GH可得10−2t=6，解得t=2；
当E、F两点相遇后EF=2t−10，根据EF=GH可得2t−10=6，解得t=8；
综上所述，t的值为2或8；
(3)解：连接AH、CG，GH，GH与AC相交于点O，如图所示：
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
又∵AE=CF，
∴OE+AE=OF+CF，
∴OA=OC，
又∵GH⊥EF，
∴GH垂直平分线段AC，
∴AH=CH，
设AH=CH=x，则BH=8−x，
由勾股定理得：AB2+BH2=AH2，
即62+(8−x)2=x2，
解得，x=254，
∴CH=254，
∵点H是从BC的中点出发，
∴t=254−4÷1=94
∴t为94时，四边形EGFH为菱形．
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，掌握矩形的性质定理、菱形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
(1)首先证明△AEG≌△CFH，根据全等三角形的性质得到GE=HF，证明△EFG≌△FEH得到GF=HE，根据平行四边形的判定定理，即可得出结论；
(2)根据“对角线相等的平行四边形是矩形”得出EF=GH时，四边形EGFH是矩形，用含t的代数式表示EF的长，分为E、F两点相遇前和相遇后两种情况，列出关于t的方程，解方程，即可求解；
(3)连接AH、CG，GH，GH与AC相交于点O，首先根据菱形的性质得出GH垂直平分线段AC，得出AH=CH，设AH=CH=x，则BH=8−x，利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求出x的值，根据点H是从BC的中点出发，求出t的值即可．
【解答】
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠GAE=∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC的中点，
∴AG=DG=12AD，BH=CH=12BC，
∴AG=CH，
根据题意可知AE=CF，
在△AEG和△CFH中，
AG=CH∠GAE=∠HCFAE=CF,
∴△AEG≌△CFH(SAS)，
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴180°−∠AEG=180°−∠CFH，即∠GEF=∠HFE，
在△EFG和△FEH中，
EG=FH∠GEF=∠HFEEF=FE,
∴△EFG≌△FEH(SAS)，
∴GF=HE，
又∵GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故答案为EGFH是平行四边形；
(2)见答案；
(3)见答案．
25.【答案】④
【解析】(1)解：∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
∴正方形是“神奇四边形”，
故答案为：④；
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABG+∠CBG=90°，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠ABG=90°，
∴∠BAE=∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
∠BAE=∠CBGAB=BC∠ABE=∠BCG，
∴△ABE≌△BCG(ASA)，
∴AE=BG，
又∵BG⊥AE，
∴四边形ABEG是“神奇四边形”；
(3)解：如图3，延长AO交BC于S，
由翻折的性质可知，BF=B′F，AB′=BS=2，AO=SO，∠B′=∠B，
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AB=6，∠B=90°，
∴AS= AB2+BS2= 62+22=2 10，∠B′=∠B=90°，
∴AO=12AS= 10，
设AF=x，则BF=B′F=6−x，
在Rt△AB′F中，由勾股定理得：22+(6−x)2=x2，
∴x=103，
∴AF=103，
∵AO⊥FR，
∴∠AOF=90°，
∴OF= AF2−AO2= (103)2−( 10)2= 103，
即线段OF的长为 103．
(1)由“宁美四边形”的定义可得出答案；
(2)证明△ABE≌△BCG(ASA)，得出AE=BG，则可得出结论；
(3)延长AO交BC于S，由翻折的性质可知，BF=B′F，AB′=BS=2，AO=SO，∠B′=∠B，由勾股定理可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了新定义“宁美四边形”，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识．
1.下列各组数，能作为直角三角形三边长的是( )
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 1，1，2D. 4，6，7
2.下列计算正确的是( )
A. ( 3)2=9B. (−2)2=−2C. 8÷ 2=2D. 6÷ 2=3
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 5B. 13C. 12D. 50
4.如图，在四边形ABCD中，BC//AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB=CD
B. AB//CD
C. ∠A=∠C
D. BC=AD
5.如图，在△ABC中，D和E分别为所在边的中点，若DE=3，则AC的长为( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
6.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等D. 对角线相等且互相垂直
