2023-2024学年江苏省盐城市建湖县汇杰中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市建湖县汇杰中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若x=1是方程x2−ax−2=0的一个根，则a的值是( )
A. 0B. −1C. −2D. −3
2.已知⊙O的半径为3，点P与⊙O在同一平面内，且OP=2，则点P与⊙O的关系是( )
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 不能确定
3.一元二次方程x2−4x−1=0配方后可化为( )
A. (x+2)2=3B. (x+2)2=5C. (x−2)2=3D. (x−2)2=5
4.如图，⊙O的直径AB=8，弦CD⊥AB于点P，若BP=2，则CD的长为( )
A. 2 5
B. 4 2
C. 4 3
D. 8 2
5.有下列四个命题：
①直径是弦；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
④半径相等的两个半圆是等弧．
其中正确的有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
6.一元二次方程x2−8x−a=0的两实数根都是整数，则下列选项中a可以取的值是( )
A. 12B. 16C. 20D. 24
7.等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2−6x+n+2=0的两个根，则n的值为( )
A. 6B. 6或7C. 7或8D. 7
8.以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是( )
A. 8，8，8B. 4，10，10C. 5，12，13D. 6，8，10
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.一元二次方程x2−8=0的解是 ．
10.已知关于x的一元二次方程x2+2x−a=0有两个相等的实数根，则a的值是______．
11.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=54°，则∠BAC= ______°.
12.已知关于x的方程x2−(m+2)x+9=0的左边是一个完全平方式，则m的值为______．
13.已知方程x2−2x−2=0的两根分别为a、b，则a2−b2+4b的值为______．
14.在解一元二次方程x2+px+q=0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是−3，1，小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，−4，则原来的方程是______．
15.已知点P为⊙O外一点，点P到⊙O上的点的最长距离为6，最短距离为1，则⊙O的半径为______．
16.如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB=10，BE=2，过点E作弦CD⊥AB，P是ACB上一动点，连接DP，过点A作AQ⊥PD，垂足为Q，则OQ的最小值为______．
三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x(x−2)=2−x；
(2)2x2−4x+1=0(配方法)．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(2a−1−1a)÷(a2+aa2−2a+1)，其中2a2+a−1=0．
19.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC=OD，求证：AC=BD．
20.(本小题8分)
已知代数式A=2x2+5x−3，B=x2+x−8．
(1)当x为何值时，代数式A比B的值大2；
(2)求证：对于任意x的值，代数式A−B的值恒为正数．
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1x2+x1+x2−6=0，求m的值．
22.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D．
(1)若∠AOD=40°，求∠DOB的度数；
(2)若AB=2 3，ED=1，求⊙O的半径长．
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，有一圆弧经过三个点A、B、C，且点A、B、C的坐标分别为A(0,4)、B(−4,4)、C(−6,2)．
(1)该圆弧所在圆的圆心M的坐标为______；
(2)⊙M的直径为______；
(3)点D(−5,−2)在⊙M ______(填内、外、上)；
(4)点O到⊙M上的点最远的距离为______．
24.(本小题10分)
某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，四、五月份的销售量达到200件．
(1)求四、五这两个月的月平均增长率．
(2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价2元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利2125元？
25.(本小题10分)
请仅用无刻度的直尺作图．
