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新高考物理一轮复习讲义 第5章 第2讲 人造卫星 宇宙速度（2份打包，原卷版+教师版）
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考点一 卫星运行参量的分析
1．基本公式
(1)线速度：由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r)).
(2)角速度：由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3)).
(3)周期：由Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM)).
(4)向心加速度：由Geq \f(Mm,r2)＝man得an＝eq \f(GM,r2).
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢．
2．“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg＝Geq \f(Mm,R2)，整理可得GM＝gR2.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM.
3．人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道．
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)同步卫星
①轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同．
②周期与地球自转周期相等，T＝24 h.
③高度固定不变，h＝3.6×107 m.
④运行速率约为v＝3.1 km/s.
(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星．
1．同一中心天体的两颗行星，公转半径越大，向心加速度越大．( × )
2．同一中心天体质量不同的两颗行星，若轨道半径相同，速率不一定相等．( × )
3．近地卫星的周期最小．( √ )
4．极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．( × )
5．不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的．( √ )
1．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.
2．同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关．
考向1 卫星运行参量与轨道半径的关系
例1 (2022·广东卷·2)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季．假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍．火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动．下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
答案 D
解析 由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可得v＝eq \r(\f(GM,r))，结合C选项解析，可知火星公转的线速度小于地球公转的线速度，故A错误；根据ω＝eq \f(2π,T)可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq \f(GM,r2)，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确．
例2 (2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为eq \r(3)∶eq \r(2)
C．角速度大小之比为2eq \r(2)∶3eq \r(3)
D．向心加速度大小之比为9∶4
答案 C
解析 轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，则eq \f(v火,v地)＝eq \r(\f(r地,r火))＝eq \f(\r(2),\r(3))，故B错误；由万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝mω2r，得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，则eq \f(ω火,ω地)＝eq \r(\f(r地3,r火3))＝eq \f(2\r(2),3\r(3))，故C正确；由eq \f(GMm,r2)＝ma，得a＝eq \f(GM,r2)，则eq \f(a火,a地)＝eq \f(r地2,r火2)＝eq \f(4,9)，故D错误．
考向2 同步卫星
例3 关于地球同步卫星，下列说法错误的是( )
A．它的周期与地球自转周期相同
B．它的周期、高度、速度大小都是一定的
C．我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空
D．我国发射的同步通信卫星必须定点在赤道上空
答案 C
解析 地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，选项A正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r可知，因地球同步卫星的周期一定，则高度、速度大小都是一定的，选项B正确；同步卫星必须定点在赤道上空，不可以定点在北京上空，选项C错误，D正确．
例4 利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h
答案 B
解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由几何关系可作出卫星间的位置关系如图所示．
卫星的轨道半径为r＝eq \f(R,sin 30°)＝2R
由eq \f(r13,T12)＝eq \f(r23,T22)得eq \f(6.6R3,24 h2)＝eq \f(2R3,T22)，解得T2≈4 h，故选B.
考向3 同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较
例5 (多选)如图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是( )
A.eq \f(a1,a2)＝eq \f(r,R) B.eq \f(a1,a2)＝(eq \f(R,r))2
C.eq \f(v1,v2)＝eq \f(r,R) D.eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(R,r))
答案 AD
解析 根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v12,r)，Geq \f(Mm′,R2)＝m′eq \f(v22,R)，故eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(R,r))；对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同点是角速度相等，有a1＝ω2r，a2＝ω2R，故eq \f(a1,a2)＝eq \f(r,R)，故选A、D.
例6 有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，重力加速度为g，则有( )
A．a的向心加速度大小等于重力加速度大小g
B．b在相同时间内转过的弧长最长
C．c在4 h内转过的圆心角是eq \f(π,6)
D．d的运行周期有可能是20 h
答案 B
解析 赤道上随地球自转的卫星所需的向心力大小等于万有引力的一个分力，万有引力大小近似等于重力大小，则a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，卫星的轨道半径r越大，速度v越小，所以在b、c、d中b的速度最大，又由v＝ωr知a的速度小于c的速度，故在相同时间内b转过的弧长最长，故B正确；c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在4 h内转过的圆心角是eq \f(4 h,24 h)×2π＝eq \f(π,3)，故C错误；由开普勒第三定律可知，卫星的半径r越大，周期T越大，所以d的运动周期大于c的运动周期，即大于24 h，则不可能是20 h，故D错误．
同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3.