7.如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形A，B的面积分别是16，9，则最大正方形C的面积是( )
A. 30
B. 25
C. 20
D. 15
8.若 a+1+|b−2|=0，则(a+b)2024=( )
A. −1B. 0C. 32024D. 1
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标分别为(−6,0)，(0,−4)，则菱形ABCD的面积为( )
A. 24
B. 48
C. 16 3
D. 24 3
10.炭河古城作为我国首个周文化主题公园，备受大家追捧，如今已成为旅游热点.在如图是古城某个绿植拐角的平面图，为了不践踏绿植，需要避开“捷径AC”走横平竖直的路.已知AB=6米，BC=8米，请问与捷径AC相比多走了多少米？( )
A. 2米
B. 3米
C. 4米
D. 5米
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若 x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 ．
12.如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC边的中点，AC=4，则BD的长为______．
13.请写出一个大于1且小于2的最简二次根式______．
14.请写出命题“如果a>b，那么 a> b”的逆命题：______．
15.我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为“1”的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，如图线段OA的长度是______．
16.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是______．
①S△ABC=S△ADC；
②S△AEF=S△ANF；
③S矩形NFGD=S矩形EFMB；
④S△AEF=S矩形NFGD．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(2024−π)0+|− 3|−(12)−1− 3．
18.(本小题6分)
计算： 6÷ 3+ 8− 12× 6．
19.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=∠C.E是边BC上一点，且DE=DC．
求证：四边形ABED是平行四边形．
20.(本小题8分)
设a=1+ 2，b=1− 2．
(1)求a+b，ab的值；
(2)求a2+2ab+b2的值．
21.(本小题8分)
如图为某小区绿化带示意图，已知∠ABC=90°，AB=3米，BC=4米，CD=12米，AD=13米．
(1)试判断△ACD的形状，并说明理由；
(2)若铺设一平米草坪费用为100元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？
22.(本小题9分)
如图，已知∠AOB，点C在射线OA上，点D在射线OB上，其中OC=OD．
(1)尺规作图：用直尺和圆规作出菱形CODN．
(2)作出(1)中菱形CODN后，若OC=2 3，∠AOB=60°，求ON的长．
23.(本小题9分)
如图平面直角坐标系中，已知三点A(0,7)，B(8,1)，C(x,0)．
(1)请用含x的代数式表示AC和BC的值，AC= ______，BC= ______；
(2)请求出使得CA=CB时的x值；
(3)请求出CA+CB的最小值．
24.(本小题10分)
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
(1)若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E、F相遇时除外)？
答：______；(直接填空，不用说理)
(2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
(3)在(1)条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．
25.(本小题10分)
我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是______(填序号)；
(2)如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连AG、EG.求证：四边形ABEG是“宁美四边形”；
(3)如图2，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB′=2，正方形的边长为6，求线段OF的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故符合题意；
C、1+1=2，不能组构成三角形，故不符合题意；
D、42+62≠72，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：B．
根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．
此题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、( 3)2=3，故本选项计算错误，不符合题意；
B、 (−2)2=2，故本选项计算错误，不符合题意；
C、 8÷ 2= 8÷2= 4=2，故本选项计算正确，符合题意；
D、 6÷ 2= 6÷2= 3，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的性质、二次根式的除法法则计算，判断即可．
本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】
解：A： 5是最简二次根式，故本选项符合题意；
