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新高考物理一轮复习讲义 第2章 专题强化3 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题（2份打包，原卷版+教师版）
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题型一 动态平衡问题
1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态．
2．做题流程
eq \a(受力,分析)eq \(――――――――→,\s\up7(化“动”为“静”))eq \a\al(画不同状态下的平衡,图构造矢量三角形)eq \(――――――――→,\s\up7(“静”中求“动”))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(――――→,\s\up7(定性分析))根据矢量三角形边长关系确定矢量的大小变化,\(――――→,\s\up7(定量计算))\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(三角函数关系,正弦定理,相似三角形))→找关系求极值))
3．常用方法
(1)图解法
此法常用于定性分析三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况．
(2)解析法
对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程或根据相似三角形、正弦定理，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化．
考向1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示．
2．一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示．
例1 (多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A物体的半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态．设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是( )
A．F1减小 B．F1增大
C．F2增大 D．F2减小
答案 AD
解析 以球B为研究对象，受力分析如图所示，可得出F1＝Gtan θ，F2＝eq \f(G,cs θ)，当A向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小，故A、D正确．
例2 (多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
答案 BC
解析 对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2，如图，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C正确，A、D错误．
考向2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
1.一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等．
基本矢量图，如图所示
基本关系式：eq \f(mg,H)＝eq \f(FN,R)＝eq \f(FT,L)
例3 (2023·宁夏银川一中检测)如图所示，质量分布均匀的细棒中心为O点，O1为光滑铰链，O2为光滑定滑轮，且O2在O1正上方，细绳跨过O2与O连接，水平外力F作用于细绳的一端．用FN表示铰链对杆的作用力，现在水平外力F作用下，θ从eq \f(π,2)缓慢减小到0的过程中，下列说法正确的是( )
A．F逐渐变小，FN大小不变
B．F逐渐变小，FN逐渐变大
C．F先变小再变大，FN逐渐变小
D．F先变小再变大，FN逐渐变大
答案 A
解析 受力分析如图所示，力三角形与几何三角形(△O2OO1)相似，则有eq \f(G,O2O1)＝eq \f(FN,OO1)＝eq \f(F,OO2)，因为O2O1、OO1长度不变，故FN大小不变，OO2长度变短，故F变小，故A正确，B、C、D错误．
2．一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化．
基本矢量图，如图所示
例4 (多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞eq \f(π,2))．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
答案 AD
解析 以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误．
一力恒定，另外两力方向均变化时常采用的方法有相似三角形、正弦定理或利用两力夹角不变作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化．
考向3 “活结”的动态分析
如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，FTsin θ1＝FTsin θ2，故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系可知，sin θ＝eq \f(d,L1＋L2)＝eq \f(d,L)，若两杆间距离d不变，则上下移动绳子结点，θ不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2FTcs θ＝mg，FT＝eq \f(mg,2cs θ)也减小．
例5 如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)．则在此过程中绳中拉力( )
A．先变大后不变 B．先变大后变小
C．先变小后不变 D．先变小后变大
答案 A
解析 对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F1＝F2，由几何关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为θ，可知
F1＝F2＝eq \f(mg,2cs θ)①
如图乙所示，设绳长为L，由几何关系得sin θ＝eq \f(d,L)②
其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此θ先变大后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确．
题型二 平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
例6 如图所示，物体的质量为m＝5 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(g取10 m/s2)
答案 eq \f(50\r(3),3) N≤F≤eq \f(100,3) eq \r(3) N
解析 设AB绳的拉力为F1，AC绳的拉力为F2，对物体受力分析，由平衡条件有
Fcs θ－F2－F1cs θ＝0，
Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0，
可得F＝eq \f(mg,sin θ)－F1，F＝eq \f(F2,2cs θ)＋eq \f(mg,2sin θ).
