重庆一中2024-2025学年九年级上学期数学开学自测模拟试卷+答案

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A．B．0C．﹣1D．
2．（4分）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）为了解江北区2024年初中毕业年级体育考试成绩情况，从全区20000名初三参考学生中随机抽取1500名学生的体育考试成绩进行分析，下列说法正确的是（ ）
A．该调查方式是普查
B．该调查中的总体是全区初三学生
C．该调查中个体是江北区每位初三学生的体考成绩
D．该调查中的样本是抽取的1500名学生
4．（4分）估计的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间
C．﹣3和﹣4之间D．﹣3和﹣2之间
5．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE＝2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．2：1B．3：1C．4：1D．5：1
6．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
7．（4分）已知如图，在▱ABCD中，点E为AD上一点，DE：AE＝1：2，CE交对角线BD于点F，若△CDF的面积为3，则△BCF的面积为（ ）
A．18B．12C．9D．6
8．（4分）用字母“C“，“H”按如图所示的规律拼图案，则第⑧个图案中字母“H”的个数为（ ）
A．16B．17C．18D．19
9．（4分）如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接DF、BF，若∠ADF＝α，则∠EFB一定等于（ ）
A．αB．45°﹣αC．90°﹣3αD．
10．（4分）将x﹣y÷z×m+n（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“x、y对调操作”的结果为y﹣x÷z×m+n，且“x、y对调操作”和“y、x对调操作”是同一种“对调操作”．
下列说法：
①只有“x、n对调操作”的结果与原式相等；
②若“x、y对调操作”与“n、y对调操作”的结果相等，则x＝n或m+z＝0；
③若y＝m＝z，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：||+30＝ ．
12．（4分）在同一平面内，等边△ABC和正五边形BCDEF如图所示，则∠ABF的度数为 ．
13．（4分）已知三角形的两边长为3和5，第三边的长为方程x2﹣5x+4＝0的根，则该三角形的周长为 ．
14．（4分）有四张背面完全相同，正面分别是“诚”、“勤”、“立”、“达”的卡牌，洗匀后背面朝上，小明随机抽取一张卡牌后记录卡牌上的汉字并放回，洗匀后再随机抽取一张卡牌，小明第二次抽取的卡牌上的汉字和第一次相同的概率是 ．
15．（4分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC交AB于点E，过D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，已知AB＝4，BD＝3，则EF＝ ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC，F为CD上一点，连接BF，交AC于点G，连接DG，若DF＝CE，则∠DGF＝ ．
17．（4分）若关于x的不等式组 有解且至多有2个偶数解且关于y的分式方程＝3 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
18．（4分）一个四位自然数N，各个数位上的数字均不等于0且互不相等，当N的十位数字减去个位数字的差等于N的千位数字减去百位数字的差的2倍时，我们称自然数N为“倍差数”；当N的十位数字与个位数字的和等于N的千位数字与百位数字的和的2倍时，我们称自然数N为“倍和数”；则最小的“倍差数”与最大的“倍和数”的和是 ；
将“倍差数”N的千位数字与百位数字交换位置，十位数字与个位数字交换位置后得到的新“倍差数”为N′，且规定F（N）＝，G（N）＝，自然数M既是“倍差数”又是“倍和数”，且F（M）和G（M）均为正整数，则满足条件的数M为 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）﹣b（2a﹣b）+（a+b）2； （2）．
20．（10分）学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点A作CD的垂线，垂足为点M，交BD于点N．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，过A作AE⊥BC于点E，并交对角线BD于点F，作AM⊥CD于点M，交对角线BD于点N．求证：AF＝AN．
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝
∠ABC＝∠ADC
∵AE⊥BC，AM⊥CD
∴∠AEB＝∠AMD＝90°
∵∠AEB+∠ABC+∠BAE＝180°
∠AMD+∠ADC+∠DAM＝180°
∴
∴△ABF≌
∴AF＝AN
请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则 .