B： 13的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C： 12的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D： 50的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】
本题考查了最简二次根式的定义，熟记最简二次根式的定义是解本题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
4.【答案】A
【解析】解：当BC//AD，AB=CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
当AB//CD，BC//AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意；
当BC//AD，∠A=∠C时，可得AB//DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故C选项不合题意；
当BC//AD，BC=AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意；
故选：A．
依据平行四边形的判定方法，即可得到不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件．
此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要记准平行四边形的判定方法．
5.【答案】A
【解析】解：∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∵DE=3，
∴AC=6．
故选：A．
根据三角形的中位线求解即可．
本题考查了三角形的中位线，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6.【答案】C
【解析】解：A、矩形、菱形都具有此性质，故A不符合题意；
B、菱形具有此性质，但矩形不一定具有此性质，故B不符合题意；
C、矩形具有而菱形不一定具有此性质，故C符合题意；
D、矩形、菱形都不一定具有此性质，故D不符合题意．
故选：C．
由菱形和矩形的性质，即可判断．
本题考查矩形、菱形的性质，关键是掌握矩形、菱形的性质．
7.【答案】B
【解析】解：设正方形A、B、C的边长分别为a，b，c，
∴S正方形A=a216，S正方形B=b2=9，S正方形C=c2，
∵a，b，c为直角三角形的三边，且正方形C的面积为最大，
∴C为直角三角形的斜边，a，b为直角三角形的直角边，
由勾股定理得：a2+b2=c2，
∴S正方形C=c2=a2+b2=16+9=25．
故选：B．
设正方形A、B、C的边长分别为a，b，c，则S正方形A=a216，S正方形B=b2=9，S正方形C=c2，然后根据正方形C的面积为最大可判断c为直角三角形的斜边，最后再利用勾股定理可得出答案．
此题主要考查了正方形的面积，勾股定理，解答此题的关键是理解勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
8.【答案】D
【解析】解：由题可知，
a+1=0b−2=0，
解得a=−1b=2，
则(a+b)2024=12024=1．
故选：D．
先根据非负数的性质求出a与b的值，再代入进行计算即可．
本题考查非负数的性质、算术平方根、绝对值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵A，B两点的坐标分别为(−6,0)，(0,−4)，
∴AO=6，BO=4，
∴S△AOB=12×AO×BO=12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD=4S△AOB=48．
故选：B．
计算出△AOB的面积即可求解．
本题考查菱形面积的求解．抓住S菱形ABCD=4S△AOB是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，
由勾股定理得：AC= AB2+BC2= 62+82=10(米)，
∵AB+BC−AC=6+8−10=14，
∴与捷径AC相比多走了4米，
故选：C．
根据勾股定理求出AC，计算即可．
本题考查的是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
11.【答案】x≥3
【解析】解：∵x−3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：在△ABC中，
∵∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，
∴AC=2BD，
∵AC=4，
∴BD=2．
故答案为：2．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD，进而可得答案．
此题主要考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13.【答案】 2(答案不唯一)
【解析】解：大于1且小于2的最简二次根式可以为 2(答案不唯一)．
故答案为： 2(答案不唯一)．
根据最简二次根式的概念解答即可．
本题考查的是最简二次根式的概念和实数的大小比较，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
14.【答案】如果 a> b，那么a>b
【解析】解：命题“如果a>b，那么 a> b”的逆命题是：如果 a> b，那么a>b，
故答案为：如果 a> b，那么a>b．
交换命题的题设和结论后即可写出原命题的逆命题．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
15.【答案】 2
【解析】解：根据题意知，
OA=OB= 12+12= 2，
故答案为： 2