考点二 宇宙速度
1．地球的第一宇宙速度的大小与地球质量有关．( √ )
2．月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s.( × )
3．同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度．( √ )
4．若物体的发射速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体绕太阳运行．( √ )
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由Geq \f(m地m,R2)＝meq \f(v2,R)，得v＝eq \r(\f(Gm地,R))＝eq \r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106)) m/s≈7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝meq \f(v2,R)得
v＝eq \r(gR)＝eq \r(9.8×6.4×106) m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq \r(\f(R,g))＝2πeq \r(\f(6.4×106,9.8)) s≈5 075 s≈85 min.正是近地卫星的周期．
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆．
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
例7 (2023·湖北省联考)中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行．已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是( )
A．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶eq \r(5)
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案 C
解析 卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，可得v＝eq \r(\f(GM,R))，故v火∶v地＝1∶eq \r(5)，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要v火＝eq \f(7.9,\r(5))km/s，故A错误，C正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2 km/s，故B错误；g地＝Geq \f(M地,R地2)，g火＝Geq \f(M火,R火2)，联立可得g地>g火，故D错误．
例8 宇航员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R.求：
(1)该星球的第一宇宙速度的大小；
(2)该星球的第二宇宙速度的大小．已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能Ep＝－Geq \f(mM,r).(G为引力常量)
答案 (1)eq \r(\f(v0R,t)) (2)eq \r(\f(2v0R,t))
解析 (1)由题意可知星球表面重力加速度为g＝eq \f(v0,t)，由万有引力定律知mg＝meq \f(v12,R)
解得v1＝eq \r(gR)＝eq \r(\f(v0R,t)).
(2)由星球表面万有引力等于物体重力知eq \f(GMm,R2)＝mg，又Ep＝－Geq \f(mM,R)，解得Ep＝－eq \f(mv0R,t)，由机械能守恒定律有eq \f(1,2)mv22－eq \f(mv0R,t)＝0，解得v2＝eq \r(\f(2v0R,t)).
考点三 天体的“追及”问题
例9 如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0.某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为( )
A.eq \f(T0,2\r(k3)＋1) B.eq \f(T0,\r(k3)－1)
C.eq \f(T0,2\r(k3)－1) D.eq \f(T0,\r(k3)＋1)
答案 C
解析 由开普勒第三定律得eq \f(rA3,TA2)＝eq \f(rB3,TB2)，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，eq \f(t,TB)－eq \f(t,TA)＝nB－nA＝eq \f(1,2)，又由A是地球同步卫星知TA＝T0，联立解得t＝eq \f(T0,2\r(k3)－1)，故选C.
天体“追及”问题的处理方法
1．相距最近：两同心转动的卫星(rA2．相距最远：两同心转动的卫星(rA例10 (多选)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
答案 AD
解析 根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A正确，B错误；设题图所示位置ac连线与bc连线的夹角为θ(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3，…)，可知n＝0,1,2，…，6，n可取7个值；a、b相距最近时有eq \f(2π,Ta)Tb－eq \f(2π,Tb)Tb>(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3，…)，可知m＝0,1,2，…，6，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，C错误，D正确．
课时精练
1.(2023·江苏海安市高三检测)神舟十三号飞船首次采用径向端口对接；飞船从空间站下方的停泊点进行俯仰调姿和滚动调姿后与天宫空间站完成对接，飞船在完成对接后与在停泊点时相比( )
A．线速度增大 B．绕行周期增大
C．所受万有引力增大 D．向心加速度增大
答案 B
解析 飞船绕地球稳定运行时，万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r＝F万＝man，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，an＝eq \f(GM,r2)，依题意，飞船从停泊点到完成对接属于从低轨到高轨，即轨道半径增大，可知线速度减小，周期增大，所受万有引力减小，向心加速度减小，故A、C、D错误，B正确．
2．我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉卫星发射中心成功发射．“墨子”由火箭发射至高度为500 km的预定圆形轨道．此前在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7，G7属于地球静止轨道卫星(高度约为36 000 km)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高．关于卫星以下说法中正确的是( )
A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/s
B．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方
C．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7的周期小
D．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7的小
答案 C
解析 根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，知轨道半径越大，线速度越小，北斗G7和量子科学实验卫星“墨子”的线速度均小于地球的第一宇宙速度，故A错误；北斗G7为同步卫星，只能定点于赤道正上方，故B错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，所以量子科学实验卫星“墨子”的周期小，故C正确；卫星的向心加速度a＝eq \f(GM,r2)，半径小的量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7的大，故D错误．
3.(2022·山东卷·6)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星．如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直．卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈．已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 C
解析 地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律有eq \f(GMm,R2)＝mg，可得GM＝gR2，
根据题意可知，卫星的运行周期为T′＝eq \f(T,n)，
根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，则有eq \f(GMm′,R＋h2)＝m′eq \f(4π2,T′2)(R＋h)，联立以上式子解得h＝eq \r(3,\f(gR2T2,4n2π2))－R，故选C.
4．(2022·河北卷·2)2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b,2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等．则望舒与地球公转速度大小的比值为( )
A．2eq \r(2) B．2 C.eq \r(2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 地球绕太阳公转和行星望舒绕恒星羲和公转都是由万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得公转的线速度大小为v＝eq \r(\f(GM,r))，其中中心天体的质量之比为2∶1，公转的轨道半径相等，则望舒与地球公转速度大小的比值为eq \r(2)，故选C.
