2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，3，1B．1，3，﹣1C．0，﹣3，1D．0，﹣3，﹣1
2．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）已知A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在抛物线y＝3x2上，则y1与y2之间的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2
C．y1＝y2D．不能确定大小关系
4．（2分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0经过配方变形为（x﹣2）2＝k，则k的值是（ ）
A．﹣3B．﹣7C．1D．7
5．（2分）将抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向下平移，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口方向改变B．开口大小改变
C．对称轴不变D．顶点位置不变
6．（2分）陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O旋转x°可以与自身重合，则x的值可以是（ ）
A．30B．45C．60D．105
7．（2分）小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：
设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2×150x＝216B．150x2＝216
C．150+150x2＝216D．150（1+x）2＝216
8．（2分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，将AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°），得到线段AE，连接CE，设AB＝a，CE＝b，下列说法正确的是（ ）
A．若α＝30°，则B．若α＝45°，则
C．若α＝60°，则b＝aD．若α＝90°，则b＝2a
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）方程x2﹣4＝0的解是 ．
10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，4）与点B关于原点对称，则点B的坐标是 ．
11．（2分）写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式 ．
12．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC 绕点A逆时针旋转到△ADE．若AD⊥BC，则旋转角的度数是 ．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是 ．
15．（2分）如图，二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象与y轴的交点坐标为（0，1），若函数值y＜1，则自变量x的取值范围是 ．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m，n），称关于x的方程x2+mx+n＝0为点P的对应方程．如图，点A（﹣1，0），点B（1，1），点C（﹣2，2）．
给出下面三个结论：
①点A的对应方程有两个相等的实数根；
②在图示网格中，若点P（m，n）（m，n均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个；
③线段BC上任意点的对应方程都没有实数根．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）解方程：x2﹣6x+2＝0（用配方法）．
18．（5分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且分别与AD，BC交于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）记四边形ABFE的面积为S1，▱ABCD的面积为S2，用等式表示S1和S2的关系．
19．（5分）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的根，求代数式 m（m﹣1）+5 的值．
20．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）点P（﹣2，7） 该函数的图象上（填“在”或“不在”）．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求m的取值范围．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，4），B（﹣2，0），将△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到△OA'B'（A'，B'分别是A，B的对应点）．
（1）在图中画出△OA′B′，点A'的坐标为 ；
（2）若点M（m，2）位于△OAB内（不含边界），点M'为点M绕原点O顺时针旋转90°的对应点，直接写出M'的纵坐标n的取值范围．
23．（5分）阅读下面的材料并完成解答．
《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：
①将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 步；
②中间小正方形的面积为 平方步；
③若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为 ；
④由②③可得关于x的方程 ，进而解得矩形田地的宽为24步．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0），（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值小于二次函数y＝x2+bx+c的值，直接写出n的取值范围．
25．（6分）在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系xOy，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．
（1）小刚第一次投掷时水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
①根据上述数据，实心球运行的竖直高度的最大值为 m；
②求小刚第一次的投掷距离；
（2）已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次 （填“大”或“小”）．
26．（6分）已知二次函数．
（1）若b＝﹣1，求该二次函数图象的对称轴及最小值；
（2）若对于任意的0≤x≤2，都有y≥﹣1，求b的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在AB上（BD＜AD），过点D作DE⊥BC于点E，连接AE，将线段EA绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：FD＝AB；