利用勾股定理求得对角线OB的长度再结合图形即可求解．
本题主要考查了实数与数轴之间的关系，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
16.【答案】①②③
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴S△ABC=S△ADC，故①正确；
∵FE⊥AB，FN⊥AD，∠BAD=90°，
∴四边形AEFN是矩形，
∴S△AEF=S△ANF，故②正确；
同理可得：S△CMF=S△CGF，
∴S矩形NFGD=S矩形EFMB，故③正确；
由题意无法证明S△AEF=S矩形NFGD.故④错误，
故答案为：①②③．
由矩形的性质可得S△ABC=S△ADC，S△AEF=S△ANF，由面积的和差公式可得S矩形NFGD=S矩形EFMB，即可求解．
本题考查了矩形的性质，三角形的面积公式，掌握矩形的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(2024−π)0+|− 3|−(12)−1− 3
=1+ 3−2− 3
=−1．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18.【答案】解： 6÷ 3+ 8− 12× 6
= 2+2 2− 3
=3 2− 3．
【解析】先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】证明：∵DE=DC，
∴∠DEC=∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠DEC，
∴AB//DE，
∵AD//BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
【解析】由等腰三角形的性质得∠DEC=∠C，再证∠B=∠DEC，则AB//DE，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵a=1+ 2，b=1− 2，
∴a+b=(1+ 2)+(1− 2)=2；
ab=(1+ 2)×(1− 2)=1−2=−1；
(2)a2+2ab+b2
=(a+b)2
=22
=4．
【解析】(1)直接导入计算即可；
(2)结合(1)代入计算即可．
本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
21.【答案】解：(1)△ACD是直角三角形，理由如下：
∵∠ABC=90°，AB=3米，BC=4米，
∴AC= AB2+BC2= 32+42=5(米)，
∵CD=12米，AD=13米．
∴AD2=132=52+122=AC2+CD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°；
(2)∵∠ABC=∠ACD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×5×12=36(平方米)，
∵铺设一平米草坪费用为100元，
∴将该绿化带铺满草坪需要的费用为36×100=3600(元)，
答：将该绿化带铺满草坪需要3600元钱．
【解析】(1)由勾股定理得出AC的长，再由勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形即可；
(2)由三角形面积公式求出四边形ABCD的面积，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，以点C为圆心，OD的长为半径画弧，再以点D为圆心，OC的长为半径画弧，两弧交于点N，连接CN，DN，
则四边形CODN即为所求．
(2)连接CD，ON，相交于M，
∵四边形CODN为菱形，
∴OC=OD=2 3，CD⊥ON，OM=MN，CM=DM，
∵∠AOB=60°，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=2 3，
∴DM=12CD= 3．
在Rt△DOM中，由勾股定理得，OM= OD2−DM2= (2 3)2−( 3)2=3，
∴ON=2OM=6．
【解析】(1)结合菱形的判定，以点C为圆心，OD的长为半径画弧，再以点D为圆心，OC的长为半径画弧，两弧交于点N，连接CN，DN即可．
(2)连接CD，ON，相交于M，根据菱形的性质可得OC=OD=2 3，CD⊥ON，OM=MN，CM=DM，进而可得△COD为等边三角形，则CD=2 3，DM=12CD= 3.在Rt△DOM中，利用勾股定理求出OM的长，进而可得ON的长．
本题考查作图—复杂作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
23.【答案】 x2+49 x2−16x+65
【解析】解：∵A(0,7)，B(8,1)，C(x,0)，
∴AC= (x−0)2+(7−0)2= x2+49，
BC= (8−x)2+(1−0)2= x2−16x+65，
故答案为： x2+49， x2−16x+65；
(2)如图，CA=CB，过点B作BD⊥x轴于点D，
由题意，知OA=7，OC=x，CD=8−x，BD=1，
在Rt△ACO中，CA2=OA2+OC2=49+x2，
在Rt△BCD中，CB2=CD2+BD2=(8−x)2+1，
∵CA=CB，
∴49+x2=(8−x)2+1，
解得x=1；
(3)如图，作点A关于x轴的对称点A′(0,−7)，连接A′B交x轴于点C，
则CA′=CA，CA+CB=CA′+CB=A′B，
即CA+CB的最小值为A′B，
过点B作BD⊥y轴于点D，
则A′D=OA′+OD=7+1=8，BD=8，
由勾股定理，得A′B= A′D2+BD2= 82+82=8 2，
故CA+CB的最小值为8 2．
(1)根据平面直角坐标系中两点间的距离公式即可用含x的代数式表示AC和BC的值；
(2)画出图形，利用勾股定理表示出CA2，CB2，利用CA=CB列方程解出即可；
(3)根据将军饮马模型，利用勾股定理即可求出CA+CB的最小值．