若要使两绳都能伸直，则有F1≥0，F2≥0，
则F的最大值Fmax＝eq \f(mg,sin θ)＝eq \f(100,3)eq \r(3) N，
F的最小值Fmin＝eq \f(mg,2sin θ)＝eq \f(50,3)eq \r(3) N，
即拉力F的大小范围为eq \f(50\r(3),3) N≤F≤eq \f(100,3)eq \r(3) N.
例7 如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动．已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2.求所需拉力F的最小值．
答案 2eq \r(26) N
解析 设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcs θ＝μ(mg－Fsin θ)，整理得cs θ＋μsin θ＝eq \f(μmg,F)，eq \r(1＋μ2)sin(α＋θ)＝eq \f(μmg,F)(其中sin α＝eq \f(1,\r(1＋μ2)))，当θ＝eq \f(π,2)－α时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin＝eq \f(μmg,\r(1＋μ2))＝2eq \r(26) N.
课时精练
1.如图所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有一光滑小金属环．现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对M、N两点的拉力F1、F2的变化情况，下列判断正确的是( )
A．F1和F2都变大 B．F1变大，F2变小
C．F1和F2都变小 D．F1变小，F2变大
答案 C
解析 由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力大小相等．木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度后，绳子之间的夹角变小，绳对小金属环的合力大小等于小金属环的重力大小，保持不变，所以绳子上的拉力变小，选项C正确，A、B、D错误．
2.(2023·山东烟台市高三模拟)如图所示，用一个质量不计的网兜把足球挂在光滑竖直墙壁上的A点，足球与墙壁的接触点为B.若只增大悬绳的长度，足球始终保持静止状态，关于悬绳对球的拉力F和墙壁对球的支持力FN，下列说法正确的是( )
A．F和FN都增大 B．F增大，FN减小
C．F减小，FN增大 D．F和FN的合力不变
答案 D
解析 对球受力分析，由平衡条件得悬绳对球的拉力满足Fcs θ＝mg，墙壁对球的支持力满足tan θ＝eq \f(FN,mg)，所以当增大悬绳的长度时，夹角θ减小，则由几何关系知cs θ增大，tan θ减小，所以F和FN都减小，故A、B、C错误；因为足球始终保持静止状态，所以F和FN的合力始终与mg等大反向，故D正确．
3.如图所示，轻绳PQ能承受的最大张力为80 N，现用它悬挂一质量为4 kg的物体，然后在轻绳的中点O施加一水平向左的力F，使中点O缓慢向左移动，已知重力加速度g＝10 m/s2，则当轻绳断裂瞬间，绳的PO段与竖直方向的夹角为( )
A．30° B．45°
C．53° D．60°
答案 D
解析 设当轻绳断裂瞬间，绳的PO段与竖直方向的夹角为θ，由平衡条件可得cs θ＝eq \f(mg,FTm)＝eq \f(40 N,80 N)＝eq \f(1,2)，解得θ＝60°，D正确．
4.(2023·广东汕尾市高三月考)新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%棉田都是通过机械自动化采收，自动采棉机能够在采摘棉花的同时将棉花打包成圆柱形棉包，通过采棉机后侧可以旋转的支架平稳将其放下，放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在“V”型挡板上，两板间夹角为120°固定不变，“V”型挡板可绕P轴在竖直面内转动．初始时BP板水平，在使BP板逆时针缓慢转动60°的过程中，忽略“V”型挡板对棉包的摩擦力，下列说法正确的是( )
A．BP板水平时，棉包受到两个力的作用
B．当BP板转过60°，AP板水平时，棉包受到三个力的作用
C．当BP板转过30°时，棉包对AP板和BP板的作用力大小不相等
D．在转动过程中棉包对BP板的压力不变
答案 A