(1)如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，点P在⊙O上一点，且BP=CP.画出△ABC中∠BAC的平分线；
(2)如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC的中点，画出△ABC中∠BAC的平分线．
26.(本小题10分)
如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于4 2cm？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
(3)若点P沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线BC方向从B点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，经过几秒后，△PBQ的面积为8cm2？
27.(本小题12分)
已知关于x的一元二次方程kx2+(k+5)x+5=0(k≠0)．
(1)求证：方程一定有两个实数根；
(2)若方程的两根为x1、x2，且x1、x2都为整数，x1<1(3)在(2)的条件下，如图，平面直角坐标系中，A(x1,0)，B(x2,0)，以AB为直径作⊙M，与y轴交于C、D.点P(a,1)在平面内运动．
①若点P在⊙M上，求a的值；
②若△PAB为锐角三角形，直接写出a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：把x=1代入方程x2−ax−2=0得1−a−2=0，
解得a=−1．
故选：B．
把x=1代入方程x2−ax−2=0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2.【答案】A
【解析】解：∵OP=2<3，
∴点P在⊙O内．
故选：A．
根据点与圆的位置关系解决此题．
本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：x2−4x−1=0，
x2−4x=1，
x2−4x+4=1+4，
(x−2)2=5，
故选：D．
移项，配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴CP=DP，
∵AB=8，
∴OC=OB=4，
∴PB=2，
∴OP=2，
∴PC= OC2−OP2= 42−22=2 3，
∴CD=2PC=4 3．
故选：C．
连接OC，如图，先根据垂径定理得到CP=DP，再计算出OP=2，然后利用勾股定理计算出PC，从而得到CD的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
5.【答案】B
【解析】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
故选：B．
根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
6.【答案】C
【解析】解：当a=12时，方程为x2−8x−12=0，解得x=4±2 7不是整数，故A选项不符合题意；
当a=16时，方程为x2−8x−16=0，解得x=4±4 2不是整数，故B选项不符合题意；
当a=20时，方程为x2−8x−20=0，解得x=10或x=−2是整数，故C选项符合题意；
当a=24时，方程为x2−8x−24=0，解得x=4±4 5不是整数，故D选项不符合题意；
解法二：x=4± 16+a，
由选项可知，a=20，符合题意．
故选：C．
分别代入数值解方程，逐一判断即可解题．
本题考查一元二次方程的整数根与有理根，解题的关键是利用特殊值法解决问题．
7.【答案】D
【解析】解：∵三角形是等腰三角形，
∴分①a=2，或b=2；②a=b两种情况，
①当a=2，或b=2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2−6x+n+2=0的两个根，
∴x=2，
把x=2代入x2−6x+n+2=0得，22−6×2+n+2=0，
解得：n=6，
当n=6时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n=6不合题意，
②当a=b时，方程x2−6x+n+2=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(−6)2−4(n+2)=0，
解得：n=7．
当n=7时，方程的两根是3和3，
3，3，2能组成三角形，
故n=7符合题意，
故选：D．
由三角形是等腰三角形，得到①a=2，或b=2；②a=b；①当a=2，或b=2时，得到方程的一个根x=2，把x=2代入x2−6x+n+2=0即可得到结果；②当a=b时，方程x2−6x+n+2=0有两个相等的实数根，由Δ=(−6)2−4(n+2)=0可得结果．
本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解，根的判别式，注意分类讨论思想的应用．
8.【答案】A
【解析】解：A、∵△ABC是等边三角形，设O是外心，
∴BF=CF=4，AF⊥BC，BE平分∠ABC，
∴∠OBF=12∠ABC=30°，
∴OB=BFcs30∘=4 32=8 33，
∴△ABC的外接圆的半径为8 33，
B、∵△ABC是等腰三角形，
过点A作AD⊥BC于D，延长AD交⊙O于E，
∵AB=AC=10，
∴AB=AC，BD=CD=12BC=2，
