2023-2024学年北京市石景山区九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市石景山区九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）已知3a＝4b（ab≠0），则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣3B．y＝（x+2）2+3
C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3
4．（2分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2B．y＝2xC．D．
5．（2分）二次函数的图象与x轴交点的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．不能确定
6．（2分）求二次函数y＝x2+2x﹣1的最小值（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3
7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（ ）
A．a＜0B．4a+2b+c＞0C．c＞0D．﹣3＜＜0
8．（2分）运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y（单位：m）与足球被踢出后经过的时间x（单位：s）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时的时刻x是（ ）
A．4B．4.5C．5D．6
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）已知点（1，a）在抛物线y＝x2图象上，则a＝ ．
10．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为 ．
11．（2分）已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 ．
12．（2分）若点（1，a），（2，b）都在反比例函数y＝的图象上，则a，b的大小关系是：a b（填“＞”、“＝”或“＜”）．
13．（2分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 ．
14．（2分）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是 米．
15．（2分）当﹣2≤x≤2，则函数y＝x2﹣2x，最大值 ，最小值 ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…，An在y轴负半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn，在二次函数y＝﹣x2，位于第三象限的图象上，若四边形OB1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形An﹣1BnAn∁n都是正方形，则正方形An﹣1BnAn∁n的面积为 ．
三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分；第23-26题，每小题5分；27-28题每题7分）
17．（5分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠AED＝∠B，若AE＝3，EC＝1，AD＝2．求AB的长．
18．（5分）已知反比例函数图象经过A（1，1）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若点（2，y1），（4，y2）是反比例函数图象上两点，试比较y1，y2大小．
19．（5分）用配方法把二次函数y＝x2﹣2x，化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴．
20．（5分）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣5）和（2，1）．
（1）求b，c的值；
（2）当x为何值时，y有最大值？
21．（5分）如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．
（2）求∠1+∠2的度数．
22．（5分）如图，直线y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A，B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOC的面积．
23．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
（1）求此抛物线的解析式；
（2）画出函数图象，结合图象直接写出当0≤x≤4时，y的范围．
24．（6分）图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？（结果保留根号）
25．（6分）阅读下面材料：
上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范围．
小捷的思路是：原不等式等价于x2﹣2x﹣1＞a，设函数y1＝x2﹣2x﹣1，y2＝a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．
（1）请结合小捷的思路回答：
对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是 ．
（2）参考小捷思考问题的方法，解决问题：
关于x的方程x﹣4＝在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．
2023-2024学年北京市石景山区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）已知3a＝4b（ab≠0），则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】比例的性质：内项之积等于外项之积，依此即可求解．
【解答】解：A、由＝可得3a＝4b，故选项正确；
B、由＝可得4a＝3b，故选项错误；
C、由＝可得4a＝3b，故选项错误；
D、由＝可得ab＝3×4＝12，故选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用相似三角形的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽ABC，
∴，故A、D选项正确，不符合题意；
由可得，，
整理得，，即，故C选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵不能得到AC＝AD，
∴B选项错误，符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握“A”字相似三角形模型是解题关键．
3．（2分）将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2﹣3B．y＝（x+2）2+3
C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3
【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4．（2分）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2B．y＝2xC．D．
【分析】直接利用正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质分别判断得出答案．
【解答】解：A、y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，不合题意；
B、y＝2x，y随x的增大与增大，不合题意；
C、y＝﹣，当x＞0时，y随x的增大而增大，不合题意；
D、y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．
5．（2分）二次函数的图象与x轴交点的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．不能确定
【分析】令函数值为0，得到一元二次方程，根据根的判别式判断有几个解就与x轴有几个交点．
【解答】解：令x2﹣3x+＝0，
则Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×＝9﹣6＝3＞0，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线与x轴有2个交点．
