2023-2024学年江苏省盐城市建湖县八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市建湖县八年级（上）期中数学试卷，共22页。

A．B．
C．D．
2．（3分）﹣8的立方根是（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．不存在
3．（3分）如图，已知AB＝CD，从下列条件中补充一个条件后，仍不能判定△ABC≌△CDA的是（ ）
A．BC＝ADB．∠B＝∠D＝90°C．∠BAC＝∠DCAD．∠ACB＝∠CAD
4．（3分）对于下列四个条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．（3分）等腰三角形的一个角是70°，则它顶角的度数是（ ）
A．70°B．70°或40°C．70°或55°D．55°
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，O为∠ABC、∠ACB平分线的交点，若△ABO的面积为30，则△ACO的面积为（ ）
A．16B．20C．24D．48
8．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的中点，则MN的最小值为（ ）
A．2B．3C．3.5D．4
二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将
9．（2分）如图，已知△ABC≌△ADE，若∠AED＝108°，则∠BCD的度数为 °．
10．（2分）如果一个正数的两个平方根分别是a+3与2a﹣18．那么这个数是 ．
11．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝30°，则∠C的度数为 °．
12．（2分）如图，在∠BAC两边上有点D、E、F，连接DF和EF，AD＝DF＝EF，若∠A＝30°，则∠BFE的度数为 ．
13．（2分）如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角∠ACB走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”AB．已知AC＝40m，BC＝30m，他们踩伤草坪，仅仅少走了 m．
14．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，点D在斜边AB上，且DB＝CB，则∠ACD＝ °．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C且与AB相交，AE⊥l，垂足为点E，BD⊥l，垂足为点D．若AE＝6，BD＝4，则ED的长是 ．
16．（2分）等腰三角形ABC的周长是10cm，AB＝3cm，则BC＝ cm．
17．（2分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是 ．
18．（2分）如图所示是一个3×3的正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2的度数是 °．
三、解答题（本大题共有9小题，共76分.请在答题区域内作答，解答时应写出必要
19．（6分）已知4a+3的立方根是3，3b+1的算术平方根是5，求2a+3b的平方根．
20．（8分）下列正方形网格图中，部分方格涂上了颜色，请按照不同要求作图．
（1）作出图①的对称轴；
（2）将图②中的某一个方格涂上颜色，使整个图形成仅有一条对称轴的轴对称图形；
（3）将图③中的某两个方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴的轴对称图形．
21．（7分）已知，如图，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，求证：
（1）△ABE≌△ACD；
（2）△BOD≌△COE．
22．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线，交AB于点D，过点A作AE∥BC，交CD的延长线于点E．求证：AE＝DE．
23．（8分）如图，已知△ABC．
（1）在图中用直尺和圆规作出∠B的平分线和BC边的垂直平分线，并交于点P（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若点D、E分别是边BC、AB上的点，且CD＝BE，连接PD，PE，求证：PD＝PE．
24．（8分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．
25．（10分）已知：如图，等边△ABC中，点E在边BC上，CD∥AB，且CD＝BE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）判断△ADE的形状，并说明理由．
26．（10分）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CD＝1，AD＝2，BD＝4．
（1）求证：∠BAC＝90°；
（2）点P为BC上一点，连接AP，若△ACP为等腰三角形，求CP的长．
27．（12分）如图①，等腰△ABC中，AB＝AC．点D是AC上一动点，点E、P分别在BD延长线上．且AB＝AE，CP＝EP．
问题思考
在图①中，求证：∠BPC＝∠BAC；
问题再探
若∠BAC＝60°，如图②．探究线段AP、BP、EP之间的数量关系，并证明你的结论；
问题拓展
若∠BAC＝90°且BD平分∠ABC，如图③，请直接写出的值为 ．
2023-2024学年江苏省盐城市建湖县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项
1．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．【分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．
【解答】解：﹣8的立方根是＝＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，明确a的立方根是是解题的关键．
3．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS（直角三角形还有HL），看看是否符合定理，即可判断选项．