21．（10分）近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到2万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：0≤x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91；
八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校现有学生七年级780名，八年级800名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
22．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝6，CD＝4，∠ADC＝30°，动点P从点A出发沿折线A→B→C运动，到达点C停止运动．在运动过程中，过点P作PH⊥CD于点H，设点P的运动路程为x，BP+PH记为y1．
（1）请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出y1的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围．
23．（10分）4月，正是春暖花开，踏青徒步的好时节，某校初三年级开展了“踏青觅春，走进自然”的春游活动．甲、乙两班都从学校出发沿相同路线去距学校7.5千米的徒步终点，已知甲班的步行速度是乙班的1.5倍．（步行过程为匀速运动）
（1）若乙班比甲班先走750米，甲班才开始从学校出发，半小时后两班相遇，则两班的速度分别为多少千米/小时？
（2）若乙班在出发后第一小时内按原计划的速度匀速前进，一小时后将速度提高到与甲班一致，并比原计划提前10分钟到达徒步终点，求乙班到达终点用了多少小时？
24．（10分）如图，车站A在车站B的正西方向，它们之间的距离为100千米，修理厂C在车站B的正东方向．现有一辆客车从车站B出发，沿北偏东45°方向行驶到达D处，已知D在A的北偏东60°方向，D在C的北偏西30°方向．
（1）求车站B到目的地D的距离（结果保留根号）；
（2）客车在D处准备返回时发生了故障，司机在D处拨打了救援电话并在原地等待，一辆救援车从修理厂C出发以35千米每小时的速度沿CD方向前往救援，同时一辆应急车从车站A以60千米每小时的速度沿AD方向前往接送滞留乘客，请通过计算说明救援车能否在应急车到达之前赶到D处．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+2与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B，OB＝2，直线y＝2x与直线AB交于点C．
（1）求直线AB的表达式；
（2）如图1，点P为直线OC上一动点，连接PA，PB，求PA+PB的最小值及此时点P的坐标；
（3）将直线OC沿射线BA方向平移个单位长度得到新直线y'，在新直线y'上是否存在点M，使得AM与新直线y的夹角为45°，若存在，请写出点M的横坐标，选一种情况写出求解过程，若不存在，说明理由．
26．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内一点．
（1）如图1，当D点在AB的中点时，连接CD，将CD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，若AB＝4，求△ADE的周长；
（2）如图2，当D点在△ABC外部时，E、F分别是AB、BC的中点，连接EF、DE、DF，将DE绕E点逆时针旋转90°得到EG，连接CG、DG、FG，若∠FDG＝∠FGE，请探究FD、FG、CG之间的数量关系并给出证明；
（3）如图3，当D在△ABC内部时，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，若ED经过BC中点F，连接AE、CE，G为CE的中点，连接GF并延长交AB于点H，当AG最大时，请直接写出的值．
重庆市第一中学2024-2025学年九年级上学期数学开学自测模拟试卷（答案）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）在四个实数，0，﹣1，中，最小的数是（ ）
A．B．0C．﹣1D．
【答案】C
2．（4分）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
3．（4分）为了解江北区2024年初中毕业年级体育考试成绩情况，从全区20000名初三参考学生中随机抽取1500名学生的体育考试成绩进行分析，下列说法正确的是（ ）
A．该调查方式是普查
B．该调查中的总体是全区初三学生
C．该调查中个体是江北区每位初三学生的体考成绩
D．该调查中的样本是抽取的1500名学生
【答案】C
4．（4分）估计的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间
C．﹣3和﹣4之间D．﹣3和﹣2之间
【答案】D
5．（4分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：OE＝2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．2：1B．3：1C．4：1D．5：1
【答案】C
6．（4分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A
7．（4分）已知如图，在▱ABCD中，点E为AD上一点，DE：AE＝1：2，CE交对角线BD于点F，若△CDF的面积为3，则△BCF的面积为（ ）
A．18B．12C．9D．6
【答案】C
8．（4分）用字母“C“，“H”按如图所示的规律拼图案，则第⑧个图案中字母“H”的个数为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】C
9．（4分）如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接DF、BF，若∠ADF＝α，则∠EFB一定等于（ ）
A．αB．45°﹣αC．90°﹣3αD．
【答案】A
10．（4分）将x﹣y÷z×m+n（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“x、y对调操作”的结果为y﹣x÷z×m+n，且“x、y对调操作”和“y、x对调操作”是同一种“对调操作”．
下列说法：
①只有“x、n对调操作”的结果与原式相等；
②若“x、y对调操作”与“n、y对调操作”的结果相等，则x＝n或m+z＝0；
③若y＝m＝z，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：||+30＝ ．
【答案】．
12．（4分）在同一平面内，等边△ABC和正五边形BCDEF如图所示，则∠ABF的度数为 48° ．
【答案】48°．
13．（4分）已知三角形的两边长为3和5，第三边的长为方程x2﹣5x+4＝0的根，则该三角形的周长为 12 ．
【答案】12．
14．（4分）有四张背面完全相同，正面分别是“诚”、“勤”、“立”、“达”的卡牌，洗匀后背面朝上，小明随机抽取一张卡牌后记录卡牌上的汉字并放回，洗匀后再随机抽取一张卡牌，小明第二次抽取的卡牌上的汉字和第一次相同的概率是 ．
【答案】．
15．（4分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC交AB于点E，过D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，已知AB＝4，BD＝3，则EF＝ ．
【答案】．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC，F为CD上一点，连接BF，交AC于点G，连接DG，若DF＝CE，则∠DGF＝ 45° ．
【答案】45°．
17．（4分）若关于x的不等式组 有解且至多有2个偶数解且关于y的分式方程＝3 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 7 ．
【答案】7．
18．（4分）一个四位自然数N，各个数位上的数字均不等于0且互不相等，当N的十位数字减去个位数字的差等于N的千位数字减去百位数字的差的2倍时，我们称自然数N为“倍差数”；当N的十位数字与个位数字的和等于N的千位数字与百位数字的和的2倍时，我们称自然数N为“倍和数”；则最小的“倍差数”与最大的“倍和数”的和是 7532 ；
将“倍差数”N的千位数字与百位数字交换位置，十位数字与个位数字交换位置后得到的新“倍差数”为N′，且规定F（N）＝，G（N）＝，自然数M既是“倍差数”又是“倍和数”，且F（M）和G（M）均为正整数，则满足条件的数M为 3162 ．
【答案】7532；3162．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）﹣b（2a﹣b）+（a+b）2；
（2）．
【答案】（1）a2+2b2；
（2）．
20．（10分）学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点A作CD的垂线，垂足为点M，交BD于点N．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，过A作AE⊥BC于点E，并交对角线BD于点F，作AM⊥CD于点M，交对角线BD于点N．求证：AF＝AN．
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝ AD
∠ABC＝∠ADC
∵AE⊥BC，AM⊥CD
∴∠AEB＝∠AMD＝90°
∵∠AEB+∠ABC+∠BAE＝180°
∠AMD+∠ADC+∠DAM＝180°
∴ ∠BAE＝∠DAN
∴△ABF≌ △ADN
∴AF＝AN
请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则 两交点到顶点的距离相等 .