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，令函数值为0，得到一元二次方程，根据根的判别式确定抛物线与x轴的交点个数是解题的关键．
6．（2分）求二次函数y＝x2+2x﹣1的最小值（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【分析】先把y＝x2+2x﹣1进行配方得到抛物线的顶点式y＝（x+1）2﹣2，根据二次函数的性质即可得到最小值．
【解答】解：y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴二次函数y＝x2+2x﹣1的最小值是﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查考查了二次函数的最值问题，熟知二次函数的性质是解题的关键．
7．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（ ）
A．a＜0B．4a+2b+c＞0C．c＞0D．﹣3＜＜0
【分析】根据开口方向，对称轴，与y轴交点位置等即可得答案；
【解答】解：A、由开口向下得a＜0，故A不符合题意，
B、由图判断（2，4a+2b+c）在x轴下方，故4a+2b+c＜0，（如答图），故B符合题意，
C、抛物线与y轴交点在y轴正半轴，c＞0，故C不符合题意，
D、对称轴在y轴左侧，在（﹣3，0）右侧，故﹣3＜﹣＜0，D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的图象与系数的关系，利用数形结合，从开口方向、对称轴、与x轴（y轴）的交点进行判断．
8．（2分）运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y（单位：m）与足球被踢出后经过的时间x（单位：s）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时的时刻x是（ ）
A．4B．4.5C．5D．6
【分析】由题意得出点（3，18）、（5，20）、（7，14）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，再用待定系数法求出抛物线解析式，进而配成顶点式，即可得出结论．
【解答】解：由题意得，点（3，18）、（5，20）、（7，14）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+9x＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，足球飞行达到最高点，
故选：B．
【点评】此题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法，配方法，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解本题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）已知点（1，a）在抛物线y＝x2图象上，则a＝ 1 ．
【分析】把点（1，a）代入y＝x2即可求出a的值．
【解答】解：∵点（1，a）在抛物线y＝x2图象上，
∴a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
10．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积的比为 1：4 ．
【分析】△AOB∽△COD，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比．
【解答】
解：如图，设小方格的边长为1，
∵△ABE、△DCF分别是边长为1和2的等腰直角三角形，
∴∠ABE＝∠CDF＝45°，AB＝，CD＝2，
∵BE∥DF，
∴∠EBO＝∠FDO，
∴∠ABO＝∠CDO，
又∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
∴S△ABO：S△CDO＝（AB：CD）2，
∴S△ABO：S△CDO＝（：2）2＝1：4，
故答案为：1：4．
【点评】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．
11．（2分）已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 k＜0 ．
【分析】将反比例函数化成积的形式：k＝xy，根据第二象限内点的坐标特征，即可得出k的取值范围．或可直接利用双曲线的所在的象限直接得出k的范围，反比例函数y＝（k≠0）的图象，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
【解答】解：根据题意反比例函数y＝，则有k＝xy，
∵其图象在第二、四象限，
∴图象上点的横坐标x与纵坐标y异号，
∴k＝xy＜0，即k的取值范围是k＜0，
故答案为：k＜0．
【点评】本题考查反比例函数的性质及反比例函数的图象，需掌握反比例函数中k值与其图象之间的联系．
12．（2分）若点（1，a），（2，b）都在反比例函数y＝的图象上，则a，b的大小关系是：a ＞ b（填“＞”、“＝”或“＜”）．
【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝4＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点（1，a），（2，b）都在反比例函数y＝的图象上，且2＞1，
∴a＞b，
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
13．（2分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为 x1＝﹣2，x2＝1 ．
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），
∴方程组的解为，，
即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1．
故答案为x1＝﹣2，x2＝1．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．
14．（2分）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是 2 米．
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵AB∥OP，
∴△CAB∽△CPO，
∴，
∴＝，
∴AB＝2（m），
答：树的高度AB长是2m，
故答案为：2．
【点评】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
15．（2分）当﹣2≤x≤2，则函数y＝x2﹣2x，最大值 8 ，最小值 ﹣1 ．
【分析】先判断函数y＝x2﹣2x的开口方向和对称轴，再判断其增减性及最值，即可解答问题；
【解答】解：函数y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣1），
∴当x＝1时，函数有最小值﹣1，
∵x＝﹣2时，y＝x2﹣2x＝4+4＝8，
∴当﹣2≤x≤2，则函数y＝x2﹣2x，最大值8，最小值﹣1．
故答案为：8，﹣1．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，需牢记二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等知识．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…，An在y轴负半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn，在二次函数y＝﹣x2，位于第三象限的图象上，若四边形OB1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形An﹣1BnAn∁n都是正方形，则正方形An﹣1BnAn∁n的面积为 2n2 ．
【分析】根据正方形的性质以及二次函数的性质，依次求出OB1A1C1，A1C2A2B2的面积，总结规律从而得出第n个正方形的面积．
【解答】解：由正方形的性质可知，B1点到x轴和y轴的距离相等，则有：﹣x＝x2，
解得：x＝﹣1，
∴B1（﹣1，﹣1），
∴A1（0，﹣2），＝2，
再看第二个正方形，可得方程：﹣x＝﹣2+x2，
解得：x＝﹣2，
∴B2（﹣2，﹣4），
∴A2（0，﹣6），＝32，
由此可推知，Bn（﹣n，﹣n2），
∴＝n•n×4÷2＝2n2．
故答案为：2n2．
