江苏省南通市海门区东洲国际学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份江苏省南通市海门区东洲国际学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了 下列实数中，为无理数的是，45B， 若，则代数式的值为等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，考试时间120分钟）
一．选择题（每题3分，共10题，共30分）
1. 下列实数中，为无理数的是（ ）
A. 0.45B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数．熟练掌握有理数定义，无理数定义，是解决问题的关键．有理数包括整数和分数，无限不循环小数为无理数．
根据无理数、有理数的定义即可逐一判定．
【详解】A、0.45是小数，属于有理数；
B、是分数，属于有理数；
C、是无限不循环小数，属于无理数；
D、是整数，属于有理数．
故选：C．
2. 若，则代数式的值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将已知代数式变形，然后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：
当时，
原式
故选：B．
【点睛】本题考查了分母有理化，分式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得、的值，根据有理数的加法，可得答案．
【详解】解：由关于原点的对称点为，得
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
4. 在一个不透明的盒子中装有8个白球,若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同,若从中随机摸出一个球,它是白球的概率为,则黄球的个数为( )
A. 2B. 4C. 12D. 16
【答案】D
【解析】
【详解】分析：
设盒子中有x个黄球，则由题意可得，解此方程即可求得黄球的个数.
详解：
设盒子中有x个黄球，则由题意可得：
，
解得：，
经检验：是所列方程的根，
∴盒子中有16个黄球.
故选D.
点睛：知道“从盒子中摸出白球的概率等于盒子中白球的个数比上盒子中球的总数”是解答本题的关键.
5. 若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜1B. k＜－1C. k≥1D. k＞1
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵（x+1）2=1-k没有实根，
∴1-k＜0，
∴k＞1．
故选D．
6. 解关于x的不等式，正确的结论是（ ）
A. 无解B. 解为全体实数C. 当时无解D. 当时无解
【答案】C
【解析】
【分析】根据两不等根据两不等式，大大取大，小小取小，大小中间找的规律进行讨论即可．
【详解】解：根据题意可得：当时，无解．
当时解为．
所以，当时，无解或当时解为．
故选C．
【点睛】本题考查不等式的解集，解答此题要根据不等式组解集的求法解答求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7. 如图是某射击选手5次设计成绩的折线图，根据图示信息，这5次成绩的众数、中位数分别是（ ）
A. 7、8B. 7、9C. 8、9D. 8、10
【答案】A
【解析】
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
【详解】解：在这一组数据中7是出现次数最多的，故众数是7
将这组数据从小到大的顺序排列（7，7，8，9，10），处于中间位置的那个数是8，则这组数据的中位数是8；
故选A
8. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（ ）
（1）AB+CD=AD；（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；（3）AB•CD=；（4）∠ABE=∠DCE，
A. 1 B. 2C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】设AD和半圆O相切的切点为F，连接OF，根据切线长定理以及相似三角形的判定和性质逐项分析即可．
【详解】解：设AD和半圆O相切的切点为F，
∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC，
∴
∵AB为直径，
∴AB，CD是圆的切线，
∵AD与以AB为直径的⊙O相切，
∴AB=AF，CD=DF，
∴AD=AF+DF=AB+CD，故①正确；
如图1，连接OE，
∵AE=DE，BO=CO，
∴OE∥AB∥CD,OE=(AB+CD)，
∴OE⊥BC，
故②正确；
如图2，连接AO，OD，
∵AB∥CD,
∴
∵AB，CD，AD是O的切线，
∴
∴
∴
∴∠BAO=∠DOC，
∴△ABO∽△OCD，
∴
∴，故③正确，
如图1，∵OB=OC，OE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠BEO=∠CEO，
∵AB∥OE∥CD，
∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC，
∴∠ABE=∠DCE，故④正确，
综上可知正确的个数有4个，
故选:D.
【点睛】本题属于圆的综合题，考查切线长定理，梯形的面积公式，相似三角形的判定与性质，综合性比较强，对学生综合能能力要求较高.
9. 两建筑物的水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用三角函数解决有关仰角、俯角的计算问题，关键是作出辅助线，把实际问题转化成解直角三角形问题．作于点，分别在直角和直角中，利用三角函数即可表示出与的长，根据即可求解．
【详解】解：如图，作于点，
，，
四边形是矩形，
，，
在直角中，，，
，
，
同理：．
米，
故选：D．
10. 如图，正方形，的顶点，，在坐标轴上，点在上，点，在函数的图象上，则点E的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查形的性质，反比例函数的性质．由正方形顶点在反比例函数上，故可设点的坐标为，得．又因为是正方形，所以点横坐标和纵坐标相隔2，设点的横坐标为，则纵坐标为，代入解析式计算即可．
【详解】正方形，点在反比例函数上，设点的坐标为
，
∴（负值舍去）．
设点的横坐标为，则纵坐标为，
代入反比例函数中，
即：．
解之，得（负值舍去），
即点坐标为：，
故选：A．
二．填空题（每题3分，共8题，共24分）
11. 菱形两条对角线的长分别是12和16，则它的边长为________，面积为________．
【答案】 ①. 10 ②.
