海南省农垦实验中学2024-2025学年高三上学期8月摸底考试数学试题（解析版）

这是一份海南省农垦实验中学2024-2025学年高三上学期8月摸底考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 集合子集个数为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再求出子集个数即可.
【详解】由题意，得,故集合A子集个数为个.
故选：D.
2. 不等式“”成立，是不等式“”成立的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义判断.
【详解】由，但，所以由“”不能推出“”；
又，但，所以由“”不能推出“”，
即不等式“”成立，是不等式“”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D
3. 设函数，则等于（ ）
A B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中分段函数解析式运算求解.
【详解】因为，所以.
故选：C.
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】B
【解析】
【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.
【详解】解:选项A.，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误；
选项B.当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确；
选项C.，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误；
选项D.当时，，等号成立的条件是，即时，但条件，所以等号取不到，故，故D错误.
故选：B
5. 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ）
A. －lB. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据为奇函数，得到，根据，得到的周期为4，进而运用周期求解.
【详解】由为定义在上的奇函数，得，得，
由得，所以的周期为4，
所以
故选：B.
6. 设函数在区间上单调递减，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，
因此，解得，所以实数的取值范围是.
故选：D.
7. 若命题“”为假命题，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得命题“”是真命题，则在上恒成立，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意知命题“”是真命题．
因为，所以．
当时，函数的最大值为6，
则的最小值为，所以，即的最大值为．
故选：A.
8. 已知奇函数在上为增函数，且，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数的单调性及奇偶性，解不等式和，由，分和进行讨论，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．
【详解】奇函数在上为增函数，且，
则在上为增函数，且，
，解得或；，解得或.
不等式，等价于或，
解得或.
故选：A
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. 函数与是同一个函数
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为0,1
C. 不等式的解集为
D. 当x∈R时，不等式恒成立，则的取值范围是0,4
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的定义可判断A；根据抽象函数的定义域求法判断B；解一元二次不等式判断C；根据不等式恒成立，讨论k的取值，结合一元二次不等式恒成立，判断D.
【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，
故函数与不是同一个函数，A不正确；
对于B，函数的定义域为，即，
则对于函数有，故其定义域为0,1，B正确；
对于C，不等式即，则或，
其解集，C不正确；
对于D，当x∈R时，不等式恒成立，当时，恒成立，
当时，则需满足，
综合可得的取值范围是，D不正确，
故选：ACD
10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 在定义域上为增函数.
C. 当时，D. 不等式的解集为
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，利用的奇偶性直接求得；对于BC，利用的奇偶性求得的解析式，结合二次函数的性质即可判断；对于D，利用的单调性与奇偶性解不等式即可得解.
【详解】对于A：因为是定义域为上的偶函数，所以，
又当x∈0,+∞时，，所以，故A错误；
对于B：由二次函数可知，在0,+∞上单调递增，
又因为函数是定义在上的偶函数，即的图象关于轴对称，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C：当时，，则，故C正确；
对于D：由的奇偶性与单调性可知，可化为，
所以，解得，故D正确.
故选：CD.
11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. 在R上单调递减D. 当时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确.
【详解】A选项，中，令得，，
又，故，
令中，令得，
令得，即，A正确；
B选项，中，令得，解得，
中，令得，
故为奇函数，B正确；
C选项，中，令，且，
故，即，
当时，，故，
即，故在R上单调递增，C错误；
D选项，，，
又，故，
又在R上单调递增，所以，D正确.
故选：ABD
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 已知是等比数列，且公比为，为其前项和，若是、的等差中项，，则___________，___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用已知条件可得出，化简可得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】由题意可得，，则，
，解得.
故答案为：；.
13. 函数的最小值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】运用函数单调性求最值即可.
【详解】的定义域满足，即.则函数定义域为.
在内单调递减，在也是单调递减，
则在定义域内单调递减，则.
故答案为：．
14. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据对数函数和一次函数的单调性判断分段函数的单调性，然后根据函数单调性解不等式即可求解.
【详解】因为当x∈0,2时，是单调递增函数，此时fx≤f2=1，
当x∈2,+∞时，fx=2x-3是单调递增函数，此时fx>f2=1，

所以fx=lg2x,02是定义在0,+∞上的单调递增函数，
所以若fa+1-f2a-1≥0即fa+1≥f2a-1，
则a+1≥2a-1>0，解得.
故答案为：
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知内角的对边分别为，设.
（1）求；
（2）若的面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果.
【小问1详解】
原式化简可得：，
整理得：，
由正弦定理可得：，
因此三角形的内角；
【小问2详解】
，
，
，
.
16. （1）已知，求函数的解析式；
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（3）已知，求的解析式.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）利用换元法求解即可，注意定义域的变化；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）利用方程组法求解即可.
【详解】（1）设，则，，即，
所以，所以．
（2）因为是二次函数，所以设.由，得．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（3）用替换中的x，得，
由，解得.
17. 小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，、平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，、和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设、、猜中的概率分别为，，，且、、是否猜中互不影响．
（1）求恰好获得元的概率；
（2）设获得的金额为元，求的分布列及的数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可；
（2）由题意，的可能取值为，，，，计算对应的概率值，写出的分布列与数学期望值．
【小问1详解】
若恰好获得8元红包，则结果为未猜中，未猜中，猜中，
故A恰好获得元的概率为；
【小问2详解】
的可能取值为，，，，
则，，
，，
所以的分布列为：
数学期望为．
18. 如图，棱柱的所有棱长都为2，，侧棱与底面的所成角为平面为的中点．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明平面，可得证；
（2）根据题意，利用垂线法找出求二面角求解即可.
【小问1详解】
棱柱的所有棱长都为2，
所以底面为菱形，故,
平面平面，
，且，平面，
平面，且平面，
.
【小问2详解】
因为平面，
所以侧棱与底面的所成角为，即，
如图，作，由（1）知，，且，平面，
平面，且平面，
，
故即二面角的平面角，
由（1）知，平面，且平面，
，
，且，，
，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
19. 已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．
【答案】（1）；（2）证明见解析，.
【解析】
【分析】（1）利用已知和的关系，列方程组可得椭圆的标准方程；
（2）直线斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立， 可得，利用根与系数的关系代入化简，可得直线所过定点．
【详解】（1）由得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意.
所以直线斜率存在，设直线的方程为.
设、，
由得，
所以，.
因为，
所以，
即，整理得
化简得，
所以直线的方程为，
所以直线过定点.