5．星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝eq \r(2)v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的eq \f(1,6).不计其他星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为( )
A.eq \r(\f(gr,3)) B.eq \r(\f(gr,6)) C.eq \f(gr,3) D.eq \r(gr)
答案 A
解析 该星球的第一宇宙速度满足Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v12,r)，在该星球表面处万有引力等于重力，则有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(g,6)，由以上两式得该星球的第一宇宙速度v1＝eq \r(\f(gr,6))，则该星球的第二宇宙速度v2＝eq \r(2)×eq \r(\f(gr,6))＝eq \r(\f(gr,3))，故A正确．
6．如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星．关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是( )
A．角速度关系为ωa＝ωb>ωc
B．向心加速度的大小关系为aa>ab>ac
C．线速度的大小关系为vb>vc>va
D．周期关系为Ta＝Tb>Tc
答案 C
解析 卫星c为地球同步卫星，所以Ta＝Tc，则ωa＝ωc；对于b和c，由万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝mω2r，得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，因为rbωc＝ωa，A错误．因a、c有相同的角速度，由a＝ω2r得aaac，即ab>ac>aa，B错误．因a、c有相同的角速度，由v＝ωr可知vavc，即vb>vc>va，C正确．对b和c，由万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，因为rbTb，即Ta＝Tc>Tb，D错误．
7．(2023·辽宁省模拟)火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功地发射“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步．已知火星直径约为地球直径的一半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T，地球表面的重力加速度为g，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为( )
A.eq \f(gT,2π) B.eq \f(\r(5)gT,10π)
C.eq \f(\r(5)gT,5π) D.eq \f(2\r(5)gT,5π)
答案 B
解析 由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，得到星球的第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))，设地球的第一宇宙速度为v1，由g＝ωv1＝eq \f(2π,T)v1，得v1＝eq \f(gT,2π)，设火星的第一宇宙速度为v2，则eq \f(v2,v1)＝eq \r(\f(M2,M1))·eq \r(\f(R1,R2))，代入数据解得v2＝eq \f(\r(5),5)v1＝eq \f(\r(5)gT,10π)，B项正确．
8.(多选)地月系统是双星模型，为了寻找航天器相对地球和月球不动的位置，科学家们做出了不懈努力．如图所示，欧拉推导出L1、L2、L3三个位置，拉格朗日又推导出L4、L5两个位置．现在科学家把L1、L2、L3、L4、L5统称地月系中的拉格朗日点．中国“嫦娥四号”探测器成功登陆月球背面，并通过处于拉格朗日区的“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”把信息返回地球，引起众多师生对拉格朗日点的热议．下列说法正确的是( )
A．在拉格朗日点航天器的受力不再遵循万有引力定律
B．在不同的拉格朗日点航天器随地月系统运动的周期均相同
C．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L1点开展工程任务实验
D．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L2点开展工程任务实验
答案 BD
解析 在拉格朗日点的航天器仍然受万有引力，仍遵循万有引力定律，A错误；因在拉格朗日点的航天器相对地球和月球的位置不变，说明它们的角速度一样，因此周期也一样，B正确；“嫦娥四号”探测器登陆的是月球的背面，“鹊桥”要把探测器在月球背面采集的信息传回地球，L2在月球的背面，因此应选在L2点开展工程任务实验，C错误，D正确．
9．(2023·辽宁丹东市月考)2021年10月16日，神舟十三号载人飞船顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，假设神舟十三号载人飞船在距地面高度为h的轨道做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．神舟十三号载人飞船运行的周期为T＝2πeq \r(\f(R＋h3,gR2))
B．神舟十三号载人飞船的线速度大小为eq \r(gR＋h)
C．神舟十三号载人飞船轨道处的重力加速度为0
D．地球的平均密度为eq \f(3g,4πGR2)
答案 A
解析 根据万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(mv2,r)，Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2r,T2)，Geq \f(Mm,r2)＝man，且在地球表面满足Geq \f(Mm,R2)＝mg，即GM＝gR2，由题意知神舟十三号载人飞船轨道半径为r＝R＋h，解得周期为T＝2πeq \r(\f(R＋h3,gR2))，线速度大小为v＝eq \r(\f(gR2,R＋h))，向心加速度大小即重力加速度大小为an＝eq \f(gR2,R＋h2)，故A正确，B、C错误；根据密度公式得地球的平均密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3gR2,4πGR3)＝eq \f(3g,4πGR)，故D错误．
10．(2023·湖北省荆州中学模拟)设想在赤道上建造如图甲所示的“太空电梯”，站在太空舱里的宇航员可通过竖直的电梯缓慢直通太空站．图乙中r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为地球引力对宇航员产生的加速度大小与r的关系；直线B为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系．关于相对地面静止且在不同高度的宇航员，下列说法正确的有( )
A．随着r增大，宇航员的角速度增大
B．图中r0为地球同步卫星的轨道半径
C．宇航员在r＝R处的线速度等于第一宇宙速度
D．随着r增大，宇航员对太空舱的压力增大
