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2025高考物理一轮考点突破训练第2章相互作用专题强化2动态平衡问题平衡中的临界和极值问题考点2平衡中的临界和极值问题
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这是一份2025高考物理一轮考点突破训练第2章相互作用专题强化2动态平衡问题平衡中的临界和极值问题考点2平衡中的临界和极值问题，共4页。试卷主要包含了两类问题的特点，突破临界和极值问题的方法等内容，欢迎下载使用。
1．两类问题的特点
2．突破临界和极值问题的方法
3.突破共点力平衡中的临界、极值问题的步骤
►考向1 极值问题
(2022·浙江1月选考)如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是( B )
A．轻绳的合拉力大小为eq \f(μmg,cs θ)
B．轻绳的合拉力大小为eq \f(μmg,cs θ＋μsin θ)
C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
[解析] 设两根轻绳的合拉力为F，对石墩受力分析如图1，根据平衡条件有Fcs θ＝f，Fsin θ＋FN＝mg，且μFN＝f，联立可得F＝eq \f(μmg,cs θ＋μsin θ)，A错误，B正确；上式变形得F＝eq \f(μmg,\r(1＋μ2)sinθ＋α)，其中tan α＝eq \f(1,μ)，根据三角函数特点，由于不知道开始时(θ＋α)的值，因此减小θ，轻绳的合拉力F不一定减小，C错误；根据上述讨论，当θ＋α＝90°时，轻绳的合拉力F最小，而摩擦力f＝Fcs θ＝eq \f(μmgcs θ,cs θ＋μsin θ)＝eq \f(μmg,1＋μtan θ)，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力F最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，D错误。(本题的C、D选项还可以这样判断：设F′为地面对石墩的支持力FN与摩擦力f的合力，β是摩擦力与F′间的夹角，则tan β＝eq \f(FN,f)＝eq \f(1,μ)，即不论FN、f怎么变化，合力F′的方向总保持不变，因此可将四力平衡转化为如图2所示的三力平衡问题，由矢量三角形可知，随着θ减小，绳子的合拉力F可能先减小后增大，也可能一直增大，关键是看初始时θ的大小；摩擦力与支持力的合力F′随着θ的减小而增大，故地面对石墩的摩擦力f随着θ的减小一直增大，即f的最小值不与轻绳合拉力F的最小值对应，故C、D错误。)
(1)受力分析中的临界与极值问题常与动态平衡问题结合起来考查，应用图解法进行分析，作出力的平行四边形或矢量三角形，常常有助于直观地得到结果。
(2)由静摩擦力变为滑动摩擦力、摩擦力方向改变、弹力有无及方向改变常常是临界与极值问题中要特别注意的。
►考向2 临界问题
(2024·海南海口月考)如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ0的大小。
[解析] (1)如图甲所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡条件得mgsin 30°＝μmgcs 30°
解得μ＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)。
(2)设斜面倾角为α，受力情况如图乙所示，由平衡条件得Fcs α＝mgsin α＋Ff′，
FN′＝mgcs α＋Fsin α
Ff′＝μFN′
解得F＝eq \f(mgsin α＋μmgcs α,cs α－μsin α)
当cs α－μsin α＝0，即tan α＝eq \r(3)时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°。
[答案] (1)eq \f(\r(3),3) (2)60°
【跟踪训练】
(极值问题)如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为( C )
A．mg B．eq \f(\r(3),3)mg
C．eq \f(1,2)mg D．eq \f(1,4)mg
[解析] 由对称性可知，AC绳和BD绳与竖直方向的夹角相等，设均为θ，由几何关系可知sin θ＝eq \f(\f(2l－l,2),l)＝eq \f(1,2)，则θ＝30°。对C点进行受力分析，由平衡条件可知，绳CD对C点的拉力FCD＝mgtan 30°，对D点进行受力分析，绳CD对D点的拉力F2＝FCD＝mgtan 30°，故F2是恒力，BD绳对D点的拉力F1方向一定，又F1与在D点施加的力F3的合力和F2等值反向，如图所示，由图知当F3垂直于绳BD时，F3最小，由几何关系可知，F3min＝F2sin 60°＝eq \f(1,2)mg，C正确。
(临界问题)某位同学用筷子将质量分布均匀的小球夹起悬停在空中，如图所示，已知球心O与两根筷子在同一竖直面内，小球质量为0.2 kg，筷子与竖直方向之间的夹角均为37°，筷子与小球表面间的动摩擦因数为0.875(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。则每根筷子对小球的压力至少为( C )
A．5 N B．7.5 N
C．10 N D．12.5 N
[解析] 筷子对小球的压力最小，且小球悬停在空中，此时小球有下滑的趋势，摩擦力为最大静摩擦力，沿筷子向上，小球受力平衡。在竖直方向上有2fcs θ－2Nsin θ＝mg，f＝μN，解得N＝eq \f(mg,2μcs θ－sin θ)＝10 N，A、B、D错误，C正确。临界问题
当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态能够“恰好出现”或“恰好不出现”。在问题描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述
极值问题
一般是指在力的变化过程中出现最大值或最小值问题
极限法
正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小
数学
分析法