解析 BP板水平时或AP板水平时棉包都只受到重力和支持力两个力作用，故A正确，B错误；当BP板转过30°时，两板与水平方向夹角相等，由对称性知，棉包对AP板和BP板的作用力大小相等，故C错误；在转动过程中棉包对BP板的压力减小，故D错误．
5.(多选)(2023·湖南岳阳市十四中高三检测)如图所示，水平面和竖直面构成的垂直墙角处有一个截面为半圆的光滑柱体，用细线拉住的小球静止靠在半圆柱体的P点(P点靠近底端)．通过细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点，细线方向始终保持与半圆相切．此过程中( )
A．细线对小球的拉力逐渐减小
B．圆柱体对小球的支持力逐渐减小
C．水平地面对圆柱体的支持力逐渐减小
D．圆柱体对竖直墙面的压力先增大后减小
答案 AD
解析 对小球进行受力分析，如图所示
根据平衡条件有FN1＝mgcs θ，FT＝mgsin θ，当细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点过程中，θ逐渐减小，则细线对小球的拉力FT逐渐减小，圆柱体对小球的支持力FN1逐渐增大，A正确，B错误；
对圆柱体与小球整体分析，如图所示，根据平衡条件有FN3＝FTcs θ＝eq \f(1,2)mgsin 2θ，FTsin θ＋FN2＝(M＋m)g，当细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点过程中，θ在0～eq \f(π,2)范围内变化，θ逐渐减小，故FN2逐渐增大，FN3先增大后减小，C错误、D正确．
6.(2023·宁夏六盘山高级中学模拟)如图所示，某健身者右手拉着抓把沿图示位置B水平缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中( )
A．绳子的拉力逐渐增大
B．该健身者所受合力逐渐减小
C．该健身者对地面的压力逐渐减小
D．该健身者对地面的摩擦力逐渐增大
答案 D
解析 由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合力等于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力mg，A、B错误；对健身者受力分析，如图所示，由平衡条件可知，在竖直方向，则有FTsin θ＋FN＝Mg，又有FT＝mg，可得FN＝Mg－mgsin θ，在水平方向，则有FTcs θ＝Ff，当从B水平缓慢移到A时，θ角逐渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C错误，D正确．
7.(2023·云南昆明市检测)如图所示，两质量均为m的小球a、b(均可看成质点)固定在轻杆两端，用两条与轻杆等长的细线悬挂在O点，整个系统静止时，细线和轻杆构成正三角形，用力F缓慢拉动小球b，保持两细线绷紧，最终使连接a球的细线竖直，重力加速度大小为g，则连接a球的细线竖直时，力F的最小值是( )
A.eq \f(1,2)mg B.eq \f(\r(3),2)mg
C．mg D.eq \r(3)mg
答案 B
解析 末状态时，左边小球a在最低点，细线Oa处于竖直方向，小球a处于平衡状态，合外力沿水平方向的分量为零，则此时轻杆上的弹力为零，故右侧小球b受到重力、细线Ob的拉力和力F作用处于平衡状态，如图所示，由几何关系可知，当拉力F方向与Ob垂直时拉力F最小，可得最小拉力Fmin＝mgsin 60°＝eq \f(\r(3),2)mg，选项B正确，A、C、D错误．
8.如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上．开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)．在此过程中，杆BC所产生的弹力( )
A．大小不变 B．逐渐增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
答案 A
解析 以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反．
根据三角形相似得eq \f(F合,AC)＝eq \f(F,AB)＝eq \f(FN,BC)，又F合＝G，
得F＝eq \f(AB,AC) G，FN＝eq \f(BC,AC) G
∠BCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC不变，则F变小，FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A.