答案 B
解析 宇航员站在“太空电梯”上，相对地面静止，故角速度与地球自转角速度相同，在不同高度角速度不变，故A错误；当r＝r0时，引力加速度正好等于宇航员做圆周运动的向心加速度，即万有引力提供做圆周运动的向心力，若宇航员相当于卫星，此时宇航员的角速度跟地球的自转角速度一致，可以看作是地球的同步卫星，即r0为地球同步卫星的轨道半径，故B正确；宇航员在r＝R处时在地面上，除了受到万有引力还受到地面的支持力，线速度远小于第一宇宙速度，故C错误；宇航员乘坐太空舱在“太空电梯”的某位置时，有eq \f(GMm,r2)－FN＝mω2r，其中FN为太空舱对宇航员的支持力，大小等于宇航员对太空舱的压力，则F压＝FN＝eq \f(GMm,r2)－mω2r＝ma引－ma向＝m(a引－a向)，其中a引为地球引力对宇航员产生的加速度大小，a向为地球自转而产生的向心加速度大小，由题图可知，在R≤r≤r0时，(a引－a向)随着r增大而减小，宇航员对太空舱的压力随r的增大而减小，故D错误．
11．(多选)(2022·辽宁卷·9)如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动．在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm则( )
A．水星的公转周期比金星的大
B．水星的公转向心加速度比金星的大
C．水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm
D．水星与金星的公转线速度之比为eq \r(sin αm)∶eq \r(sin βm)
答案 BC
解析 根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R＝ma，可得T＝2πeq \r(\f(R3,GM))，a＝eq \f(GM,R2)，由题图可知，水星的公转半径比金星的小，故水星的公转周期比金星的小，水星的公转向心加速度比金星的大，故A错误，B正确；设水星的公转半径为R水、地球的公转半径为R地，当α角最大时有sin αm＝eq \f(R水,R地)，同理可知有sin βm＝eq \f(R金,R地)，所以水星与金星的公转半径之比为R水∶R金＝sin αm∶sin βm，故C正确；根据Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，可得v＝eq \r(\f(GM,R))，结合前面的分析可得v水∶v金＝eq \r(sin βm)∶eq \r(sin αm)，故D错误．
12．(2023·黑龙江大庆市模拟)2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，至此北斗三号全球卫星导航系统星座部署比原计划提前半年全面完成．北斗导航卫星工作在三种不同的圆形轨道当中，包括地球静止轨道(GEO)、倾斜地球同步轨道(IGSO)以及中圆地球轨道(MEO)，如图所示．以下关于北斗导航卫星的说法中，正确的是( )
A．地球静止轨道卫星与倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大小相等
B．中圆轨道卫星的加速度小于地球静止轨道卫星的加速度
C．倾斜地球同步轨道卫星总是位于地球地面某地的正上方
D．三种不同轨道的卫星的运行速度均大于第一宇宙速度
答案 A
解析 卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力．设地球质量为M，卫星质量为m，卫星的轨道半径为r，卫星运行的速度大小为v，引力常量为G；根据万有引力定律及物体做圆周运动的规律有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，由于地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星的运行轨道半径相等，故两卫星的运行速度大小相等，A正确；根据万有引力定律及牛顿第二定律，有Geq \f(Mm,r2)＝ma，得a＝Geq \f(M,r2)，中圆轨道卫星的运行轨道半径小于地球静止轨道卫星的运行轨道半径，故中圆轨道卫星的加速度大于地球静止轨道卫星的加速度，B错误；倾斜地球同步轨道卫星的旋转方向与地球旋转方向不一致，C错误；近地卫星的运行速度为第一宇宙速度，题中三种卫星运行轨道半径均大于近地卫星，由v＝eq \r(\f(GM,r))可知，三种卫星的运行速度均小于第一宇宙速度，D错误．
13.(多选)A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示．已知地球的半径为0.8r，引力常量为G，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，不考虑A、B之间的万有引力，则下列说法正确的是( )
A．卫星A的加速度大于卫星B的加速度
B．卫星A的发射速度可能大于第二宇宙速度
C．地球的质量为eq \f(256π2r3,49GT2)
D．地球的第一宇宙速度为eq \f(8\r(5)πr,7T)
答案 ACD
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设轨道半径为r，则有Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(mv2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，故半径越小，线速度越大，因为卫星A的线速度大于卫星B的线速度，故rAaB，A正确．第二宇宙速度是卫星摆脱地球引力束缚所必须具有的速度，故卫星发射速度大于第二宇宙速度时，卫星不能绕地球做匀速圆周运动，B错误．由题图可知rA＋rB＝5r，rB－rA＝3r，联立可得rA＝r，rB＝4r，由题图可知每隔时间T两卫星距离最近，设A、B的周期分别为TA、TB，则有(eq \f(2π,TA)－eq \f(2π,TB))T＝2π，由开普勒第三定律有eq \f(rA3,TA2)＝eq \f(rB3,TB2)，联立可得TA＝eq \f(7,8)T，TB＝7T，由Geq \f(MmB,rB2)＝mBrBeq \f(4π2,TB2)，故地球质量为M＝eq \f(256π2r3,49GT2)，C正确．第一宇宙速度是最大的运行速度，由Geq \f(Mm,0.8r2)＝eq \f(mv2,0.8r)，可得v＝eq \r(\f(GM,0.8r))＝eq \f(8\r(5)πr,7T)，D正确．比较项目
近地卫星
(r1、ω1、
v1、a1)
同步卫星
(r2、ω2、
v2、a2)
赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r2>r1＝r3
角速度
ω1>ω2＝ω3
线速度
v1>v2>v3
向心加速度
a1>a2>a3
第一宇宙速度
(环绕速度)
v1＝7.9 km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度
第二宇宙速度
(逃逸速度)
v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度
v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
考点一 卫星运行参量的分析
1．基本公式
(1)线速度：由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r)).