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．由菱形两条对角线的长分别是12和16，即可求得与的值，然后由勾股定理，求得的长．
【详解】如图，
菱形两条对角线的长分别是12和16，
即，，
，，，菱形面积为，
在中，．
即它的边长为10．
故答案为：10，．
12. 如果反比例函数y＝(k是常数，k≠0)图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而____．(填“增大”或“减小”)
【答案】减小
【解析】
【详解】试题分析：∵反比例函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（2，3），∴k=2×3=6＞0，∴这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小．
故答案为减小．
13. 函数中自变量x的取值范围是__．
【答案】x≠3
【解析】
【详解】根据题意得x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为x≠3．
14. 小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，，，

所以BC即为河水深度，，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
解得：BC=2（m），
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键．
15. 把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式是则________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了函数图象的平移，利用平移的规律：左加右减，上加下减，求函数解析式即可．
【详解】∵把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式是
∴当向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线的图象，
，
∴当时．
故答案为：．
16. 若；
；
；
则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查有理数算式的规律题型，能将第个式子化为和相关的等式是解题的关键．分别将每个式子变形为和式子序列号有关的形式，即可发现规律．
【详解】解：∵；
；
；
∴，
故答案为：．
17. 如图，含有的直角三角形，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在边上的点处，过点的直线，则________．
【答案】30°
【解析】
【分析】旋转前后的三角形全等，对应角和对应边也相等，因此△ABM是等边三角形，∠AMB＝60°，进而求得∠NMC＝60°，再利用平行线得到的内错角相等，进行计算.
【详解】∵在中，，，
∴，
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故填：30°.
【点睛】本题是角度计算的问题，利用到旋转全等与平行线的性质的结合，判定等边三角形是关键.
18. 在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ则△PBQ周长的最小值为___．
【答案】
【解析】
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ，交AC于点P，由最短路径问题模型知此时△PBQ的周长最小，此时△PBQ的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长度，再得出结果．
【详解】解：连接DQ，交AC于点P，连接PB、BD，BD交AC于O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BO＝OD，CD=BC＝2cm，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BP＝DP，
∴BP+PQ＝DP+PQ＝DQ．
∵Q是BC的中点
∴
在Rt△CDQ中，DQ＝＝cm ，
∴△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ＝．
故答案为：.
【点睛】本题考查轴对称问题，正方形的性质，勾股定理等等，根据两点之间线段最短，可确定点P的位置．
三．解答题（共96分）
19. 计算或解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的运算．
（1）先根据绝对值、乘方、算术平方根和立方根的定义计算，然后进行有理数的加减运算；
（2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原方程整理得：
∴，
∴．
20. 如图，已知的内接，为直径，于点，连接．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，由圆周角定理，推出，，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出．
【详解】是圆的直径，
，
∴，
，
，
∴，
，
．
21. 如图，已知线段a．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个直角三角形，以和分别为两条直角边，使，（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）若在（1）作出的中，，求边上的高．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了学生运用基本作图法作复杂图的能力，本题作图的理论依据是全等三角形的判定中的边角边．
（1）可先画出长为的线段，然后作这条线段的垂直平分线，这样就找出了直角三角形的直角，我们把其中的一段叫做，那么再在上作垂直平分线，这样就找出了的长度，以为圆心，长为半径，作弧交长为的线段的垂直平分线于，连接，就是所求的直角三角形；
（2）有了的长，就有了的长，根据勾股定理就能得出的长，根据三角形面积的表示方法的不同，可得出边上的高的值．
【小问1详解】
作图如图，即为所求的直角三角形；
【小问2详解】
∵，
∴
由勾股定理得，，
设斜边上的高为，则，
∴，
解得．
22. 在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白球有多少只？
（3）请你设计一个增（减）袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率．
【答案】（1）0.6 （2）3
（3）再向口袋中放入2只黄球，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率；
（1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近0.6，据此可得答案；
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算即可；
（3）只要黄球的个数大于白球的个数时即可，答案不唯一．
【小问1详解】
当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
故答案：0.6；
【小问2详解】
可估计摸到白球的概率为0.6，
（只，
答：估算口袋中白球有3只；
【小问3详解】
由（2）可知白球有3只，黄球有2只，
再向口袋中放入2只黄球，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率（答案不唯一）．
23. 关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，存不存在这样的实数k，使得？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系．
（1）根据一元二次方程方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，列出不等式求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及，得到，进行求解即可．
掌握根的判别式与根的个数之间的关系，以及根与系数的关系，是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意，得：，
解得：；
【小问2详解】
存在，
由题意，得：，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：．
24. 新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售．某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套房面积均为120米2.