9.(2023·河北邯郸市模拟)如图所示，置于水平地面的木板上安装有竖直杆，在杆上A、B两点间安装长为2d的轻绳，两竖直杆间距为d.A、B两点间的高度差为eq \f(d,2)，现有带光滑轻质钩子、质量为m的物体钩住轻绳且处于平衡状态，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．开始平衡时轻绳的张力大小为mg
B．开始平衡时轻绳的张力大小为eq \f(\r(3)mg,3)
C．若将绳子的A端沿竖直杆上移，绳子拉力将变大
D．若将木板绕水平轴CD缓慢向纸面外旋转，轻绳的张力先增大后减小
答案 B
解析 设结点左侧绳长为l1，结点右侧绳长为l2，有l1cs θ1＋l2cs θ2＝d，由水平方向受力平衡，有FTcs θ1＝FTcs θ2，有cs θ1＝cs θ2＝eq \f(d,2d)＝eq \f(1,2)，竖直方向受力平衡，有2FTsin θ1＝mg，解得FT＝eq \f(\r(3)mg,3)，A错误，B正确；将绳子的A端沿竖直杆上移或将木板绕水平轴CD缓慢向纸面外旋转，由A、B中分析可知，由于A、B两点的水平间距不变，左右两部分与水平方向夹角不变，所以绳子拉力大小不变，C、D错误．
10.(2023·河北唐山市模拟)北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示．若支撑点距水平地面的高度为eq \r(3) m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),3)，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端不发生侧滑，则木棍的长度最大为( )
A．1.5 m B.eq \r(3) m
C．2 m D．2eq \r(3) m
答案 C
解析 设木棍与水平方向夹角为θ，木棍长度为L，粮仓对木棍的作用力大小为F，则为使木棍下端一定不发生侧滑，由平衡条件有Fcs θ≤μFsin θ，由几何知识有tan θ＝eq \f(h,\r(L2－h2))，两式联立解得L≤2 m，即木棍的长度最大为2 m，故A、B、D错误，C正确．
11.(多选)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂质量为m的物块A，另一端系一位于固定光滑斜面上且质量为2m的物块B，斜面倾角θ＝45°，外力F沿斜面向上拉物块B，使物块B由滑轮正下方位置缓慢运动到和滑轮等高的位置，则( )
A．细绳OO′的拉力先减小后增大
B．细绳对物块B的拉力大小不变
C．斜面对物块B的支持力先减小后增大
D．外力F逐渐变大
答案 BCD
解析 由题可知，物块缓慢移动，整体处于动态平衡状态，则绳OO′的拉力大小等于下面绳对A的拉力和绳对B的拉力的合力大小，由于绳对A的拉力和绳对B的拉力大小相等，都等于A物块的重力的大小，但是由于B物块上移，导致二者之间的夹角变大，则根据平行四边形定则可知合力变小，即绳OO′的拉力逐渐减小，故A错误，B正确；对物块B受力分析如图所示，当物块B上移时，α先减小后增大，在垂直斜面方向根据平衡条件可知，斜面对物块B的支持力先减小后增大，在沿斜面方向根据平衡条件可知，外力F逐渐变大，故C、D正确．
12．(2020·山东卷·8)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行．A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,6)
答案 C
解析 A、B刚要滑动时受力平衡，受力如图所示．
对A：FT＝mgsin 45°＋μmgcs 45°
对B：2mgsin 45°＝FT＋3μmgcs 45°＋μmgcs 45°
整理得，μ＝eq \f(1,5)，选项C正确．
13.(多选)如图，倾角为30°的斜面体放置于粗糙水平地面上，物块A通过跨过光滑定滑轮的柔软轻绳与小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点．初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹角θ＝120°，整个系统处于静止状态．现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角θ不变，从初始到轻绳OB段水平的过程中，斜面体与物块A均保持静止不动，则在此过程中( )
A．拉力F逐渐增大
B．轻绳上的张力先增大后减小
C．地面对斜面体的支持力逐渐增大
D．地面对斜面体的摩擦力先增大后减小
答案 AD
解析 小球B受重力mg、轻绳OB的拉力FT和拉力F，由题意可知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，在FT转至水平的过程中，轻绳OB的拉力FT逐渐减小，拉力F逐渐增大，故选项A正确，B错误；整体(含斜面体，物块A和小球B)受向下的重力、向上的支持力、向左的摩擦力以及拉力四个力的作用，根据对小球的受力分析可知，拉力F的竖直方向分力逐渐增大，水平方向分力先增大后减小，所以地面对斜面体的支持力逐渐减小，地面对斜面体的摩擦力先增大后减小，故选项C错误，D正确．
题型一 动态平衡问题
1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态．
2．做题流程
eq \a(受力,分析)eq \(――――――――→,\s\up7(化“动”为“静”))eq \a\al(画不同状态下的平衡,图构造矢量三角形)eq \(――――――――→,\s\up7(“静”中求“动”))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(――――→,\s\up7(定性分析))根据矢量三角形边长关系确定矢量的大小变化,\(――――→,\s\up7(定量计算))\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(三角函数关系,正弦定理,相似三角形))→找关系求极值))
3．常用方法
(1)图解法
此法常用于定性分析三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况．
(2)解析法