(2)角速度：由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3)).
(3)周期：由Geq \f(Mm,r2)＝m(eq \f(2π,T))2r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM)).
(4)向心加速度：由Geq \f(Mm,r2)＝man得an＝eq \f(GM,r2).
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越高越慢．
2．“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg＝Geq \f(Mm,R2)，整理可得GM＝gR2.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM.
3．人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道．
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)同步卫星
①轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同．
②周期与地球自转周期相等，T＝24 h.
③高度固定不变，h＝3.6×107 m.
④运行速率约为v＝3.1 km/s.
(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星．
1．同一中心天体的两颗行星，公转半径越大，向心加速度越大．( × )
2．同一中心天体质量不同的两颗行星，若轨道半径相同，速率不一定相等．( × )
3．近地卫星的周期最小．( √ )
4．极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．( × )
5．不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的．( √ )
1．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.
2．同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关．
考向1 卫星运行参量与轨道半径的关系
例1 (2022·广东卷·2)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季．假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍．火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动．下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
答案 D
解析 由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可得v＝eq \r(\f(GM,r))，结合C选项解析，可知火星公转的线速度小于地球公转的线速度，故A错误；根据ω＝eq \f(2π,T)可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq \f(GM,r2)，可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确．
例2 (2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为eq \r(3)∶eq \r(2)
C．角速度大小之比为2eq \r(2)∶3eq \r(3)
D．向心加速度大小之比为9∶4
答案 C
解析 轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，则eq \f(v火,v地)＝eq \r(\f(r地,r火))＝eq \f(\r(2),\r(3))，故B错误；由万有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝mω2r，得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，则eq \f(ω火,ω地)＝eq \r(\f(r地3,r火3))＝eq \f(2\r(2),3\r(3))，故C正确；由eq \f(GMm,r2)＝ma，得a＝eq \f(GM,r2)，则eq \f(a火,a地)＝eq \f(r地2,r火2)＝eq \f(4,9)，故D错误．
考向2 同步卫星
例3 关于地球同步卫星，下列说法错误的是( )
A．它的周期与地球自转周期相同
B．它的周期、高度、速度大小都是一定的
C．我国发射的同步通信卫星可以定点在北京上空
D．我国发射的同步通信卫星必须定点在赤道上空
答案 C
解析 地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，选项A正确；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r可知，因地球同步卫星的周期一定，则高度、速度大小都是一定的，选项B正确；同步卫星必须定点在赤道上空，不可以定点在北京上空，选项C错误，D正确．
例4 利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h
答案 B
解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由几何关系可作出卫星间的位置关系如图所示．
卫星的轨道半径为r＝eq \f(R,sin 30°)＝2R
由eq \f(r13,T12)＝eq \f(r23,T22)得eq \f(6.6R3,24 h2)＝eq \f(2R3,T22)，解得T2≈4 h，故选B.
考向3 同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较
例5 (多选)如图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是( )
A.eq \f(a1,a2)＝eq \f(r,R) B.eq \f(a1,a2)＝(eq \f(R,r))2
C.eq \f(v1,v2)＝eq \f(r,R) D.eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(R,r))
答案 AD
解析 根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v12,r)，Geq \f(Mm′,R2)＝m′eq \f(v22,R)，故eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(R,r))；对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同点是角速度相等，有a1＝ω2r，a2＝ω2R，故eq \f(a1,a2)＝eq \f(r,R)，故选A、D.
例6 有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，重力加速度为g，则有( )
A．a的向心加速度大小等于重力加速度大小g
B．b在相同时间内转过的弧长最长
C．c在4 h内转过的圆心角是eq \f(π,6)
D．d的运行周期有可能是20 h
答案 B
解析 赤道上随地球自转的卫星所需的向心力大小等于万有引力的一个分力，万有引力大小近似等于重力大小，则a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，卫星的轨道半径r越大，速度v越小，所以在b、c、d中b的速度最大，又由v＝ωr知a的速度小于c的速度，故在相同时间内b转过的弧长最长，故B正确；c是地球同步卫星，周期是24 h，则c在4 h内转过的圆心角是eq \f(4 h,24 h)×2π＝eq \f(π,3)，故C错误；由开普勒第三定律可知，卫星的半径r越大，周期T越大，所以d的运动周期大于c的运动周期，即大于24 h，则不可能是20 h，故D错误．
同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3.
