2025高考数学一轮复习-8.2.2-第1课-离散型随机变量的均值【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.2.2-第1课-离散型随机变量的均值【课件】，共60页。PPT课件主要包含了学习目标，随堂练习，对点练习，均值的实际应用，内容索引，ξ的概率分布为，∴X的概率分布为，aEX＋b，所以ξ的概率分布为，解由均值的定义得等内容，欢迎下载使用。
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型 随机变量的均值.2.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水 平，解决一些相关的实际问题.
德·梅累向帕斯卡提出问题：甲乙两人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励.比赛三局过后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平，让双方都能欣然接受？也就是甲和乙的期望所得分别是多少呢？
一、离散型随机变量的均值
二、离散型随机变量均值的性质
问题1　某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg 的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记ξ为这颗糖果的单价(元/kg)，你能写出ξ的概率分布吗？
一般地，若离散型随机变量X的概率分布表为
其中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，将随机变量X的均值或数学期望记为E(X)或μ，则E(X)＝μ＝ .注意点：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数.(2)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平.
p1x1＋p2x2＋…＋pnxn
例1　某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布和均值.
解　X的可能取值为1,2,3,4，则P(X＝1)＝0.6，P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096，P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×1＝0.024，所以在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布为
E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
跟踪训练1　某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为 ，且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的概率分布与均值.
解　根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4,1,3,6.
问题2　若X，Y都是一离散型随机变量，且Y＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(Y)与E(X)有怎样的关系？
提示　X，Y的分布列为
于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b.
离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝ .
例2　已知随机变量X的概率分布为
若Y＝－2X，则E(Y)＝____.
解析　由随机变量概率分布的性质，得
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
跟踪训练2　 (1)设ξ的概率分布为
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于
(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的概率分布如下表，则m的值为
解析　因为η＝12ξ＋7，则E(η)＝12E(ξ)＋7，
例3　农机公司出售收割机，一台收割机的使用寿命为五年，在农机公司购买收割机时可以一次性额外购买若干次维修服务，费用为每次100元，每次维修时公司维修人员均上门服务，实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费50元/次；若实际维修次数少于购买的维修次数，则未提供服务的订购费用退还50%；若维修次数超过了购买的次数，农机公司不再提供服务，收割机的维修只能到私人维修店，每次维修费用为400元，无须支付餐饮费.一位农机手在购买收割机时，需决策一次性购买多少次维修服务.为此，他收集、整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如下表：
(1)如果农机手在购买收割机时购买了6次维修，在使用期内实际维修的次数为5次，这位农机手的花费总费用是多少？如果实际维修的次数是8次，农机手的花费总费用又是多少？
解　购买6次维修，而实际维修次数为5次时的维修总费用为6×100－50＋5×50＝800(元)；购买6次维修，而实际维修次数为8次时的维修总费用为6×100＋50×6＋2×400＝1 700(元).
(2)农机手购买了一台收割机.试在购买维修次数为6次和7次的两个数据中，根据使用期内维修时花费的总费用的均值，帮助农机手进行决策.
解　若购买6次维修，实际维修次数为6次时的维修总费用为6×100＋6×50＝900(元)；实际维修次数为7次时的维修总费用为900＋400＝1 300(元)；实际维修次数为9次时的维修总费用为1 700＋400＝2 100(元).综合(1)的计算，订购维修次数6次时的维修总费用概率分布为
E(ξ1)＝800×0.3＋900×0.3＋1 300×0.2＋1 700×0.1＋2 100×0.1＝1 150(元).
若购买7次维修，实际维修次数为5次时的总费用为7×100－2×50＋5×50＝850(元)；实际维修次数为6次时的总费用为7×100－50＋6×50＝950(元)；实际维修次数为7次时的总费用为7×100＋7×50＝1 050(元)；实际维修次数为8次时的总费用为1 050＋400＝1 450(元)；实际维修次数为9次时的总费用为
1 450＋400＝1 850(元)；维修总费用的概率分布为
E(ξ2)＝850×0.3＋950×0.3＋1 050×0.2＋1 450×0.1＋1 850×0.1＝1 080(元).因为E(ξ1)>E(ξ2)，所以选订购7次维修较划算.
跟踪训练3　在某项目的选拔比赛中，A，B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分(不存在平局)，设A队、B队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3.
(1)求A队得分为1分的概率；
解　设A队得分为1分的事件为E，
(2)求ξ的概率分布，并用统计学的知识说明哪个队实力较强.
解　随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，
所以随机变量ξ的概率分布为
因此随机变量ξ的均值为
因为ξ＋η＝3，所以η＝3－ξ，则随机变量η的均值为
所以E(ξ)1.75，则p的取值可以为
解析　根据题意知，X的所有的可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，
结合选项可知AB正确.
16.某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该品种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的概率分布与均值.
解　先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列.因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可.记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
因此，所求年收获量Y的均值为