对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程或根据相似三角形、正弦定理，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化．
考向1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示．
2．一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示．
例1 (多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A物体的半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态．设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是( )
A．F1减小 B．F1增大
C．F2增大 D．F2减小
答案 AD
解析 以球B为研究对象，受力分析如图所示，可得出F1＝Gtan θ，F2＝eq \f(G,cs θ)，当A向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小，故A、D正确．
例2 (多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
答案 BC
解析 对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2，如图，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C正确，A、D错误．
考向2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
1.一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等．
基本矢量图，如图所示
基本关系式：eq \f(mg,H)＝eq \f(FN,R)＝eq \f(FT,L)
例3 (2023·宁夏银川一中检测)如图所示，质量分布均匀的细棒中心为O点，O1为光滑铰链，O2为光滑定滑轮，且O2在O1正上方，细绳跨过O2与O连接，水平外力F作用于细绳的一端．用FN表示铰链对杆的作用力，现在水平外力F作用下，θ从eq \f(π,2)缓慢减小到0的过程中，下列说法正确的是( )
A．F逐渐变小，FN大小不变
B．F逐渐变小，FN逐渐变大
C．F先变小再变大，FN逐渐变小
D．F先变小再变大，FN逐渐变大
答案 A
解析 受力分析如图所示，力三角形与几何三角形(△O2OO1)相似，则有eq \f(G,O2O1)＝eq \f(FN,OO1)＝eq \f(F,OO2)，因为O2O1、OO1长度不变，故FN大小不变，OO2长度变短，故F变小，故A正确，B、C、D错误．
2．一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化．
基本矢量图，如图所示
例4 (多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞eq \f(π,2))．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
答案 AD
解析 以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误．
一力恒定，另外两力方向均变化时常采用的方法有相似三角形、正弦定理或利用两力夹角不变作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化．
考向3 “活结”的动态分析
如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，FTsin θ1＝FTsin θ2，故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系可知，sin θ＝eq \f(d,L1＋L2)＝eq \f(d,L)，若两杆间距离d不变，则上下移动绳子结点，θ不变，若两杆距离d减小，则θ减小，2FTcs θ＝mg，FT＝eq \f(mg,2cs θ)也减小．
例5 如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)．则在此过程中绳中拉力( )
A．先变大后不变 B．先变大后变小
C．先变小后不变 D．先变小后变大
答案 A
解析 对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F1＝F2，由几何关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为θ，可知
F1＝F2＝eq \f(mg,2cs θ)①
如图乙所示，设绳长为L，由几何关系得sin θ＝eq \f(d,L)②
其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此θ先变大后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确．
题型二 平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．
例6 如图所示，物体的质量为m＝5 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(g取10 m/s2)
答案 eq \f(50\r(3),3) N≤F≤eq \f(100,3) eq \r(3) N
解析 设AB绳的拉力为F1，AC绳的拉力为F2，对物体受力分析，由平衡条件有
Fcs θ－F2－F1cs θ＝0，
Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0，
可得F＝eq \f(mg,sin θ)－F1，F＝eq \f(F2,2cs θ)＋eq \f(mg,2sin θ).
若要使两绳都能伸直，则有F1≥0，F2≥0，
则F的最大值Fmax＝eq \f(mg,sin θ)＝eq \f(100,3)eq \r(3) N，
F的最小值Fmin＝eq \f(mg,2sin θ)＝eq \f(50,3)eq \r(3) N，
即拉力F的大小范围为eq \f(50\r(3),3) N≤F≤eq \f(100,3)eq \r(3) N.