考点二 宇宙速度
1．地球的第一宇宙速度的大小与地球质量有关．( √ )
2．月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s.( × )
3．同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度．( √ )
4．若物体的发射速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体绕太阳运行．( √ )
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由Geq \f(m地m,R2)＝meq \f(v2,R)，得v＝eq \r(\f(Gm地,R))＝eq \r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106)) m/s≈7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝meq \f(v2,R)得
v＝eq \r(gR)＝eq \r(9.8×6.4×106) m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq \r(\f(R,g))＝2πeq \r(\f(6.4×106,9.8)) s≈5 075 s≈85 min.正是近地卫星的周期．
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
例7 (2023·湖北省联考)中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行．已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是( )
A．若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9 km/s
B．“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，小于11.2 km/s
C．火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶eq \r(5)
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
答案 C
解析 卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，可得v＝eq \r(\f(GM,R))，故v火∶v地＝1∶eq \r(5)，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要v火＝eq \f(7.9,\r(5))km/s，故A错误，C正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2 km/s，故B错误；g地＝Geq \f(M地,R地2)，g火＝Geq \f(M火,R火2)，联立可得g地>g火，故D错误．
例8 宇航员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R.求：
(1)该星球的第一宇宙速度的大小；
(2)该星球的第二宇宙速度的大小．已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能Ep＝－Geq \f(mM,r).(G为引力常量)
答案 (1)eq \r(\f(v0R,t)) (2)eq \r(\f(2v0R,t))
解析 (1)由题意可知星球表面重力加速度为g＝eq \f(v0,t)，由万有引力定律知mg＝meq \f(v12,R)
解得v1＝eq \r(gR)＝eq \r(\f(v0R,t)).
(2)由星球表面万有引力等于物体重力知eq \f(GMm,R2)＝mg，又Ep＝－Geq \f(mM,R)，解得Ep＝－eq \f(mv0R,t)，由机械能守恒定律有eq \f(1,2)mv22－eq \f(mv0R,t)＝0，解得v2＝eq \r(\f(2v0R,t)).
考点三 天体的“追及”问题
例9 如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0.某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为( )
A.eq \f(T0,2\r(k3)＋1) B.eq \f(T0,\r(k3)－1)
C.eq \f(T0,2\r(k3)－1) D.eq \f(T0,\r(k3)＋1)
答案 C
解析 由开普勒第三定律得eq \f(rA3,TA2)＝eq \f(rB3,TB2)，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈，eq \f(t,TB)－eq \f(t,TA)＝nB－nA＝eq \f(1,2)，又由A是地球同步卫星知TA＝T0，联立解得t＝eq \f(T0,2\r(k3)－1)，故选C.
天体“追及”问题的处理方法
1．相距最近：两同心转动的卫星(rA
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
答案 AD
解析 根据开普勒第三定律：半径的三次方与周期的二次方成正比，则a、b运动的周期之比为1∶8，A正确，B错误；设题图所示位置ac连线与bc连线的夹角为θ
课时精练
1.(2023·江苏海安市高三检测)神舟十三号飞船首次采用径向端口对接；飞船从空间站下方的停泊点进行俯仰调姿和滚动调姿后与天宫空间站完成对接，飞船在完成对接后与在停泊点时相比( )
A．线速度增大 B．绕行周期增大
C．所受万有引力增大 D．向心加速度增大
答案 B
解析 飞船绕地球稳定运行时，万有引力提供向心力，有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r＝F万＝man，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，T＝eq \r(\f(4π2r3,GM))，an＝eq \f(GM,r2)，依题意，飞船从停泊点到完成对接属于从低轨到高轨，即轨道半径增大，可知线速度减小，周期增大，所受万有引力减小，向心加速度减小，故A、C、D错误，B正确．
2．我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉卫星发射中心成功发射．“墨子”由火箭发射至高度为500 km的预定圆形轨道．此前在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7，G7属于地球静止轨道卫星(高度约为36 000 km)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高．关于卫星以下说法中正确的是( )
A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/s
B．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方
C．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7的周期小
D．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7的小
答案 C
解析 根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，知轨道半径越大，线速度越小，北斗G7和量子科学实验卫星“墨子”的线速度均小于地球的第一宇宙速度，故A错误；北斗G7为同步卫星，只能定点于赤道正上方，故B错误；根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，所以量子科学实验卫星“墨子”的周期小，故C正确；卫星的向心加速度a＝eq \f(GM,r2)，半径小的量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7的大，故D错误．
3.(2022·山东卷·6)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星．如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直．卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈．已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 C
解析 地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律有eq \f(GMm,R2)＝mg，可得GM＝gR2，
根据题意可知，卫星的运行周期为T′＝eq \f(T,n)，
根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，则有eq \f(GMm′,R＋h2)＝m′eq \f(4π2,T′2)(R＋h)，联立以上式子解得h＝eq \r(3,\f(gR2T2,4n2π2))－R，故选C.
4．(2022·河北卷·2)2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b,2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等．则望舒与地球公转速度大小的比值为( )
A．2eq \r(2) B．2 C.eq \r(2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 地球绕太阳公转和行星望舒绕恒星羲和公转都是由万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得公转的线速度大小为v＝eq \r(\f(GM,r))，其中中心天体的质量之比为2∶1，公转的轨道半径相等，则望舒与地球公转速度大小的比值为eq \r(2)，故选C.