【点评】本题主要考查了坐标的变化规律，得出第n个B点的坐标以及B点坐标与正方形面积之间的关系是本题解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分；第23-26题，每小题5分；27-28题每题7分）
17．（5分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠AED＝∠B，若AE＝3，EC＝1，AD＝2．求AB的长．
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
∴AB＝6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18．（5分）已知反比例函数图象经过A（1，1）．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若点（2，y1），（4，y2）是反比例函数图象上两点，试比较y1，y2大小．
【分析】（1）将点A（1，1）代入y＝之中，求出k的值即可．
（2）将点（2，y1），（4，y2）分别代入（1）中所求的函数解析式求出y1，y2，进而再比较它们的大小即可．
【解答】解：（1）将点A（1，1）代入y＝，得k＝1，
∴反比例函数解析式为：y＝，
（2）∵点（2，y1），（4，y2）是反比例函数图象上两点，
∴当x＝2时，y1＝，当x＝4时，y2＝，
∴y1＞y2．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式，理解反比例函数图象上的点都满足反比例函数的解析式，满足反比例函数的解析式得点都在反比例函数图象上是解决问题的关键．
19．（5分）用配方法把二次函数y＝x2﹣2x，化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴．
【分析】利用配方法即可把二次函数的一般式化成顶点式．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x
＝x2﹣2x+1﹣1
＝（x﹣1）2﹣1，
∴该二次函数图象的开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标是（1，﹣1）．
【点评】本题主要考查把二次函数的一般式化成顶点式，解题的关键是熟练掌握配方法的应用以及掌握二次函数的性质．
20．（5分）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣5）和（2，1）．
（1）求b，c的值；
（2）当x为何值时，y有最大值？
【分析】（1）把（0，﹣5）和（2，1）代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式；
（2）根据二次函数的性质，对称轴方程即可求得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣5）和（2，1）．
∴，
解得 ，
∴b，c的值分别为5，﹣5．
（2）∵抛物线y＝﹣x2+5x﹣5中，a＝﹣1＜0，
∴当x＝﹣＝时y有最大值．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握对称轴方程是解题的关键，难度适中．
21．（5分）如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．
（2）求∠1+∠2的度数．
【分析】（1）设正方形的边长为a，求出AC的长为a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF与△GCA相似；
（2）根据相似三角形的对应角相等可得∠1＝∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF＝∠ACB＝45°，所以∠1+∠2＝45°．
【解答】解：（1）相似．
理由：设正方形的边长为a，
AC＝＝a，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠ACF＝∠ACF，
∴△ACF∽△GCA；
（2）∵△ACF∽△GCA，
∴∠1＝∠CAF，
∵∠CAF+∠2＝45°，
∴∠1+∠2＝45°．
【点评】本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．
22．（5分）如图，直线y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A，B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOC的面积．
【分析】（1）用待定系数法即可解决问题．
（2）求出点C坐标即可．
【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得，
k＝﹣2×4＝﹣8，
所以反比例函数的解析式为．
将x＝﹣4代入反比例函数解析式得，
y＝，
所以点B的坐标为（﹣4，2）．
将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为y＝x+6．
（2）将y＝0代入y＝x+6，
x+6＝0，
解得x＝﹣6，
所以点C的坐标为（﹣6，0）．
所以．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，熟知待定系数法是解题的关键．
23．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
（1）求此抛物线的解析式；
（2）画出函数图象，结合图象直接写出当0≤x≤4时，y的范围．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（0，﹣3）代入求出a的值，从而得到抛物线解析式；
（2）先利用描点法画出函数图象，然后根据二次函数的性质，结合函数图象写出当0≤x≤4时对应的y的范围．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，﹣3）代入得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，
当0≤x≤4时，y的范围为﹣4≤y≤5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
24．（6分）图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？（结果保留根号）
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图：
由已知可得抛物线顶点C坐标为（0，2），
设抛物线解析式为y＝ax2+2，将A（﹣2，0）代入得：
0＝4a+2，
解得：a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，
∴水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了（2﹣4）米，
答：水面宽度增加（2﹣4）米．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
25．（6分）阅读下面材料：
上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，求a的取值范围．
小捷的思路是：原不等式等价于x2﹣2x﹣1＞a，设函数y1＝x2﹣2x﹣1，y2＝a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．
（1）请结合小捷的思路回答：
对于任意实数x，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立，则a的取值范围是 a＜﹣2 ．
（2）参考小捷思考问题的方法，解决问题：
关于x的方程x﹣4＝在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．
【分析】（1）请结合小捷的思路回答：直接根据函数的顶点坐标可得出a的取值范围；
（2）设，y2＝a，记函数y1在0＜x＜4内的图象为G，于是原问题转化为y2＝a与G有两个交点时a的取值范围，结合图象可得出结论．
【解答】解：（1）画出函数y1＝x2﹣2x﹣1的图象，其顶点为：（1，﹣2），
由函数图象可知，a＜﹣2时，关于x的不等式x2﹣2x﹣1﹣a＞0恒成立．
故答案为：a＜﹣2；
（2）将原方程转化为x2﹣4x+3＝a，
设，y2＝a，记函数y1在0＜x＜4内的图象为G，
于是原问题转化为y2＝a与G有两个交点时a的取值范围，
结合图象可知，a的取值范围是：﹣1＜a＜3．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
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