∴AE是⊙O的直径，AD= AB2−BD2= 102−22=4 6，
∴∠ABE=∠ADB=90°，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ADB∽△ABE，
∴ABAE=ADAB，
∴10AE=4 610，
∴AE=25 66，
∴外接圆半径为25 612，
C、∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为132，
D、∵62+82=102，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形外接圆的半径为5，
∴其外接圆半径最小的是A选项，符合题意，
故选：A．
分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9.【答案】±2 2
【解析】解：移项得x2=8，
∴x=±2 2．
故答案是：x=±2 2．
式子x2−8=0先移项，变成x2=8，从而把问题转化为求8的平方根．
本题主要考查了解一元二次方程−直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a(a≥0)；ax2=b(a,b同号且a≠0)；(x+a)2=b(b≥0)；a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
10.【答案】−1
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
根据判别式的意义得到△=22−4×(−a)=0，然后解一次方程即可．
【解答】
解：根据题意得△=22−4×(−a)=0，
解得a=−1．
故答案为−1．
11.【答案】36
【解析】解：由圆周角定理得，∠B=∠ADC=54°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°−∠B=36°，
故答案为：36．
根据圆周角定理得到∠B=∠ADC=54°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半和半圆(或直径)所对的圆周角是直角是解题的关键．
12.【答案】4或−8
【解析】解：∵关于x的方程x2−(m+2)x+9=0的左边是一个完全平方式，
∴x2−(m+2)x+9=x2±2×3x+32=(x±3)2，
∴−(m+2)=±6，即m+2=6或m+2=−6，
解得：m=4或m=−8．
故答案为：4或−8．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：∵方程x2−2x−2=0的两根分别为a、b，
∴a+b=2，
∴a2−b2+4b
=(a+b)(a−b)+4b
=2a−2b+4b
=2a+2b
=2(a+b)
=2×2
=4．
故答案为：4．
先根据根与系数的关系得出a+b的值，再代入代数式进行计算即可．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca是解题的关键．
14.【答案】x2+2x−20=0
【解析】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β=−p=−2，αβ=q=−20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x−20=0．
故答案为：x2+2x−20=0．
先设这个方程的两根是α、β，根据两个根是−3，1和两个根是5，−4，得出α+β=−p=−2，αβ=q=−20，从而得出符合题意的方程．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
15.【答案】2.5或3.5
【解析】解：当点P在圆内时，则直径=6+1=7，因而半径是3.5；
当点P在圆外时，直径=6−1=5，因而半径是2.5．
所以⊙O的半径为2.5或3.5．
故答案为：2.5或3.5．
解答此题应进行分类讨论，点P可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部．
本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意进行分类讨论．
16.【答案】 5
【解析】解：∵AQ⊥PD，垂足为Q，
∴∠AQD=90°，
∴点Q在以AD为直径的圆上，
连接AD，以AD为直径作⊙M，如图，
连接MO并延长交⊙M于Q′，
当Q点运动到Q′时，OQ的值最小，
连接OD，
在Rt△ODE中，∵OD=5，OE=5−2=3，
∴DE= 52−32=4，
在Rt△ADE中，AD= 42+82=4 5，
∴MA=MQ′=2 5，
在Rt△AOM中，OM= 52−(2 5)2= 5，
∴OQ′=MQ′−OM=2 5− 5= 5，
∴OQ的最小值为 5．
故答案为 5．
先根据圆周角定理判断点Q在以AD为直径的圆上，连接AD，以AD为直径作⊙M，如图，连接MO并延长交⊙M于Q′，则当Q点运动到Q′时，OQ的值最小，连接OD，再利用勾股定理计算出DE、AD、OM，然后计算OQ′即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
17.【答案】解：(1)x(x−2)=2−x
x(x−2)−(2−x)=0，
x(x−2)+(x−2)=0，
(x−2)(x+1)=0，
解得：x1=2，x2=−1；
(2)2x2−4x+1=0，
2(x2−2x)=−1，
2(x2−2x+1)=−1+2，