【解答】解：A、在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），正确，故本选项不符合题意；
B、∵∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），正确，故本选项不符合题意；
C、在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），正确，故本选项不符合题意；
D、根据AB＝CD，AC＝CA，∠ACB＝∠CAD不能推出△ABC≌△CDA，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS（直角三角形还有HL）．
4．【分析】①∠A+∠B＝∠C，推出∠C＝90°，得到△ABC是直角三角形；②根据勾股定理逆定理，即可推出△ABC是直角三角形；③∠A＝90°﹣∠B，推出∠C＝90°，得到△ABC是直角三角形；④∠A＝∠B＝2∠C，结合三角形的内角和定理，求出三个角的度数，进行判断即可．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；故①正确；
②∵a：b：c＝3：4：5，
设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；故②正确；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形；故③正确；
④∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴5∠C＝180°，
∴∠C＝36°，
∴∠A＝∠B＝2∠C＝72°，
∴△ABC不是直角三角形；故④错误；
综上：能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③；
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握直角三角形的定义，以及勾股定理逆定理，是解题的关键．
5．【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，进而得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝BD，
∵BC＝4，AC＝3，
∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，
∴△ACD的周长为：4+3＝7．
故选：A．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确得出AD＝BD是解题关键．
6．【分析】等腰三角形一内角为70°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
【解答】解：当70°角为顶角，顶角度数即为70°；
当70°为底角时，顶角＝180°﹣2×70°＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
7．【分析】由角平分线的性质可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比．
【解答】解：∵O为∠ABC、∠ACB平分线的交点，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝10：8＝5：4，
∵△ABO的面积为30，
∴△ACO的面积为24．
故选：C．
【点评】此题主要考查角平分线的性质，正确记忆角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
8．【分析】根据三角形斜边上的中线的性质求得CN＝DE＝3，CM＝AB＝5，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为2．
【解答】解：如图，连接CM、CN，
△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN＝DE＝3，CM＝AB＝5，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5﹣3＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将
9．【分析】利用全等三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACB＝∠AED，
∵∠AED＝108°，
∴∠ACB＝108°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ACB＝72°．
故答案为：72．
【点评】本题考查全等三角形的性质，属于中考常考题型．
10．【分析】根据平方根的性质列得方程，解方程求得a的值，然后求得a+3的值，再将其平方即可．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是a+3与2a﹣18，
∴a+3+（2a﹣18）＝0，
解得：a＝5，
则a+3＝5+3＝8，
那么这个数为82＝64，
故答案为：64．
【点评】本题考查平方根的性质，利用一个正数的两个平方根互为相反数列得方程是解题的关键．
11．【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC＝60°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
【解答】解：AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，
∴∠C＝（180°﹣60°）＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
12．【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠AFD＝30°，然后利用三角形的外角性质可得∠FDE＝60°，再利用等腰三角形的性质可得∠FDE＝∠FED＝60°，从而利用三角形的外角性质可得∠BFE＝∠A+∠FED＝90°，即可解答．
【解答】解：∵DA＝DF，
∴∠A＝∠AFD＝30°，
∵∠FDE是△ADF的一个外角，
∴∠FDE＝∠A+∠AFD＝60°，
∵DF＝EF，
∴∠FDE＝∠FED＝60°，
∵∠BFE是△AEF的一个外角，
∴∠BFE＝∠A+∠FED＝90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