本题考查平面直角坐标系中两点间的距离公式，勾股定理，轴对称−最短路线问题，能将两线段和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．
24.【答案】解：(1)四边形EGFH是平行四边形；
(2)连接GH，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC，AD//BC，
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
由(1)可知：G，H分别是AD，BC中点，
∴AG=12AD，BH=12BC，
∴AG=BH，
又∵AG//BH，∠B=90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH=AB=6，
根据题意可知：AE=CF=t，
当四边形EGFH为矩形时，EF=GH，
当E、F两点相遇前，EF=10−2t，根据EF=GH可得10−2t=6，解得t=2；
当E、F两点相遇后EF=2t−10，根据EF=GH可得2t−10=6，解得t=8；
综上所述，t的值为2或8；
(3)解：连接AH、CG，GH，GH与AC相交于点O，如图所示：
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
又∵AE=CF，
∴OE+AE=OF+CF，
∴OA=OC，
又∵GH⊥EF，
∴GH垂直平分线段AC，
∴AH=CH，
设AH=CH=x，则BH=8−x，
由勾股定理得：AB2+BH2=AH2，
即62+(8−x)2=x2，
解得，x=254，
∴CH=254，
∵点H是从BC的中点出发，
∴t=254−4÷1=94
∴t为94时，四边形EGFH为菱形．
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，掌握矩形的性质定理、菱形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
(1)首先证明△AEG≌△CFH，根据全等三角形的性质得到GE=HF，证明△EFG≌△FEH得到GF=HE，根据平行四边形的判定定理，即可得出结论；
(2)根据“对角线相等的平行四边形是矩形”得出EF=GH时，四边形EGFH是矩形，用含t的代数式表示EF的长，分为E、F两点相遇前和相遇后两种情况，列出关于t的方程，解方程，即可求解；
(3)连接AH、CG，GH，GH与AC相交于点O，首先根据菱形的性质得出GH垂直平分线段AC，得出AH=CH，设AH=CH=x，则BH=8−x，利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求出x的值，根据点H是从BC的中点出发，求出t的值即可．
【解答】
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠GAE=∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC的中点，
∴AG=DG=12AD，BH=CH=12BC，
∴AG=CH，
根据题意可知AE=CF，
在△AEG和△CFH中，
AG=CH∠GAE=∠HCFAE=CF,
∴△AEG≌△CFH(SAS)，
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴180°−∠AEG=180°−∠CFH，即∠GEF=∠HFE，
在△EFG和△FEH中，
EG=FH∠GEF=∠HFEEF=FE,
∴△EFG≌△FEH(SAS)，
∴GF=HE，
又∵GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故答案为EGFH是平行四边形；
(2)见答案；
(3)见答案．
25.【答案】④
【解析】(1)解：∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
∴正方形是“神奇四边形”，
故答案为：④；
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABG+∠CBG=90°，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠ABG=90°，
∴∠BAE=∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
∠BAE=∠CBGAB=BC∠ABE=∠BCG，
∴△ABE≌△BCG(ASA)，
∴AE=BG，
又∵BG⊥AE，
∴四边形ABEG是“神奇四边形”；
(3)解：如图3，延长AO交BC于S，
由翻折的性质可知，BF=B′F，AB′=BS=2，AO=SO，∠B′=∠B，
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AB=6，∠B=90°，
∴AS= AB2+BS2= 62+22=2 10，∠B′=∠B=90°，
∴AO=12AS= 10，
设AF=x，则BF=B′F=6−x，
在Rt△AB′F中，由勾股定理得：22+(6−x)2=x2，
∴x=103，
∴AF=103，
∵AO⊥FR，
∴∠AOF=90°，
∴OF= AF2−AO2= (103)2−( 10)2= 103，
即线段OF的长为 103．
(1)由“宁美四边形”的定义可得出答案；
(2)证明△ABE≌△BCG(ASA)，得出AE=BG，则可得出结论；
(3)延长AO交BC于S，由翻折的性质可知，BF=B′F，AB′=BS=2，AO=SO，∠B′=∠B，由勾股定理可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了新定义“宁美四边形”，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识．
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