（3）DF交BC于点G，用等式表示线段CE和FG的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M不与原点重合．对于点P给出如下定义：点P关于点M的对称点为P′，点P′关于直线OM的对称点为Q，称点Q是点P关于点M的“转称点”．
（1）如图，已知点M（t，0），P（t+1，1），点Q是点P关于点M的“转称点”．
①当t＝2时，在图中画出点Q的位置，并直接写出点Q的坐标；
②PQ的长度是否与t有关？若无关，求PQ的长；若有关，说明理由；
（2）已知点A（3，4），△ABC是边长为2的等边三角形（点A，B，C按逆时针方向排列），点N是点B关于点C的“转称点”，在△ABC绕点A旋转的过程中，当BN最大时，直接写出此时OB的长．
2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）
1．（2分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，3，1B．1，3，﹣1C．0，﹣3，1D．0，﹣3，﹣1
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此作答．
【解答】解：一元二次方程x2+3x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，3，﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（2分）已知A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）都在抛物线y＝3x2上，则y1与y2之间的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2
C．y1＝y2D．不能确定大小关系
【分析】先求得函数y＝3x2上的对称轴为y轴，再判断A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）在对称轴左侧，从而判断出y1与y2的大小关系．
【解答】解：∵函数y＝3x2上的对称轴为y轴，
∴A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）在对称轴左侧，
∴抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小．
∵﹣1＞﹣2
∴y1＜y2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．
4．（2分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0经过配方变形为（x﹣2）2＝k，则k的值是（ ）
A．﹣3B．﹣7C．1D．7
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0，
x2﹣4x＝﹣3，
x2﹣4x+4＝﹣3+4，
（x﹣2）2＝1，
∴k＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
5．（2分）将抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向下平移，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口方向改变B．开口大小改变
C．对称轴不变D．顶点位置不变
【分析】由抛物线向下移动可得抛物线对称轴，顶点，开口方向和大小的变化，进而求解．
【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向下平移后，抛物线对称轴不变，开口方向和大小不变，顶点位置改变，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象平移的规律．
6．（2分）陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O旋转x°可以与自身重合，则x的值可以是（ ）
A．30B．45C．60D．105
【分析】根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角）计算出角度即可．
【解答】解：该图形内部是八边形，
那么最小的旋转角度为x＝＝45，
故选：B．
【点评】本题考查利用旋转设计图案，旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
7．（2分）小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：
设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2×150x＝216B．150x2＝216
C．150+150x2＝216D．150（1+x）2＝216
【分析】根据2020年观测鸟类种类数量×（1+年平均增长率）2＝2022年观测鸟类种类数量，列出一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得：150（1+x）2＝216．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，将AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°），得到线段AE，连接CE，设AB＝a，CE＝b，下列说法正确的是（ ）
A．若α＝30°，则B．若α＝45°，则
C．若α＝60°，则b＝aD．若α＝90°，则b＝2a
【分析】分别求出当α＝30°，45°，60°，90°时，b与a的关系即可解答．
【解答】解：当α＝30°时，过点C作CF⊥AE，如图：
∵四边形是正方形，
∴AC＝a，
根据旋转的性质可得AE＝a，
∴CF＝a，AF＝a，EF＝，
在Rt△CEF中，根据勾股定理可得b2＝（3﹣）a2，
∴b≠a，故A不合题意；
当α＝45°时，如图，
AE＝AC＝a，CD＝a，根据勾股定理b2＝a2+（a）2＝3a2，
∴b＝a，故B不合题意；
当α＝60°时，如图，
∵AE＝ACa，
∴△ACE是等边三角形，
∴b＝a，故C不合题意；
当α＝90°时，如图，
∴AC＝AE＝a，
∴CE＝2a，
∴b＝2a．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，特殊直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）方程x2﹣4＝0的解是 x1＝2，x2＝﹣2 ．
【分析】首先移项可得x2＝4，再两边直接开平方即可．
【解答】解：x2﹣4＝0，
移项得：x2＝4，
两边直接开平方得：x1＝2，x2＝﹣2，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，4）与点B关于原点对称，则点B的坐标是 （﹣3，﹣4） ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求解．
【解答】解：∵点A（3，4）与点B关于原点对称，
∴点B的坐标是（﹣3，﹣4）．