13．【分析】由勾股定理求出AB的长，即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝40m，BC＝30m，
∴AB＝＝＝50（m），
∴AC+BC﹣AB＝40+30﹣50＝20（m），
即仅仅少走了20m，
故答案为：20．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理得出捷径的长是解题的关键．
14．【分析】根据直角三角形的性质得到∠B＝32°，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠B）＝74°，进而得到答案．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝32°，
∵DB＝CB，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠B）＝74°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣74°＝16°．
故答案为：16．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求出∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠B）＝74°是解题的关键．
15．【分析】由∠AEC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，得∠CAE＝∠BCD＝90°﹣∠ACD，而AC＝CB，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ACE≌△CBD，则AE＝CD＝6，CE＝BD＝4，所以ED＝CD﹣CE＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AE⊥l于点E，BD⊥l于点D，
∴∠AEC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD＝90°﹣∠ACD，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴AE＝CD＝6，CE＝BD＝4，
∴ED＝CD﹣CE＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ACE≌△CBD是解题的关键．
16．【分析】由于已知周长和一边，边是腰长和底边没有明确，因此需要分两种情况讨论．
【解答】解：当AB，BC为腰长时，BC＝3cm，底边长为10﹣3﹣3＝4（cm），3，3，4能组成三角形，符合题意；
当BC为底边，AB、AC为腰长时，BC＝10﹣3﹣3＝4（cm），3，3，4能组成三角形，符合题意；
当AC，BC为腰长，AB为底边时，BC＝（10﹣3）÷2＝3.5，3.5，3.5，3能组成三角形，符合题意；
故答案为：3或4或3.5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，分类思想的运用是解题的关键．
17．【分析】首先根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝40°，然后分两种情况进行讨论：①∠ADB＝90°；②∠BAD＝90°，进而根据三角形的内角和定理求出∠ADB的度数即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝40°，
∵△ABD为直角三角形，
∴有以下两种情况：
①∠ADB＝90°，
②∠BAD＝90°，
此时∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣90°﹣40°＝50°．
∴若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是90°或50°．
故答案为：90°或50°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角的定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角的定理是解答此题的关键；分类讨论是解答此题的难点，也是易错点之一．
18．【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠1＝∠CDE，
则∠1+∠2＝∠2+∠CDE＝45°．
故答案为：45．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．
三、解答题（本大题共有9小题，共76分.请在答题区域内作答，解答时应写出必要
19．【分析】根据立方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后将其代入2a+3b中计算后根据平方根的定义即可求得答案．
【解答】解：∵4a+3的立方根是3，3b+1的算术平方根是5，
∴4a+3＝27，3b+1＝25，
∴a＝6，b＝8，
∴2a+3b＝12+24＝36，
∴2a+3b的平方根是±6．
【点评】本题考查立方根，平方根及算术平方根，根据其定义求得a，b的值是解题的关键．
20．【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出答案；
（2）直接利用轴对称图形的性质得出答案；
（3）直接利用轴对称图形的性质得出答案．
【解答】解：（1）如图①所示：
（2）如图②所示：
（3）如图③所示：
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
21．【分析】（1）因为∠A＝∠A，∠B＝∠C，AE＝AD，根据AAS定理推出△ABE≌△ACD．
（2）由（1）可知△ABE≌△ACD，证得AB＝AC，得出BD＝CE，然后根据AAS定理推出△BOD≌△COE．
【解答】证明：（1）在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
（2）∵△ABE≌△ACD，
∴AB＝AC，
∵AD＝AE，
∴BD＝CE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等．