例7 如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动．已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2.求所需拉力F的最小值．
答案 2eq \r(26) N
解析 设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcs θ＝μ(mg－Fsin θ)，整理得cs θ＋μsin θ＝eq \f(μmg,F)，eq \r(1＋μ2)sin(α＋θ)＝eq \f(μmg,F)(其中sin α＝eq \f(1,\r(1＋μ2)))，当θ＝eq \f(π,2)－α时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin＝eq \f(μmg,\r(1＋μ2))＝2eq \r(26) N.
课时精练
1.如图所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有一光滑小金属环．现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对M、N两点的拉力F1、F2的变化情况，下列判断正确的是( )
A．F1和F2都变大 B．F1变大，F2变小
C．F1和F2都变小 D．F1变小，F2变大
答案 C
解析 由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力大小相等．木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度后，绳子之间的夹角变小，绳对小金属环的合力大小等于小金属环的重力大小，保持不变，所以绳子上的拉力变小，选项C正确，A、B、D错误．
2.(2023·山东烟台市高三模拟)如图所示，用一个质量不计的网兜把足球挂在光滑竖直墙壁上的A点，足球与墙壁的接触点为B.若只增大悬绳的长度，足球始终保持静止状态，关于悬绳对球的拉力F和墙壁对球的支持力FN，下列说法正确的是( )
A．F和FN都增大 B．F增大，FN减小
C．F减小，FN增大 D．F和FN的合力不变
答案 D
解析 对球受力分析，由平衡条件得悬绳对球的拉力满足Fcs θ＝mg，墙壁对球的支持力满足tan θ＝eq \f(FN,mg)，所以当增大悬绳的长度时，夹角θ减小，则由几何关系知cs θ增大，tan θ减小，所以F和FN都减小，故A、B、C错误；因为足球始终保持静止状态，所以F和FN的合力始终与mg等大反向，故D正确．
3.如图所示，轻绳PQ能承受的最大张力为80 N，现用它悬挂一质量为4 kg的物体，然后在轻绳的中点O施加一水平向左的力F，使中点O缓慢向左移动，已知重力加速度g＝10 m/s2，则当轻绳断裂瞬间，绳的PO段与竖直方向的夹角为( )
A．30° B．45°
C．53° D．60°
答案 D
解析 设当轻绳断裂瞬间，绳的PO段与竖直方向的夹角为θ，由平衡条件可得cs θ＝eq \f(mg,FTm)＝eq \f(40 N,80 N)＝eq \f(1,2)，解得θ＝60°，D正确．
4.(2023·广东汕尾市高三月考)新疆是我国最大的产棉区，在新疆超出70%棉田都是通过机械自动化采收，自动采棉机能够在采摘棉花的同时将棉花打包成圆柱形棉包，通过采棉机后侧可以旋转的支架平稳将其放下，放下棉包的过程可以简化为如图所示模型，质量为m的棉包放在“V”型挡板上，两板间夹角为120°固定不变，“V”型挡板可绕P轴在竖直面内转动．初始时BP板水平，在使BP板逆时针缓慢转动60°的过程中，忽略“V”型挡板对棉包的摩擦力，下列说法正确的是( )
A．BP板水平时，棉包受到两个力的作用
B．当BP板转过60°，AP板水平时，棉包受到三个力的作用
C．当BP板转过30°时，棉包对AP板和BP板的作用力大小不相等
D．在转动过程中棉包对BP板的压力不变
答案 A
解析 BP板水平时或AP板水平时棉包都只受到重力和支持力两个力作用，故A正确，B错误；当BP板转过30°时，两板与水平方向夹角相等，由对称性知，棉包对AP板和BP板的作用力大小相等，故C错误；在转动过程中棉包对BP板的压力减小，故D错误．