故答案为：（﹣3，﹣4）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
11．（2分）写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式 y＝﹣x2（答案不唯一） ．
【分析】由于顶点坐标为（0，0），则抛物线解析式为y＝ax2，然后a取一负数即可．
【解答】解：顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式可为y＝﹣x2．
故答案为：y＝﹣x2．（答案不唯一）
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
12．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 1 ．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（﹣2）2﹣4m＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得Δ＝0，此题难度不大．
13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC 绕点A逆时针旋转到△ADE．若AD⊥BC，则旋转角的度数是 25° ．
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，就是旋转角的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是 （3，2） ．
【分析】对应点连线的交点即为旋转中心．
【解答】解：如图，点Q即为旋转中心，Q（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
15．（2分）如图，二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象与y轴的交点坐标为（0，1），若函数值y＜1，则自变量x的取值范围是 0＜x＜2 ．
【分析】根据函数图象经过（0，1），对称轴为直线x＝1，由函数的性质可以得出函数图象经过（2，1），结合函数图象得出结论．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象与y轴的交点坐标为（0，1），对称轴为直线x＝1，
∴当x＝2时，y＝1，
∵抛物线开口向上，
∴函数值y＜1，自变量x的取值范围是0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是二次函数的性质和数形结合的思想的应用．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m，n），称关于x的方程x2+mx+n＝0为点P的对应方程．如图，点A（﹣1，0），点B（1，1），点C（﹣2，2）．
给出下面三个结论：
①点A的对应方程有两个相等的实数根；
②在图示网格中，若点P（m，n）（m，n均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个；
③线段BC上任意点的对应方程都没有实数根．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ②③ ．
【分析】①根据新定义顶点方程x2﹣x＝0，求得方程的两个解，即可判断；
②由题意得到Δ＝m2﹣4n＝0，即m2＝4n，由m，n都为整数，可以得到3组解；
③由题意得到方程x2+mx﹣+＝0，利用根的判别式判断即可．
【解答】解：①∵点A（﹣1，0），
∴点A的对应方程为x2﹣x＝0，
解得x＝0或x＝1，故①错误；
②∵点P（m，n）（m，n均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，
∴方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4n＝0，
∴m2＝4n，
∵m，n都为整数，
∴在图示网格中，m，n的整数解有、、共3个；故②正确；
③∵点B（1，1），点C（﹣2，2），
∴线段BC的解析式为y＝﹣x+（﹣2≤x≤1），
∴线段BC上任意点的坐标为（m，﹣+），其对应方程为x2+mx﹣+＝0，
∴Δ＝m2﹣4（﹣+）＝m2+m﹣＝（m+）2﹣，
∵﹣2≤m≤1，
∴﹣≤m+≤，
∴Δ＝（m+）2﹣＜0，
∴线段BC上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了点的坐标，根的判别式，能够明确新定义，正确得到对应的方程是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）解方程：x2﹣6x+2＝0（用配方法）．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：x2﹣6x+2＝0
移项，得
x2﹣6x＝﹣2，
即x2﹣6x+9＝﹣2+9，
∴（x﹣3）2＝7，
解得x﹣3＝±，
即x＝3±．
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18．（5分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且分别与AD，BC交于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）记四边形ABFE的面积为S1，▱ABCD的面积为S2，用等式表示S1和S2的关系．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，OA＝OC，则∠OAE＝∠OCF，而∠AOE＝∠COF，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△AOE≌△COF；
（2）先证明△ABC≌△CDA，则S△ABC＝S△CDA＝S▱ABCD，而S△AOE＝S△COF，则S四边形ABFE＝S△四边形ABFO+S△AOE＝S△四边形ABFO+S△COF＝S△ABC＝S▱ABCD，所以S1＝S2．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
（2）在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴S△ABC＝S△CDA＝S▱ABCD，
∵△AOE≌△COF，
∴S△AOE＝S△COF，
∴S四边形ABFE＝S△四边形ABFO+S△AOE＝S△四边形ABFO+S△COF＝S△ABC＝S▱ABCD，
∴S1＝S2．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明S△ABC＝S△CDA＝S▱ABCD是解题的关键．
19．（5分）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的根，求代数式 m（m﹣1）+5 的值．
【分析】首先把m代入已知方程中，然后利用整体代值的思想即可求解．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的根，
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴m（m﹣1）+5
＝m2﹣m+5
＝2+5