若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：
(方案一)降价8%，另外每套房赠送a元装修基金；
(方案二)降价10%，没有其他赠送．
(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x取整数)之间的函数表达式；
(2)老王要购买第十六层的一套房，若他一次性付清所有房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．
【答案】（1） ；（2）当每套房赠送装修基金多于10 560元时，选择方案一合算；当每套房赠送的装修基金等于10 560元时，两种方案一样；当每套房赠送的装修基金少于10 560元时，选择方案二合算．
【解析】
【详解】解：（1）当1≤x≤8时，每平方米的售价应为：
y=4000﹣（8﹣x）×30="30x+3760" （元/平方米）
当9≤x≤23时，每平方米售价应为：
y=4000+（x﹣8）×50=50x+3600（元/平方米）．
∴
（2）第十六层楼房的每平方米的价格为：50×16+3600=4400（元/平方米），
按照方案一所交房款为：W1=4400×120×（1﹣8%）﹣a=485760﹣a（元），
按照方案二所交房款为：W2=4400×120×（1﹣10%）=475200（元），
当W1＞W2时，即485760﹣a＞475200，
解得：0＜a＜10560，
当W1＜W2时，即485760﹣a＜475200，
解得：a＞10560，
∴当0＜a＜10560时，方案二合算；当a＞10560时，方案一合算．
【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，读懂题目信息，找出数量关系表示出各楼层的单价以及是交房款的关系式是解题的关键．
25. 在中，，经过点的与斜边相切于点．
（1）如图①，当点在上时，试说明；
（2）如图②，，当点O在外部时，求长的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质，勾股定理；
（1）利用切线长定理得到，进而得到，再由，等量代换即可得证；
（2）当点在上时，求出长，再根据当点与点重合时，最长，即可确定出的范围．
【小问1详解】
当点在上时，为的半径，
，且点在上，
与相切．
与边相切于点，
，
，
，
．
即；
【小问2详解】
在中，，，，
如图，连接、，当点在上时，为的半径，
，且点在上，
与相切，
与边相切于点，
，
∴，
设，则，，
在中，，
根据勾股定理得：，即，
解得：，
在中，，，
．
，，
垂直平分，
根据面积法得：，则符合条件的长大于．
由题意可知，当点与点重合时，最长，
综上，当点在外时，．
26. 二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
（1）填空：
①表中的________；
②二次函数有最________值；
③若点，、，是该函数图象上的两点，且，，试比较大小：_____；
（2）求关于x的方程的根；
（3）若自变量x的取值范围是，则函数值y的取值范围是________．
【答案】（1）①；②大；③
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）①根据二次函数的对称性列式表示出对称轴解析式计算即可得解；
②根据图表数据有最大值；
③根据二次函数的增减性确定出、的取值范围即可得解；
（2）利用待定系数法求出二次函数解析式，再令，解方程即可得解；
（3）根据二次函数的性质分段求出的取值范围，即可得解．
小问1详解】
①根据对称性，对称轴为直线，
解得；
故答案为：；
②由表格可得y的值先增大再减小，故二次函数有最大值，
故答案为：大；
③时，，
时，，
；
故答案为：；
【小问2详解】
时，时，时，
，
解得，
所以，函数解析式为，
令，则，
即，
解得，，
即方程的根为，；
【小问3详解】
二次函数对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，为最大值，
所以，当时，，
当时，，
综上，时，．
故答案为： ．
27. 已知：关于的函数．
（1）当为任意实数时，这个函数的图象恒过某定点（所谓定点，就是与值无关的点），求此点坐标；
（2）若此函数的图象是抛物线，且与轴有两个相异交点、，其坐标分别为，，其中，
①求的取值范围，并求当为何值时，、两点的距离等于；
②连接、得，则当取何值时，的一个内角等于．
【答案】（1）
（2）①且；当或时，、距离等于；②或
【解析】
【分析】（1）把函数的解析式化成含的部分与不含的部分两部分的组合，便可求得函数的图象经过的定点坐标；
（2）①二次函数与轴有两个不同交点即对应一元二次方程有两个不同解，即，再结合二次函数二次项系数不为可求的范围；先求出，，再利用，代入即可求解；
②分三种情况：，，．前两种情况可利用构造等腰直角三角形求出、两点坐标，再代入抛物线的解析式便可求得，后一种情况利用三角形的面积建立的方程解答．
【小问1详解】
解：，
当时，即时，，
∴不论为任意实数，函数的图象过定点；
【小问2详解】
解：①∵此函数的图象是抛物线，且与轴有两个相异交点、，其坐标分别为，，
∴，且，
，，
∴的取值范围为且，
∵，，其中，
∴，
所以，
化简得：，
解得：，，
两数均符合题意，
故当或时，、两点的距离等于；
②的一个内角等于，
（Ⅰ）若，过作轴于，如图1，
，
，
，
把代入中，
得：，
；
（Ⅱ）若，同（Ⅰ）方法可得，
把代入中，
得：，
解得：（不合题意，舍去）；
（Ⅲ）若，过作于点，如图2，
则为等腰直角三角形，，
又由，
得：，即，
，
把代入中，
得：，
，
，
同理，
，
又，
，
解得：或（不合题意，舍去），
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法，二次函数与轴交点问题，等腰直角三角形的判定与性质，解此题的关键是求出点的坐标和构造等腰直角三角形，注意分类讨论．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
0
2
5
1
1