5.(多选)(2023·湖南岳阳市十四中高三检测)如图所示，水平面和竖直面构成的垂直墙角处有一个截面为半圆的光滑柱体，用细线拉住的小球静止靠在半圆柱体的P点(P点靠近底端)．通过细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点，细线方向始终保持与半圆相切．此过程中( )
A．细线对小球的拉力逐渐减小
B．圆柱体对小球的支持力逐渐减小
C．水平地面对圆柱体的支持力逐渐减小
D．圆柱体对竖直墙面的压力先增大后减小
答案 AD
解析 对小球进行受力分析，如图所示
根据平衡条件有FN1＝mgcs θ，FT＝mgsin θ，当细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点过程中，θ逐渐减小，则细线对小球的拉力FT逐渐减小，圆柱体对小球的支持力FN1逐渐增大，A正确，B错误；
对圆柱体与小球整体分析，如图所示，根据平衡条件有FN3＝FTcs θ＝eq \f(1,2)mgsin 2θ，FTsin θ＋FN2＝(M＋m)g，当细线将小球从P点缓慢向上拉至半圆柱体的最高点过程中，θ在0～eq \f(π,2)范围内变化，θ逐渐减小，故FN2逐渐增大，FN3先增大后减小，C错误、D正确．
6.(2023·宁夏六盘山高级中学模拟)如图所示，某健身者右手拉着抓把沿图示位置B水平缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中( )
A．绳子的拉力逐渐增大
B．该健身者所受合力逐渐减小
C．该健身者对地面的压力逐渐减小
D．该健身者对地面的摩擦力逐渐增大
答案 D
解析 由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合力等于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力mg，A、B错误；对健身者受力分析，如图所示，由平衡条件可知，在竖直方向，则有FTsin θ＋FN＝Mg，又有FT＝mg，可得FN＝Mg－mgsin θ，在水平方向，则有FTcs θ＝Ff，当从B水平缓慢移到A时，θ角逐渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C错误，D正确．
7.(2023·云南昆明市检测)如图所示，两质量均为m的小球a、b(均可看成质点)固定在轻杆两端，用两条与轻杆等长的细线悬挂在O点，整个系统静止时，细线和轻杆构成正三角形，用力F缓慢拉动小球b，保持两细线绷紧，最终使连接a球的细线竖直，重力加速度大小为g，则连接a球的细线竖直时，力F的最小值是( )
A.eq \f(1,2)mg B.eq \f(\r(3),2)mg
C．mg D.eq \r(3)mg
答案 B
解析 末状态时，左边小球a在最低点，细线Oa处于竖直方向，小球a处于平衡状态，合外力沿水平方向的分量为零，则此时轻杆上的弹力为零，故右侧小球b受到重力、细线Ob的拉力和力F作用处于平衡状态，如图所示，由几何关系可知，当拉力F方向与Ob垂直时拉力F最小，可得最小拉力Fmin＝mgsin 60°＝eq \f(\r(3),2)mg，选项B正确，A、C、D错误．
8.如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上．开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)．在此过程中，杆BC所产生的弹力( )
A．大小不变 B．逐渐增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
答案 A
解析 以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反．
根据三角形相似得eq \f(F合,AC)＝eq \f(F,AB)＝eq \f(FN,BC)，又F合＝G，
得F＝eq \f(AB,AC) G，FN＝eq \f(BC,AC) G
∠BCA缓慢变小的过程中，AB变小，而AC、BC不变，则F变小，FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A.