＝7．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是利用整体代入的思想．
20．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）点P（﹣2，7） 不在 该函数的图象上（填“在”或“不在”）．
【分析】（1）用描点法画出二次函数的图象即可；
（2）把x＝﹣2代入y＝x2﹣2x，解得y＝8，即可判断点P（﹣2，7）不在该函数的图象上．
【解答】解：（1）列表：
描点、连线，画出函数图象如图：
；
（2）∵当x＝﹣2时，y＝x2﹣2x＝8，
∴点P（﹣2，7）不在该函数的图象上．
故答案为：不在．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标画出函数图象是解题的关键．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求m的取值范围．
【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x1＝2﹣m，x2＝﹣1，结合该方程有一个根是正数可得出2﹣m＞0，解之即可得出m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵一元二次方程x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0，
∴Δ＝（m﹣1）2﹣4（m﹣2）
＝m2﹣2m+1﹣4m+8
＝（m﹣3）2．
∵（m﹣3）2≥0，
∴Δ≥0．
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2+（m﹣1）x+m﹣2＝0，
∴（x+m﹣2）（x+1）＝0，
∴x1＝2﹣m，x2＝﹣1．
∵该方程有一个根是正数，
∴2﹣m＞0，
∴m＜2．
【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，4），B（﹣2，0），将△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到△OA'B'（A'，B'分别是A，B的对应点）．
（1）在图中画出△OA′B′，点A'的坐标为 （4，2） ；
（2）若点M（m，2）位于△OAB内（不含边界），点M'为点M绕原点O顺时针旋转90°的对应点，直接写出M'的纵坐标n的取值范围．
【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（2）由题意可得﹣2＜m＜﹣1，进而可得1＜n＜2．
【解答】解：（1）如图，△OA′B′即为所求．
由图可得，A'（4，2）．
故答案为：（4，2）．
（2）由题意得，﹣2＜m＜﹣1，
∴点M'在线段CD上，且不与点C，D重合，
∴1＜n＜2．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
23．（5分）阅读下面的材料并完成解答．
《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：
①将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 60 步；
②中间小正方形的面积为 144 平方步；
③若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为 （60﹣2x）2平方步 ；
④由②③可得关于x的方程 （60﹣2x）2＝144 ，进而解得矩形田地的宽为24步．
【分析】①由矩形田地的长与宽之和，可得出大正方形的边长为60步；
②利用中间小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4×矩形田地的面积，即可求出结论；
③若设矩形田地的宽为x步，则长为（60﹣x）步，中间小正方形的边长为（60﹣2x）步，进而可得出小正方形的面积为（60﹣2x）2平方步；
④由②③可得关于x的方程，此题得解．
【解答】解：①∵矩形田地的长与宽之和为60步，
∴按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为60步．
故答案为：60；
②根据题意得：中间小正方形的面积为60×60﹣864×4＝144（平方步）．
故答案为：144；
③若设矩形田地的宽为x步，则长为（60﹣x）步，中间小正方形的边长为（60﹣x﹣x）＝（60﹣2x）步，
∴小正方形的面积为（60﹣2x）2平方步．
故答案为：（60﹣2x）2平方步；
④由②③可得关于x的方程：（60﹣2x）2＝144．
故答案为：（60﹣2x）2＝144．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0），（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值小于二次函数y＝x2+bx+c的值，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）利用交点式直接写出抛物线解析式；
（2）由于当直线y＝x+n经过点（3，0）时，n＝﹣3，利用一次函数和二次函数的性质，当n≤﹣3时，数y＝x+n的值小于二次函数y＝x2+bx+c的值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0），（3，0），
∴二次函数解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），
即y＝x2﹣4x+3；
（2）当直线y＝x+n经过点（3，0）时，3+n＝0，解得n＝﹣3，
此时函数y＝x+n的值等于二次函数y＝x2+bx+c的值，
所以当n≤﹣3时，数y＝x+n的值小于二次函数y＝x2+bx+c的值，
即n的取值范围为n≤﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
25．（6分）在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系xOy，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．
（1）小刚第一次投掷时水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
①根据上述数据，实心球运行的竖直高度的最大值为 2.5 m；
②求小刚第一次的投掷距离；
（2）已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次 小 （填“大”或“小”）．
【分析】（1）①由抛物线的对称性可知实心球运行的竖直高度的最大值；②利用待定系数法求出函数解析式，令y＝0，即可求出小刚第一次的投掷距离；
（2）根据抛物线的对称性即可作出判断．
【解答】解：（1）①由表格数据可知，抛物线的对称轴为直线x＝＝3，
当x＝3时，y＝2.5，
故答案为：2.5；
②设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+2.5，
∵当x＝0时，y＝1.6，
∴1.6＝a×32+2.5，
解得a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2+2.5，
当y＝0时，0＝（x﹣3）2+2.5，