22．【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B＝∠ACB＝72°，根据角平分线定义求出∠DCB，根据平行线求出∠EAB＝72°，根据三角形内角和定理求出∠ADE＝72°，根据等腰三角形的判定即可得出答案．
【解答】证明：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠DCB＝∠ACB＝36°，
∵AE∥BC，
∴∠EAB＝∠B＝72°，
∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，
∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的性质的应用，主要考查学生的计算和推理能力．
23．【分析】（1）根据角平分线与线段垂直平分线的基本作法作出图形即可；
（2）根据角平分线的定义与线段垂直平分线的性质推出∠PCD＝∠PBE，再根据SAS证明△BPE≌△CPD即可得出结论．
【解答】（1）解：如图所示，射线BP与直线l即为所求；
（2）证明：如图，连接PC，
∵点P是线段BC垂直平分线上的点，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠PCD＝∠PBE，
又∵BE＝CD，BP＝BP，
∴△BPE≌△CPD（SAS），
∴PD＝PE．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解（2）的关键．
24．【分析】设OA＝OB＝x尺，表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设OA＝OB＝x尺，
∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，
在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，
整理得：8x＝116，即2x＝29，
解得：x＝14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
25．【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，根据SAS可证明△ABE≌△ACD；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，证出∠EAD＝60°，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝∠B，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）解：△ADE是等边三角形．
理由：∵△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，
∵∠BAC＝60°，
∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD＝∠EAC+∠BAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
26．【分析】（1）根据垂直定义可得∠ADC＝∠ADB＝90°，然后分别在Rt△ACD和Rt△ABD中，利用勾股定理求出AC和AB的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠BAC＝90°，即可解答；
（2）分三种情况：当CA＝CP＝时；当AC＝AP时；当PA＝PC时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ACD中，CD＝1，AD＝2，
∴AC＝＝＝，
在Rt△ABD中，BD＝4，
∴AB＝＝＝2，
在△ABC中，AC2+AB2＝（）2+（2）2＝25，
BC2＝（CD+BD）2＝52＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＝90°；
（2）解：分三种情况：
当CA＝CP＝时，如图：
∴CP的长为；
当AC＝AP时，如图：
∵AC＝AP，AD⊥CP，
∴CP＝2CD＝2，
∴CP的长为2；
当PA＝PC时，如图：
∵PA＝PC，
∴∠C＝∠PAC，
∵∠C+∠B＝90°，∠PAC+∠PAB＝90°，
∴∠B＝∠PAB，
∴AP＝BP，
∴CP＝BP＝BC＝2.5，
∴CP的长为2.5；
综上所述：CP的长为，2或2.5．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，分三种情况讨论是解题的关键．
27．【分析】问题思考：证明△CAP≌△EAP（SSS），利用全等三角形的性质即可解决问题；
问题再探：结论：AP+EP＝BP．如图2中，在BP上取点G，使PG＝PC，连接CG．证明△BGC≌△APC（SAS），推出AP＝BG，可得结论；
问题拓展：如图3中，延长BA，CP交于点H．证明△HBP≌△CBP（ASA），△ABD≌△ACH（ASA），可得结论．
【解答】问题思考：证明：∵AB＝AC，AB＝AE，
∴AC＝AE，
在△APC和△APE中，
，
∴△CAP≌△EAP（SSS），
∴∠E＝∠ACP，
又∵AB＝AE，
∴∠E＝∠ABE，
∴∠ABE＝∠ACP，
又∵∠ADB＝∠PDC，
∴∠BPC＝∠BAC；
问题再探：解：线段AP、BP、EP之间的数量关系为AP+EP＝BP．理由如下：
如图2中，在BP上取点G，使PG＝PC，连接CG．
∵∠BAC＝60°，
∴∠BPC＝60°，
∵PG＝PC，
∴△GPC为等边三角形，
又∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠GCP＝60°，
∴∠BCG＝∠ACP，
又∵BC＝AC，GC＝PC，
∴△BGC≌△APC（SAS），
∴AP＝BG，
由（1）得△ACP≌△AEP．EP＝CP，
∵CP＝GP，
∴EP＝GP．
∵BP＝BG+GP，
∴BP＝AP+EP；
问题拓展：如图3中，延长BA，CP交于点H．
∵∠BPC＝∠BAC＝90°，
∴∠BPC＝∠BPH＝90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
又∵BP＝BP，
∴△HBP≌△CBP（ASA），
∴CP＝HP＝CH，
又∵∠BAC＝∠HAC＝90°，AB＝AC，∠ABD＝∠ACH，
∴△ABD≌△ACH（ASA），
∴BD＝CH＝2CP，
∵CP＝EP，
∴BD＝2EP，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．