【答案】作图见解析，①AD；②∠BAE＝∠DAN；③△ADN；④两交点到顶点的距离相等．
21．（10分）近年来，诈骗分子较为猖狂，诈骗手段不断更新，据有关部门统计，2022年全年全国电信诈骗共计达到2万亿元．为有效提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”讲座后进行了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：0≤x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91；
八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
（1）填空：a＝ 92.5 ，b＝ 94 ，m＝ 60% ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校现有学生七年级780名，八年级800名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【答案】（1）92.5，94，60%；
（2）八年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好；
（3）这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为988人．
22．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AD＝6，CD＝4，∠ADC＝30°，动点P从点A出发沿折线A→B→C运动，到达点C停止运动．在运动过程中，过点P作PH⊥CD于点H，设点P的运动路程为x，BP+PH记为y1．
（1）请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出y1的图象与的图象有1个公共点时m的取值范围．
【答案】（1）y1＝；
（2）函数图象见解答，函数的最小值为3（答案不唯一）；
（3）7≤m≤11．
23．（10分）4月，正是春暖花开，踏青徒步的好时节，某校初三年级开展了“踏青觅春，走进自然”的春游活动．甲、乙两班都从学校出发沿相同路线去距学校7.5千米的徒步终点，已知甲班的步行速度是乙班的1.5倍．（步行过程为匀速运动）
（1）若乙班比甲班先走750米，甲班才开始从学校出发，半小时后两班相遇，则两班的速度分别为多少千米/小时？
（2）若乙班在出发后第一小时内按原计划的速度匀速前进，一小时后将速度提高到与甲班一致，并比原计划提前10分钟到达徒步终点，求乙班到达终点用了多少小时？
【答案】（1）甲班的步行速度为4.5km/h，乙班的步行速度为3km/h；
（2）乙班到达终点用了小时．
24．（10分）如图，车站A在车站B的正西方向，它们之间的距离为100千米，修理厂C在车站B的正东方向．现有一辆客车从车站B出发，沿北偏东45°方向行驶到达D处，已知D在A的北偏东60°方向，D在C的北偏西30°方向．
（1）求车站B到目的地D的距离（结果保留根号）；
（2）客车在D处准备返回时发生了故障，司机在D处拨打了救援电话并在原地等待，一辆救援车从修理厂C出发以35千米每小时的速度沿CD方向前往救援，同时一辆应急车从车站A以60千米每小时的速度沿AD方向前往接送滞留乘客，请通过计算说明救援车能否在应急车到达之前赶到D处．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
【答案】（1）车站B到目的地D的距离为（50+50）千米；
（2）救援车能在应急车到达之前赶到D处．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+2与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B，OB＝2，直线y＝2x与直线AB交于点C．
（1）求直线AB的表达式；
（2）如图1，点P为直线OC上一动点，连接PA，PB，求PA+PB的最小值及此时点P的坐标；
（3）将直线OC沿射线BA方向平移个单位长度得到新直线y'，在新直线y'上是否存在点M，使得AM与新直线y的夹角为45°，若存在，请写出点M的横坐标，选一种情况写出求解过程，若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝x+2；
（2）P（，）、PA+PB的最小值为：；
（3）存在，点M的坐标为：（，）或（，﹣）．
26．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内一点．
（1）如图1，当D点在AB的中点时，连接CD，将CD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，若AB＝4，求△ADE的周长；
（2）如图2，当D点在△ABC外部时，E、F分别是AB、BC的中点，连接EF、DE、DF，将DE绕E点逆时针旋转90°得到EG，连接CG、DG、FG，若∠FDG＝∠FGE，请探究FD、FG、CG之间的数量关系并给出证明；
（3）如图3，当D在△ABC内部时，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转90°，得到ED，若ED经过BC中点F，连接AE、CE，G为CE的中点，连接GF并延长交AB于点H，当AG最大时，请直接写出的值．
【答案】
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七
91
a
95
m
八
91
93
b
65%
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七
91
a
95
m
八
91
93
b
65%