2025高考数学一轮复习-第14讲-导数的几何意义和四则运算【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第14讲-导数的几何意义和四则运算【课件】，共49页。PPT课件主要包含了激活思维，答案C，概念及运算，聚焦知识，S′t，S″t，cosx，－sinx，axlna，nxn-1等内容，欢迎下载使用。
1．函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　　)A．f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0B．f′(1)＜f′(2)＜f′(3)＜0C．0＜f′(1)＜f′(2)＜f′(3)D．f′(1)＞f′(2)＞0＞f′(3)
由图象可知函数f(x)是单调递增的，所以f′(1)，f′(2)，f′(3)均为正．从图中还可以看出函数f(x)切线的斜率是随着自变量x的增大而逐渐减小的，因此该函数的导函数是单调递减的，所以有f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0.
2．(多选)下列求导运算正确的是(　　)
对于A，因为y＝x5，所以y′＝5x4，所以在x＝3处的导数为5×34＝405，故A正确；对于C，因为y＝sin x，所以y′＝cs x，所以在x＝2π处的导数为cs 2π＝1，故C错误；对于D，因为y＝ex，所以y′＝ex，所以在x＝0处的导数为e0＝1，故D正确．
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)
考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是距学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
f′(g(x))·g′(x)
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
2．常用结论(1) 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2) 曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
　(1) 求下列函数的导数．①f(x)＝sin (2x＋3)；
②f(x)＝e-2x+1；
f′(x)＝cs (2x＋3)·(2x＋3)′＝2cs (2x＋3).
f′(x)＝e-2x+1 ·(－2x＋1)′＝－2e-2x+1.
(2) 已知函数f(x)＝f′(0)e2x－e－x，则f(0)＝_______．
由函数f(x)＝f′(0)e2x－e－x，求导得f′(x)＝2f′(0)e2x＋e－x，当x＝0时，f′(0)＝2f′(0)＋1，解得f′(0)＝－1，因此，f(x)＝－e2x－e－x，所以f(0)＝－2.
变式　(1) 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝________，f′(x)＝____________．
(2) (多选)下列求导运算正确的是(　　)
(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误；
　(1) 函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3D．y＝2x＋1
因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，所以f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
(2) 过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为(　　)A．x－y－3＝0B．x－y＋3＝0C．x＋y＋3＝0D．x＋y－3＝0
(3)若直线y＝1与曲线f(x)＝aex－x2相切，则a＝(　　)
2．已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e-1，b＝1D．a＝e-1，b＝－1
由y′＝aex＋ln x＋1，根据导数的几何意义易得y′|x＝1＝ae＋1＝2，解得a＝e-1，从而得到切点坐标为(1，1)，将其代入切线方程y＝2x＋b，得2＋b＝1，解得b＝－1.
y＝4x－4或y＝x＋2
变式　曲线y＝ln x上的点到直线y＝x＋2的最短距离是(　　)
y＝－ln 2·(x－1)
3．若函数f(x)＝x3－a ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则实数a＝_____．
4．过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程：______________________________．
2x－y＋2＝0(或x＋4y＋1＝0)
A．1B．－1C．ln 2D．－ln 2
2．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程是(　　)A．2x－y－2＝0B．4x－y－4＝0C．2x＋y－2＝0D．4x＋y－4＝0
设x＞0，则－x＜0，由f(x)为偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x3－x，可得f(x)＝f(－x)＝(－x)3－(－x)＝x－x3，则f′(x)＝1－3x2，f′(1) ＝1－3＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程是y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.
5．下列导数的运算中正确的是(　　　)
6．已知函数f(x)＝ex，下列结论正确的是(　　)A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1C．过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条D．过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条
由题意知f′(x)＝ex.对于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，A正确；对于B，令f′(x)＝ex＝－1，无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，B错误；
8．写出曲线y＝ln |x|过坐标原点的切线方程：_______________.
9．若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________________________．
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
易得曲线不过原点．设切点为(x0，(x0＋a)ex0)，则切线斜率为f′(x0)＝(x0＋a＋1)·ex0，可得切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋a＋1)ex0(x－x0)，又切线过原点，可得－(x0＋a)ex0＝－x0(x0＋a＋1)ex0，化简得x＋ax0－a＝0(※)，又切线有两条，即(※)方程有两个不等实根，由判别式Δ＝a2＋4a＞0，得a＜－4或a＞0.
四、 解答题10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1) 求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
根据题意，得f′(x)＝3x2＋1，所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以所求的切线方程为y＝13x－32.
10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(2) 若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
11．已知函数f(x)＝12－x2.(1) 求曲线y＝f(x)的斜率等于－2的切线方程；
11．已知函数f(x)＝12－x2.(2) 设曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．
13．已知函数f(x)＝x2－mx－2.(1) 若m＞0且f(x)的最小值为－3，求不等式f(x)＜1的解集；
13．已知函数f(x)＝x2－mx－2.(2) 当x2≤1时，不等式f(x)－2x＜0恒成立，求实数m的取值范围．