数学八年级上册2.7 探索勾股定理课后复习题

这是一份数学八年级上册2.7 探索勾股定理课后复习题，共21页。
考点一：勾股定理的证明方法
例1．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）．
A．B．
C．D．
变式1-1．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（ ）
A．a+ba−b=a2−b2B．a+b2=a2+2ab+b2
C．c2=a2+b2D．a−b2=a2−2ab+b2
变式1-2．勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．分类思想C．函数思想D．归纳思想
考点二：勾股数问题
例2．下列是勾股数的是（ ）
A．1.5，2，2.5B．11，12，23C．9，40，41D．6，7，8
变式2-1．下列各组数据中是勾股数的是( )
A．0.3，0.4，0.5B．1，2，3C．4，5，7D．5，12，13
变式2-2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．17B．34C．77D．86
考点三：利用勾股定理解直角三角形
例3．等腰三角形的腰长为13，底边长为10，它的顶角的平分线的长为（ ）
A．69B．12C．15D．3
变式3-1．在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=4，则AB的长为（ ）
A．5B．7C．5或7D．6
变式3-2．若直角三角形两直角边长分别为6和10，则它的第三边长为（ ）
A．8B．27C．214D．234
考点四：勾股定理与网格问题
例4．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC是（ ）．
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
变式4-1．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对
变式4-2．如图，在7×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD是BC边上的中线，则AD的长为（ ）
A．22B．352C．292D．262
考点五：勾股定理与折叠问题
例5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点D、E分别在AC、BC上．现将△DCE沿DE翻折，使点C落在点C′处．连接AC′，则AC′长度的最小值．（ ）
A．等于3cmB．等于4cmC．等于5cmD．不存在
变式5-1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=6．将△ABC折叠，使点A落在BC的中点D处，折痕为MN，则线段DN的长为（ ）
A．3132B．92C．5D．4
变式5-2．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°,AB=2,AC=3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（ ）
A．136B．56C．76D．65
考点六：用勾股定理构造图形解决问题
例6．如图，一圆柱高8cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，爬行最短路程是（ ）

A．6cmB．7cmC．10cmD．12cm
变式6-1．某扇门的规格是1m×2m，下列规格的长方形薄木板不能从该扇门通过的是（ ）
A．1.8m×4mB．2m×3.5mC．2.2m×3mD．2.5m×2.5m
变式6-2．一个长方形抽屉长20cm，宽30cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（ ）
A．30cmB．35cmC．36cmD．37cm
考点七：勾股定理的应用
例7．如图，玻璃杯的底面半径为4cm，高为6cm，有一只长13cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
变式7-1．一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，两船相距（ ）
A．20海里B．30海里C．40海里D．50海里
变式7-2．在“综合与实践”课—测量旗杆高度中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了2米．当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好碰地时，经过测量此时绳子底端距离旗杆底部6米（如图所示），则旗杆的高度为 米．
考点八：利用勾股定理逆定理求解
例8．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a−6+b−8+c−102=0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形
变式8-1．如图，点E在边长为5的正方形ABCD内，测得CE=3，DE=4，则阴影部分的面积是（ ）
A．12B．16C．19D．25
变式8-2．在△ABC中，已知AB=6cm，AC=10cm，BC=8cm，则△ABC的面积等于（ ）
A．40cm2B．25cm2C．24cm2D．48cm2
考点九：勾股定理逆定理的应用
例9．如图，一块四边形ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m．BC=12m，则这块地的面积为（ ）m2．
A．24B．30C．48D．60
变式9-1．如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西40°方向航行，则智能号轮船的航行方向是（ ）
A．北偏东50°B．北偏西50°C．北偏东40°D．北偏西40°
参考答案
考点一：勾股定理的证明方法
例1．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
∴a+b2=a2+2ab+b2，
以上公式为完全平方公式，
∴A选项不能说明勾股定理，符合题意；
B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴12ab+12ab+12c2=12a+ba+b，
整理得a2+b2=c2，
∴B选项可以证明勾股定理，不符合题意；
C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴4×12ab+c2=a+b2，
整理得a2+b2=c2，
∴C选项可以证明勾股定理，不符合题意；
D，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴4×12ab+b−a2=c2，
整理得a2+b2=c2，
∴D选项可以说明勾股定理，不符合题意．
故选：A．
变式1-1．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（ ）
A．a+ba−b=a2−b2B．a+b2=a2+2ab+b2
C．c2=a2+b2D．a−b2=a2−2ab+b2
【答案】C
【详解】解：由图可得：大正方形的面积=c2，
大正方形的面积= 4个三角形的面积+1个小正方形的面积，
∴c2=4×12ab+b−a2，
∴c2=a2+b2，
故选：C．
变式1-2．勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想B．分类思想C．函数思想D．归纳思想
【答案】A
【详解】这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：A．
考点二：勾股数问题
例2．下列是勾股数的是（ ）
A．1.5，2，2.5B．11，12，23C．9，40，41D．6，7，8
【答案】C
【详解】解：A、三边长2.5，2，1.5不都是正整数，不是勾股数，不合题意；
B、112+122≠232，则11，12，23不是勾股数，不合题意；
C、92+402=412，则9，40，41能构成直角三角形，符合题意；
D、三边长62+72≠82，则6，7，8不是勾股数，不合题意；
故选：C．
变式2-1．下列各组数据中是勾股数的是( )
A．0.3，0.4，0.5B．1，2，3C．4，5，7D．5，12，13
【答案】D
【详解】解：A、由题可知，三个数都不是正整数，故不符合题意；
B、由题可知，数3不是正整数，故不符合题意；
C、42+52=41≠72=49，故不符合题意；
D、52+122=169=132，故符合题意；
故选：D．
变式2-2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．17B．34C．77D．86
【答案】C
【详解】解：如下图：
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1＝42+62，S2＝32+42，
于是S3＝S1+S2，
即可得S3＝16+36+9+16＝77．
故选：C．
考点三：利用勾股定理解直角三角形
例3．等腰三角形的腰长为13，底边长为10，它的顶角的平分线的长为（ ）
A．69B．12C．15D．3
【答案】B
【详解】解：如图所示：
∵等腰三角形的腰长为13，底边长为10，
∴AB=AC=13，BC=10，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴由等腰三角形“三线合一”性质可知AD⊥BC，且BD=CD=5，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=13，BD=5，则由勾股定理可得AD=AB2−BD2=12，
∴它的顶角的平分线的长为12，
故选：B．
变式3-1．在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=4，则AB的长为（ ）
A．5B．7C．5或7D．6
【答案】B
【详解】解：∵在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=AC2−BC2=7，
故选：B．
变式3-2．若直角三角形两直角边长分别为6和10，则它的第三边长为（ ）
A．8B．27C．214D．234
【答案】D
【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为6和10，
∴斜边长为：62+102=234，
故选：D．
考点四：勾股定理与网格问题
例4．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC是（ ）．
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】A
【详解】解：∵AC2=22+62=40,BC2=22+52=29，AB2=42+12=17，AD2=32+12=10，CD2=32+32=18，
即AB2+BC2=46>AC2，AD2+DC2=28