5．星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝eq \r(2)v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的eq \f(1,6).不计其他星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为( )
A.eq \r(\f(gr,3)) B.eq \r(\f(gr,6)) C.eq \f(gr,3) D.eq \r(gr)
答案 A
解析 该星球的第一宇宙速度满足Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v12,r)，在该星球表面处万有引力等于重力，则有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(g,6)，由以上两式得该星球的第一宇宙速度v1＝eq \r(\f(gr,6))，则该星球的第二宇宙速度v2＝eq \r(2)×eq \r(\f(gr,6))＝eq \r(\f(gr,3))，故A正确．
6．如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星．关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是( )
A．角速度关系为ωa＝ωb>ωc
B．向心加速度的大小关系为aa>ab>ac
C．线速度的大小关系为vb>vc>va
D．周期关系为Ta＝Tb>Tc
答案 C
解析 卫星c为地球同步卫星，所以Ta＝Tc，则ωa＝ωc；对于b和c，由万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝mω2r，得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，因为rb
7．(2023·辽宁省模拟)火星是近些年来发现的最适宜人类居住生活的星球，我国成功地发射“天问一号”标志着我国成功地迈出了探测火星的第一步．已知火星直径约为地球直径的一半，火星质量约为地球质量的十分之一，航天器贴近地球表面飞行一周所用时间为T，地球表面的重力加速度为g，若未来在火星表面发射一颗人造卫星，最小发射速度约为( )
A.eq \f(gT,2π) B.eq \f(\r(5)gT,10π)
C.eq \f(\r(5)gT,5π) D.eq \f(2\r(5)gT,5π)
答案 B
解析 由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，得到星球的第一宇宙速度v＝eq \r(\f(GM,R))，设地球的第一宇宙速度为v1，由g＝ωv1＝eq \f(2π,T)v1，得v1＝eq \f(gT,2π)，设火星的第一宇宙速度为v2，则eq \f(v2,v1)＝eq \r(\f(M2,M1))·eq \r(\f(R1,R2))，代入数据解得v2＝eq \f(\r(5),5)v1＝eq \f(\r(5)gT,10π)，B项正确．
8.(多选)地月系统是双星模型，为了寻找航天器相对地球和月球不动的位置，科学家们做出了不懈努力．如图所示，欧拉推导出L1、L2、L3三个位置，拉格朗日又推导出L4、L5两个位置．现在科学家把L1、L2、L3、L4、L5统称地月系中的拉格朗日点．中国“嫦娥四号”探测器成功登陆月球背面，并通过处于拉格朗日区的“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”把信息返回地球，引起众多师生对拉格朗日点的热议．下列说法正确的是( )
A．在拉格朗日点航天器的受力不再遵循万有引力定律
B．在不同的拉格朗日点航天器随地月系统运动的周期均相同
C．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L1点开展工程任务实验
D．“嫦娥四号”中继卫星“鹊桥”应选择L2点开展工程任务实验
答案 BD
解析 在拉格朗日点的航天器仍然受万有引力，仍遵循万有引力定律，A错误；因在拉格朗日点的航天器相对地球和月球的位置不变，说明它们的角速度一样，因此周期也一样，B正确；“嫦娥四号”探测器登陆的是月球的背面，“鹊桥”要把探测器在月球背面采集的信息传回地球，L2在月球的背面，因此应选在L2点开展工程任务实验，C错误，D正确．
9．(2023·辽宁丹东市月考)2021年10月16日，神舟十三号载人飞船顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，假设神舟十三号载人飞船在距地面高度为h的轨道做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．神舟十三号载人飞船运行的周期为T＝2πeq \r(\f(R＋h3,gR2))
B．神舟十三号载人飞船的线速度大小为eq \r(gR＋h)
C．神舟十三号载人飞船轨道处的重力加速度为0
D．地球的平均密度为eq \f(3g,4πGR2)
答案 A
解析 根据万有引力提供向心力，可得Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(mv2,r)，Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2r,T2)，Geq \f(Mm,r2)＝man，且在地球表面满足Geq \f(Mm,R2)＝mg，即GM＝gR2，由题意知神舟十三号载人飞船轨道半径为r＝R＋h，解得周期为T＝2πeq \r(\f(R＋h3,gR2))，线速度大小为v＝eq \r(\f(gR2,R＋h))，向心加速度大小即重力加速度大小为an＝eq \f(gR2,R＋h2)，故A正确，B、C错误；根据密度公式得地球的平均密度为ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3gR2,4πGR3)＝eq \f(3g,4πGR)，故D错误．
10．(2023·湖北省荆州中学模拟)设想在赤道上建造如图甲所示的“太空电梯”，站在太空舱里的宇航员可通过竖直的电梯缓慢直通太空站．图乙中r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，曲线A为地球引力对宇航员产生的加速度大小与r的关系；直线B为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与r的关系．关于相对地面静止且在不同高度的宇航员，下列说法正确的有( )
A．随着r增大，宇航员的角速度增大