2(x−1)2=1，
(x−1)2=12，
解得：x1=2+ 22，x2=2− 22．
【解析】(1)首先移项，进而利用提取公因式法分解因式得出即可；
(2)直接利用配方法解方程得出即可．
此题主要考查了因式分解法以及公式法解方程，正确应用公式法解方程是解题关键．
18.【答案】解：原式=[2aa(a−1)−a−1a(a−1)]÷a(a+1)(a−1)2
=a+1a(a−1)⋅(a−1)2a(a+1)
=a−1a2，
当2a2+a−1=0时，2a2=1−a，
则原式=a−1a2=−2a2a2=−2．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由等式得出2a2=1−a，代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】证明：作OH⊥AB于H，如图，
则AH=BH，
∵OC=OD，OH⊥AB，
∴CH=DH，
∴CH−AH=DH−BH，
即AC=BD．
【解析】作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH=BH，而OC=OD，与等腰三角形三线合一的性质OH平分CD，然后即可证得AC=BD．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形三线合一的性质．
20.【答案】(1)解：根据题意得，(2x2+5x−3)−(x2+x−8)=2，
2x2+5x−3−x2−x+8=2，
2x2+5x−3−x2−x+8−2=0，
x2+4x+3=0，
x2+4x=−3，
x2+4x+4=−3+4，
(x+2)2=1，
∴x1=−1，x2=−3，
即当x为−1或−3时，代数式A比B的值大2；
(2)证明：A−B=(2x2+5x−3)−(x2+x−8)
=2x2+5x−3−x2−x+8
=x2+4x+5
=x2+4x+4+1
=(x+2)2+1，
对于任意x的值，(x+2)2≥0，
∴(x+2)2+1>0，
即A−B>0，
∴对于任意x的值，代数式A−B的值恒为正数．
【解析】(1)根据代数式A比B的值大2列出方程，按照一元二次方程的解法求解即可；
(2)先计算A−B的值，然后配方成(x+2)2+1，进行判断即可．
本题考查了配方法的应用，熟练掌握用配方法解一元二次方程以及利用配方法判断代数式的值的情况．
21.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(2m)2−4(m2+m)≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
(2)根据题意得x1+x2=−2m，x1x2=m2+m，
∵x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=12，
∴(−2m)2−2(m2+m)=12，即m2−m−6=0，
解得m1=−2，m2=3(舍去)．
故m的值为−2．
【解析】(1)根据判别式的意义得到Δ=(2m)2−4(m2+m)≥0，然后解关于m的不等式即可；
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=−2m，x1x2=m2+m，利用整体代入的方法得到m2−m−6=0，然后解关于m的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
22.【答案】解：(1)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AD=BD，
∴∠AOD=∠BOD=40°，
∴∠DOB的度数是40°；
(2)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AE=12AB= 3，
设⊙O的半径长为r，
在Rt△AOE中，AO2=OE2+AE2，
∴r2=(r−1)2+( 3)2，
∴r=2，
∴⊙O的半径长为2．
【解析】(1)根据垂径定理可得AD=BD，从而可得∠AOD=∠BOD=50°，即可解答；
(2)根据垂径定理可得AE=12AB=，然后设⊙O的半径长为r，再在Rt△AOE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
23.【答案】(−2,0) 4 5 内 2 5+2
【解析】解：(1)分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点M，
则点M即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点M的坐标为(−2,0)，
故答案为：(−2,0)；
(2)⊙M的半径长= 22+42=2 5，
故直径为4 5．
故答案为：4 5；
(3)MD= (5−2)2+22= 13，
∴MD<⊙M的半径，
∴点D(−5,−2)在⊙M内，
故答案为：内；
(4)由题意可得，点O到⊙M上最近的点在直线OM上，
∵⊙M的半径长为2 5，OM=2，
∴点O到⊙M上最近的点的距离为2 522，
故答案为：2 5+2．
(1)根据线段垂直平分线的性质得出M点位置，结合图形得到点M的坐标；
(2)利用点的坐标结合勾股定理得出⊙M的半径长；
(3)根据勾股定理求出MD的长，即可得出结论；
(4)根据题意可得点O到⊙M上最近的点在直线OM上，即可得出答案．
本题考查点与圆的位置关系，作图−复杂作图，垂径定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质确定圆心．