9.(2023·河北邯郸市模拟)如图所示，置于水平地面的木板上安装有竖直杆，在杆上A、B两点间安装长为2d的轻绳，两竖直杆间距为d.A、B两点间的高度差为eq \f(d,2)，现有带光滑轻质钩子、质量为m的物体钩住轻绳且处于平衡状态，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．开始平衡时轻绳的张力大小为mg
B．开始平衡时轻绳的张力大小为eq \f(\r(3)mg,3)
C．若将绳子的A端沿竖直杆上移，绳子拉力将变大
D．若将木板绕水平轴CD缓慢向纸面外旋转，轻绳的张力先增大后减小
答案 B
解析 设结点左侧绳长为l1，结点右侧绳长为l2，有l1cs θ1＋l2cs θ2＝d，由水平方向受力平衡，有FTcs θ1＝FTcs θ2，有cs θ1＝cs θ2＝eq \f(d,2d)＝eq \f(1,2)，竖直方向受力平衡，有2FTsin θ1＝mg，解得FT＝eq \f(\r(3)mg,3)，A错误，B正确；将绳子的A端沿竖直杆上移或将木板绕水平轴CD缓慢向纸面外旋转，由A、B中分析可知，由于A、B两点的水平间距不变，左右两部分与水平方向夹角不变，所以绳子拉力大小不变，C、D错误．
10.(2023·河北唐山市模拟)北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，某粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示．若支撑点距水平地面的高度为eq \r(3) m，木棍与水平地面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),3)，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，为使木棍下端不发生侧滑，则木棍的长度最大为( )
A．1.5 m B.eq \r(3) m
C．2 m D．2eq \r(3) m
答案 C
解析 设木棍与水平方向夹角为θ，木棍长度为L，粮仓对木棍的作用力大小为F，则为使木棍下端一定不发生侧滑，由平衡条件有Fcs θ≤μFsin θ，由几何知识有tan θ＝eq \f(h,\r(L2－h2))，两式联立解得L≤2 m，即木棍的长度最大为2 m，故A、B、D错误，C正确．
11.(多选)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂质量为m的物块A，另一端系一位于固定光滑斜面上且质量为2m的物块B，斜面倾角θ＝45°，外力F沿斜面向上拉物块B，使物块B由滑轮正下方位置缓慢运动到和滑轮等高的位置，则( )
A．细绳OO′的拉力先减小后增大
B．细绳对物块B的拉力大小不变
C．斜面对物块B的支持力先减小后增大
D．外力F逐渐变大
答案 BCD
解析 由题可知，物块缓慢移动，整体处于动态平衡状态，则绳OO′的拉力大小等于下面绳对A的拉力和绳对B的拉力的合力大小，由于绳对A的拉力和绳对B的拉力大小相等，都等于A物块的重力的大小，但是由于B物块上移，导致二者之间的夹角变大，则根据平行四边形定则可知合力变小，即绳OO′的拉力逐渐减小，故A错误，B正确；对物块B受力分析如图所示，当物块B上移时，α先减小后增大，在垂直斜面方向根据平衡条件可知，斜面对物块B的支持力先减小后增大，在沿斜面方向根据平衡条件可知，外力F逐渐变大，故C、D正确．
12．(2020·山东卷·8)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行．A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,6)
答案 C
解析 A、B刚要滑动时受力平衡，受力如图所示．
对A：FT＝mgsin 45°＋μmgcs 45°
对B：2mgsin 45°＝FT＋3μmgcs 45°＋μmgcs 45°
整理得，μ＝eq \f(1,5)，选项C正确．
13.(多选)如图，倾角为30°的斜面体放置于粗糙水平地面上，物块A通过跨过光滑定滑轮的柔软轻绳与小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点．初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹角θ＝120°，整个系统处于静止状态．现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角θ不变，从初始到轻绳OB段水平的过程中，斜面体与物块A均保持静止不动，则在此过程中( )
A．拉力F逐渐增大
B．轻绳上的张力先增大后减小
C．地面对斜面体的支持力逐渐增大
D．地面对斜面体的摩擦力先增大后减小
答案 AD
解析 小球B受重力mg、轻绳OB的拉力FT和拉力F，由题意可知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，在FT转至水平的过程中，轻绳OB的拉力FT逐渐减小，拉力F逐渐增大，故选项A正确，B错误；整体(含斜面体，物块A和小球B)受向下的重力、向上的支持力、向左的摩擦力以及拉力四个力的作用，根据对小球的受力分析可知，拉力F的竖直方向分力逐渐增大，水平方向分力先增大后减小，所以地面对斜面体的支持力逐渐减小，地面对斜面体的摩擦力先增大后减小，故选项C错误，D正确．
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