通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)
图解
分析法
根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值
1．两类问题的特点
2．突破临界和极值问题的方法
3.突破共点力平衡中的临界、极值问题的步骤
►考向1 极值问题
(2022·浙江1月选考)如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是( B )
A．轻绳的合拉力大小为eq \f(μmg,cs θ)
B．轻绳的合拉力大小为eq \f(μmg,cs θ＋μsin θ)
C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
[解析] 设两根轻绳的合拉力为F，对石墩受力分析如图1，根据平衡条件有Fcs θ＝f，Fsin θ＋FN＝mg，且μFN＝f，联立可得F＝eq \f(μmg,cs θ＋μsin θ)，A错误，B正确；上式变形得F＝eq \f(μmg,\r(1＋μ2)sinθ＋α)，其中tan α＝eq \f(1,μ)，根据三角函数特点，由于不知道开始时(θ＋α)的值，因此减小θ，轻绳的合拉力F不一定减小，C错误；根据上述讨论，当θ＋α＝90°时，轻绳的合拉力F最小，而摩擦力f＝Fcs θ＝eq \f(μmgcs θ,cs θ＋μsin θ)＝eq \f(μmg,1＋μtan θ)，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力F最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，D错误。(本题的C、D选项还可以这样判断：设F′为地面对石墩的支持力FN与摩擦力f的合力，β是摩擦力与F′间的夹角，则tan β＝eq \f(FN,f)＝eq \f(1,μ)，即不论FN、f怎么变化，合力F′的方向总保持不变，因此可将四力平衡转化为如图2所示的三力平衡问题，由矢量三角形可知，随着θ减小，绳子的合拉力F可能先减小后增大，也可能一直增大，关键是看初始时θ的大小；摩擦力与支持力的合力F′随着θ的减小而增大，故地面对石墩的摩擦力f随着θ的减小一直增大，即f的最小值不与轻绳合拉力F的最小值对应，故C、D错误。)
(1)受力分析中的临界与极值问题常与动态平衡问题结合起来考查，应用图解法进行分析，作出力的平行四边形或矢量三角形，常常有助于直观地得到结果。
(2)由静摩擦力变为滑动摩擦力、摩擦力方向改变、弹力有无及方向改变常常是临界与极值问题中要特别注意的。
►考向2 临界问题
(2024·海南海口月考)如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ0的大小。
[解析] (1)如图甲所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡条件得mgsin 30°＝μmgcs 30°
解得μ＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)。
(2)设斜面倾角为α，受力情况如图乙所示，由平衡条件得Fcs α＝mgsin α＋Ff′，
FN′＝mgcs α＋Fsin α
Ff′＝μFN′
解得F＝eq \f(mgsin α＋μmgcs α,cs α－μsin α)
当cs α－μsin α＝0，即tan α＝eq \r(3)时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°。
[答案] (1)eq \f(\r(3),3) (2)60°
【跟踪训练】
(极值问题)如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为( C )
A．mg B．eq \f(\r(3),3)mg
C．eq \f(1,2)mg D．eq \f(1,4)mg
[解析] 由对称性可知，AC绳和BD绳与竖直方向的夹角相等，设均为θ，由几何关系可知sin θ＝eq \f(\f(2l－l,2),l)＝eq \f(1,2)，则θ＝30°。对C点进行受力分析，由平衡条件可知，绳CD对C点的拉力FCD＝mgtan 30°，对D点进行受力分析，绳CD对D点的拉力F2＝FCD＝mgtan 30°，故F2是恒力，BD绳对D点的拉力F1方向一定，又F1与在D点施加的力F3的合力和F2等值反向，如图所示，由图知当F3垂直于绳BD时，F3最小，由几何关系可知，F3min＝F2sin 60°＝eq \f(1,2)mg，C正确。
(临界问题)某位同学用筷子将质量分布均匀的小球夹起悬停在空中，如图所示，已知球心O与两根筷子在同一竖直面内，小球质量为0.2 kg，筷子与竖直方向之间的夹角均为37°，筷子与小球表面间的动摩擦因数为0.875(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。则每根筷子对小球的压力至少为( C )
A．5 N B．7.5 N
C．10 N D．12.5 N
[解析] 筷子对小球的压力最小，且小球悬停在空中，此时小球有下滑的趋势，摩擦力为最大静摩擦力，沿筷子向上，小球受力平衡。在竖直方向上有2fcs θ－2Nsin θ＝mg，f＝μN，解得N＝eq \f(mg,2μcs θ－sin θ)＝10 N，A、B、D错误，C正确。临界问题
当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态能够“恰好出现”或“恰好不出现”。在问题描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述
极值问题
一般是指在力的变化过程中出现最大值或最小值问题
极限法
正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小
数学
分析法
通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)
图解
分析法
根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值
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