24.【答案】解：(1)设四、五这两个月的月平均增长率为x，
依题意得：128(1+x)2=200，
解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不合题意，舍去)．
答：四、五这两个月的月平均增长率为25%；
(2)设商品降价m元，则每件获利(40−m−25)元，月销售量为(200+5m)件，
依题意得：(40−m−25)(200+5m)=2125，
解得：m1=2.5，m2=−35(不合题意舍去)．
答：当商品降价2.5元时，商场月获利2125元．
【解析】(1)设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月份的销售量=三月份的销售量×(1+月平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设商品降价m元，则每件获利(40−m−25)元，月销售量为(400+5m)件，利用商场销售该商品月销售利润=每件的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图1，连接AP，
∵BP=CP，
∴∠BAP=∠CAP，
∴AP为∠BAC的平分线．
则AP即为所求．

(2)如图2，连接OD并延长，交⊙O于点Q，连接AQ，OB，OC，
∵OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形，
∵D是BC的中点，
∴OD为△OBC的中线，
∴OD为∠BOC的平分线，
∴∠BOQ=∠COQ，
∵∠BAQ=12∠BOQ，∠CAQ=12∠COQ，
∴∠BAQ=∠CAQ，
即AQ为∠BAC的平分线，
则AQ即为所求．

【解析】(1)连接AP，结合圆周角定理可知，AP即为∠BAC的平分线．
(2)连接OD并延长，交⊙O于点Q，连接AQ，由题意可知∠BOQ=∠COQ，结合圆周角定理可得∠BAQ=∠CAQ，即AQ为∠BAC的平分线．
本题考查作图—复杂作图、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26.【答案】解：(1)由题意得：AP=t cm，BQ=2t cm，
则BP=(6−t)cm，
在Rt△PBQ中，BP2+BQ2=PQ2，
当PQ=4 2时，(6−t)2+(2t)2=(4 2)2，
整理得，5t2−12t+4=0，
解得，t1=25，t2=2，
则当t=25或2时，PQ的长度等于4 2cm；
(2)线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分，
理由如下：设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，
依题意得，12×6×8=12(6−y)⋅2y×2，
整理得，y2−6y+12=0，
∵Δ=b2−4ac=36−4×12=−12<0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
(3)设经过m秒后，△PBQ的面积为8cm2，
①点P在线段AB上，点Q在射线CB上(0整理得，m2−6m+8=0，
解得m1=2，m2=4，
∴m=2或4时，△PBQ的面积为8cm2；
②点P在射线AB上，点Q在射线CB上(m>6)，12(m−6)⋅2m=8，
整理得m2−6m−8=0，
解得，m3=3+ 17，m4=3− 17，
当m=3− 17时，不合题意，
综上所述，经过2秒或4秒或(3+ 17)秒后，△PBQ的面积为8cm2．
【解析】(1)根据勾股定理列出方程，解一元二次方程得到答案；
(2)根据三角形的面积公式列出方程，解方程得到答案；
(3)分点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB上，点Q在射线CB上两种情况，根据三角形的面积公式列出方程，解一元二次方程得到答案．
本题考查的是三角形的面积计算、勾股定理的应用、一元二次方程的解法，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
27.【答案】(1)证明：由题意可得：Δ=(k+5)2−4×5k=(k−5)2≥0，
∴方程一定有两个实数根；
(2)∵kx2+(k+5)x+5=0(k≠0)．
∴(kx+5)(x+1)=0，
∴x1=−1，x2=−5k，
∵x1、x2都为整数，x1<1∴k=−1；
(3)①如图1，连接MP，

∵k=−1，
∴x1=−1，x2=5，
∴点A(−1,0)，点B(5,0)，
∴AB=6，点M(2,0)，
∴AM=BM=3，
∵点P在⊙M上，
∴PM=AM=3，
∴(a−2)2+(1−0)2=32，
∴a1=2 2+2，a2=−2 2+2，
∴a的值为±2 2+2；
②如图2，

当∠PAB=90°时，则PA⊥x轴，
∴a=−1，
当∠P′BA=90°时，则P′B⊥x轴，
∴a=5，
当∠APB=90°时，则点P在⊙M上，
由①可知a=±2 2+2；
∴当−1【解析】(1)利用根的判别式即可得出结论；
(2)先求出x1，x2值，由x1、x2都为整数，x1<1(3)①先求出⊙M的半径，由点P在⊙M上可得PM=AM=3，即可求解；
②求出特殊位置时，a的值，结合图形可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，一元二次方程的应用，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．