B．图中r0为地球同步卫星的轨道半径
C．宇航员在r＝R处的线速度等于第一宇宙速度
D．随着r增大，宇航员对太空舱的压力增大
答案 B
解析 宇航员站在“太空电梯”上，相对地面静止，故角速度与地球自转角速度相同，在不同高度角速度不变，故A错误；当r＝r0时，引力加速度正好等于宇航员做圆周运动的向心加速度，即万有引力提供做圆周运动的向心力，若宇航员相当于卫星，此时宇航员的角速度跟地球的自转角速度一致，可以看作是地球的同步卫星，即r0为地球同步卫星的轨道半径，故B正确；宇航员在r＝R处时在地面上，除了受到万有引力还受到地面的支持力，线速度远小于第一宇宙速度，故C错误；宇航员乘坐太空舱在“太空电梯”的某位置时，有eq \f(GMm,r2)－FN＝mω2r，其中FN为太空舱对宇航员的支持力，大小等于宇航员对太空舱的压力，则F压＝FN＝eq \f(GMm,r2)－mω2r＝ma引－ma向＝m(a引－a向)，其中a引为地球引力对宇航员产生的加速度大小，a向为地球自转而产生的向心加速度大小，由题图可知，在R≤r≤r0时，(a引－a向)随着r增大而减小，宇航员对太空舱的压力随r的增大而减小，故D错误．
11．(多选)(2022·辽宁卷·9)如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动．在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm则( )
A．水星的公转周期比金星的大
B．水星的公转向心加速度比金星的大
C．水星与金星的公转轨道半径之比为sin αm∶sin βm
D．水星与金星的公转线速度之比为eq \r(sin αm)∶eq \r(sin βm)
答案 BC
解析 根据万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2,T2)R＝ma，可得T＝2πeq \r(\f(R3,GM))，a＝eq \f(GM,R2)，由题图可知，水星的公转半径比金星的小，故水星的公转周期比金星的小，水星的公转向心加速度比金星的大，故A错误，B正确；设水星的公转半径为R水、地球的公转半径为R地，当α角最大时有sin αm＝eq \f(R水,R地)，同理可知有sin βm＝eq \f(R金,R地)，所以水星与金星的公转半径之比为R水∶R金＝sin αm∶sin βm，故C正确；根据Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，可得v＝eq \r(\f(GM,R))，结合前面的分析可得v水∶v金＝eq \r(sin βm)∶eq \r(sin αm)，故D错误．
12．(2023·黑龙江大庆市模拟)2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，至此北斗三号全球卫星导航系统星座部署比原计划提前半年全面完成．北斗导航卫星工作在三种不同的圆形轨道当中，包括地球静止轨道(GEO)、倾斜地球同步轨道(IGSO)以及中圆地球轨道(MEO)，如图所示．以下关于北斗导航卫星的说法中，正确的是( )
A．地球静止轨道卫星与倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大小相等
B．中圆轨道卫星的加速度小于地球静止轨道卫星的加速度
C．倾斜地球同步轨道卫星总是位于地球地面某地的正上方
D．三种不同轨道的卫星的运行速度均大于第一宇宙速度
答案 A
解析 卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力．设地球质量为M，卫星质量为m，卫星的轨道半径为r，卫星运行的速度大小为v，引力常量为G；根据万有引力定律及物体做圆周运动的规律有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，由于地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星的运行轨道半径相等，故两卫星的运行速度大小相等，A正确；根据万有引力定律及牛顿第二定律，有Geq \f(Mm,r2)＝ma，得a＝Geq \f(M,r2)，中圆轨道卫星的运行轨道半径小于地球静止轨道卫星的运行轨道半径，故中圆轨道卫星的加速度大于地球静止轨道卫星的加速度，B错误；倾斜地球同步轨道卫星的旋转方向与地球旋转方向不一致，C错误；近地卫星的运行速度为第一宇宙速度，题中三种卫星运行轨道半径均大于近地卫星，由v＝eq \r(\f(GM,r))可知，三种卫星的运行速度均小于第一宇宙速度，D错误．
13.(多选)A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示．已知地球的半径为0.8r，引力常量为G，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，不考虑A、B之间的万有引力，则下列说法正确的是( )
A．卫星A的加速度大于卫星B的加速度
B．卫星A的发射速度可能大于第二宇宙速度
C．地球的质量为eq \f(256π2r3,49GT2)
D．地球的第一宇宙速度为eq \f(8\r(5)πr,7T)
答案 ACD
解析 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设轨道半径为r，则有Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(mv2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，故半径越小，线速度越大，因为卫星A的线速度大于卫星B的线速度，故rA
近地卫星
(r1、ω1、
v1、a1)
同步卫星
(r2、ω2、
v2、a2)
赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r2>r1＝r3
角速度
ω1>ω2＝ω3
线速度
v1>v2>v3
向心加速度
a1>a2>a3
第一宇宙速度
(环绕速度)
v1＝7.9 km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度
第二宇宙速度
(逃逸速度)
v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度
v3＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
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