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
答：小刚第一次的投掷距离为8m；
（2）∵第二次投掷实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同，
∴第二次投掷抛物线对称轴与第一次对称轴相同，
又∵第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，第二次投掷距离比第一次远，
∴实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次小，
故答案为：小．
【点评】本题考查二次函数的应用，掌握二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
26．（6分）已知二次函数．
（1）若b＝﹣1，求该二次函数图象的对称轴及最小值；
（2）若对于任意的0≤x≤2，都有y≥﹣1，求b的取值范围．
【分析】（1）把b＝﹣1代入解析式，并把解析式化为顶点式即可求解；
（2）求出抛物线对称轴为直线x＝﹣b，再分﹣b≤0，0＜﹣b＜2，﹣b≥2三种情况由函数的性质进行讨论．
【解答】解：（1）当b＝﹣1时，y＝x2+bx+1＝x2﹣x+1＝（x﹣1）2+，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1，最小值为；
（2）∵y＝x2+bx+1，
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣b，
①当x＝﹣b≤0，即b≥0时，
∴当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x＝0时，y最小，最小值为1＞﹣1，
∴b≥0；
②当0＜﹣b＜2时，即﹣2＜b＜0，
此时对称轴在0～2段内，
∴当x＝﹣b时y有最小值，
∴ymin＝×（﹣b）2+b×（﹣b）+1＝﹣b2+1，
令﹣b2+1≥﹣1，
解得﹣2≤b≤2，
∴﹣2＜b＜0；
③当x＝﹣b≥2时，即b≤﹣2，
∴当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝2时，ymin＝×22+2b+1＝2b+3≥﹣1，
解得b≥﹣2，
∴b＝﹣2，
综上所述，b的取值范围为b≥﹣2．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数的图象和二次函数的最值，关键是进行分类讨论．
27．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在AB上（BD＜AD），过点D作DE⊥BC于点E，连接AE，将线段EA绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：FD＝AB；
（3）DF交BC于点G，用等式表示线段CE和FG的数量关系，并证明．
【分析】（1）由题意画出图形即可；
（2）由“SAS”可证△BEA≌△DEF，可得FD＝AB；
（3）先证△ADH是等腰直角三角形，可得AD＝DH＝EC，由“SAS”可证△DEA≌△GEF，可得FG＝AD，可得结论．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠BAC＝45°，
∵DE⊥BC，
∴∠B＝∠BDE＝45°，
∴BE＝DE，
∵将线段EA绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°＝∠BED，
∴∠BEA＝∠DEF，
∴△BEA≌△DEF（SAS），
∴FD＝AB；
（3）FG＝CE，理由如下：
如图，过点D作DH⊥AC于H，
又∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴四边形DECH是矩形，
∴EC＝DH，
∵DH⊥AC，∠BAC＝45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD＝DH＝EC，
∵△BEA≌△DEF，
∴∠B＝∠EDG＝45°，
∴DE＝DG，
∵∠AEF＝∠DEC＝90°，
∴∠DEA＝∠CEF，
又∵AE＝EF，
∴△DEA≌△GEF（SAS），
∴FG＝AD，
∴FG＝CE．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M不与原点重合．对于点P给出如下定义：点P关于点M的对称点为P′，点P′关于直线OM的对称点为Q，称点Q是点P关于点M的“转称点”．
（1）如图，已知点M（t，0），P（t+1，1），点Q是点P关于点M的“转称点”．
①当t＝2时，在图中画出点Q的位置，并直接写出点Q的坐标；
②PQ的长度是否与t有关？若无关，求PQ的长；若有关，说明理由；
（2）已知点A（3，4），△ABC是边长为2的等边三角形（点A，B，C按逆时针方向排列），点N是点B关于点C的“转称点”，在△ABC绕点A旋转的过程中，当BN最大时，直接写出此时OB的长．
【分析】（1）①根据“转称点”的定义画出点Q的位置．即可写出点Q的坐标；
②由题意可得，PQ∥x轴，根据两点的距离求解即可；
（2）画出图形，可得在△ABC绕点A旋转的过程中，当O、B，C、B′共线时，BN最大，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）①当t＝2时，点M（2，0），P（3，1），
如图：
∵点Q是点P关于点M的“转称点”．
∴P′（1，﹣1），Q（1，1）；
②∵点M（t，0），P（t+1，1），
∴P′（t﹣1，﹣1），Q（t﹣1，1），
∴PQ∥x轴，
∴PQ＝t+1﹣（t﹣1）＝2；
∴PQ的长度与t有无关，PQ的长为2；
（2）如图：
由“转称点”的定义得C为BB′的中点，D为NB′的中点，
∴CD∥BN，CD＝BN，
∴当CD最大时，BN最大，
由图得在△ABC绕点A旋转的过程中，当O、B，C、B′共线时，BN最大，
如图1：
∵△ABC是边长为2的等边三角形
∴BC＝CB′＝2，AH＝，BH＝1，
∵点A（3，4），
∴OA＝＝5，
∴OH＝＝＝，
∴OB＝﹣1．
如图2：
∵△ABC是边长为2的等边三角形
∴BC＝CB′＝2，AH＝，BH＝1，
∵点A（3，4），
∴OA＝＝5，
∴OH＝＝＝，
∴OB＝OH+BH＝+1．
综上，当BN最大时，OB的长为+1或﹣1．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了新定义，坐标与图形性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，掌握新定义，坐标与图形性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/13 20:47:06；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111观鸟记录年度总结
2020年：观测鸟类150种
2021年：观测鸟类
2022年：观测鸟类216种
水平距离x/m
0
1
2
3
4
竖直高度y/m
1.6
2.1
2.4
2.5
2.4
观鸟记录年度总结
2020年：观测鸟类150种
2021年：观测鸟类
2022年：观测鸟类216种
x
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