2022-2023学年北京市燕山区八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市燕山区八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）第24届冬奥会于2022年2月20日在世界首个“双奥之城”——北京圆满落下帷幕．下面是从历届冬奥会的会徽中选取的部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．2，3，6D．4，6，10
3．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则BD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（3分）△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）下列多边形中，内角和为720°的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠BAC＝80°，∠B＝40°，则∠E的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
7．（3分）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离为10，点Q是OB边上任意一点，则PQ的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，ED垂直平分边AB，交AB于点D，BC于点E，则△ACE的周长等于（ ）
A．12B．14C．16D．18
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做格点．如图，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（3，3），点C为第一象限内的格点，若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）平面直角坐标系中点P（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ACD的度数是 ．
13．（3分）已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是 ．
14．（3分）工人师傅做门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是 ．
15．（3分）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中，依据全等三角形的性质可得∠O＝∠O'，这里判断△C'O'D'≌△COD的依据是 ．
16．（3分）等腰三角形的顶角是70°，则其底角是 ．
17．（3分）已知等腰三角形两边长分别为3cm和5cm，则等腰三角形的周长为 cm．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次的图形变化（平移、轴对称）得到，请写出一种由△OCD得到△AOB的过程 ．
三、解答题（本题共46分，其中第19−21题，每题各5分；第22−25题，每题各6分；第26题7分）
19．（5分）如图，已知∠1＝75°，∠2＝35°，∠3＝40°，求证：a∥b．
20．（5分）如图，△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E．若DE＝2，AB＝5，求AE．
21．（5分）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AB∥DE，请你再添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，并证明．
22．（6分）如图，格点△ABC在网格中的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称△A'B'C'；
（2）若网格中每个小正方形的边长为1，则△A'B'C'的面积为 ；
（3）在直线MN上找一点P，使PA+PC最小（不写作法，保留作图痕迹）．
23．（6分）数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ ，（ ）（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠ ，（ ）（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
24．（6分）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点A在直线l上，BM⊥l于M，CN⊥l于N．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示BM，CN，MN之间的数量关系，并证明．
26．（7分）过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”．
（1）下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 （只填写序号）．
①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为150°的等腰三角形．
（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数；
（3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝2，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l，DN⊥l，垂足为M，N．若射线CD为△ABC的“友好分割线”，求CM+DN的最大值．
2022-2023学年北京市燕山区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）第24届冬奥会于2022年2月20日在世界首个“双奥之城”——北京圆满落下帷幕．下面是从历届冬奥会的会徽中选取的部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．2，3，6D．4，6，10
【分析】根据三角形的三条边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可判断．
【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；
B、2+3＞4，能组成三角形，符合题意．
C、2+3＜6，不能组成三角形，不符合题意；
D、4+6＝10，不能组成三角形，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．
3．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则BD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝3，
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质，属于中考基础题．
4．（3分）△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，则BC＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】先判断△ABC为等边三角形，然后等边三角形的性质得到BC＝AB．
【解答】解：∵AB＝AC＝2，
∴∠C＝∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°．
5．（3分）下列多边形中，内角和为720°的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据多边形内角和定理可求出多边形的边数，进而得出结论．
【解答】解：设这个多边形为n边形，则
（n﹣2）×180°＝720°，
解得n＝6，
即这个多边形为六边形，
故选：D．
【点评】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和定理是正确解答的关键．
6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，∠BAC＝80°，∠B＝40°，则∠E的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
【分析】根据△ABC≌△ADE可得∠E＝∠C，再根据∠BAC＝80°，∠B＝40°求出∠C，可得答案．
【解答】解：因为∠BAC＝80°，∠B＝40°，
所以∠C＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝60°，
又△ABC≌△ADE，
所以∠E＝∠C＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
7．（3分）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用高线的概念得出答案．
【解答】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键．
8．（3分）点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离为10，点Q是OB边上任意一点，则PQ的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】过P作PD⊥OB于D，根据角平分线的性质得出PC＝PD＝10，再根据垂线段最短得出即可．
【解答】解：过P作PD⊥OB于D，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，OP平分∠AOB，
∴PC＝PD，
∵点P到OA边的距离等于10，
∴PD＝PC＝10，
∴PQ≥10（当Q与点D重合时，PQ＝10），
∴PQ的最小值为10．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，能够正确添加辅助线并求出PD＝PC是解此题的关键．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，ED垂直平分边AB，交AB于点D，BC于点E，则△ACE的周长等于（ ）
A．12B．14C．16D．18
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵ED垂直平分边AB，
∴EA＝EB，
∴△ACE的周长＝AC+EC+EA＝AC+EC+EB＝AC+BC，
∵AC＝4，BC＝8，
∴△ACE的周长＝AC+BC＝4+8＝12，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做格点．如图，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（3，3），点C为第一象限内的格点，若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据轴对称图形的性质得△ABC是等腰三角形，再分AB为腰或底两种情形，分别画出图形，从而得出答案．
【解答】解：若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，
则△ABC是等腰三角形，当AB为底时，在第一象限共有2个点符合题意，
当AB为腰时，共有2个点C符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）平面直角坐标系中点P（3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是 （3，2） ．
【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【解答】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点P（3，﹣2）关于x轴的对称点P′的坐标是（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标的知识，注意掌握两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ACD的度数是 100° ．
【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝60°+40°＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
13．（3分）已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是 4cm ．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，
∴斜边的长＝2×2＝4cm．
故答案为：4cm．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
14．（3分）工人师傅做门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是 三角形的稳定性 ．
【分析】用木条固定长方形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
15．（3分）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中，依据全等三角形的性质可得∠O＝∠O'，这里判断△C'O'D'≌△COD的依据是 SSS ．
【分析】利用作图痕迹得OC＝OD＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，则根据“SSS”可判断△C'O'D'≌△COD，从而得到∠O＝∠O′．
【解答】解：由作图痕迹得OC＝OD＝OC′＝OD′，CD＝C′D′，
∴△C'O'D'≌△COD（SSS），
∴∠O＝∠O′．
故答案为：SSS．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
16．（3分）等腰三角形的顶角是70°，则其底角是 55° ．
【分析】根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵等腰三角形的顶角是70°，
∴底角＝（180°﹣70°）＝55°．
故答案为：55°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，是基础题，主要利用了两底角相等的性质．
17．（3分）已知等腰三角形两边长分别为3cm和5cm，则等腰三角形的周长为 11或13 cm．
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：当等腰三角形的腰为3cm，底为5cm时，3cm，3cm，5cm能够组成三角形，此时周长为3+3+5＝11cm；
当等腰三角形的腰为5，底为3cm时，3cm，5cm，5cm能够组成三角形，此时周长为5+5+3＝13cm．
则这个等腰三角形的周长是11cm或13cm．
故答案为11或13．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次的图形变化（平移、轴对称）得到，请写出一种由△OCD得到△AOB的过程 将△OCD沿y轴向右翻折，再向上平移3个单位长度得到△AOB（或先向上平移3个单位长度，再沿y轴向右翻折得到△AOB） ．
【分析】根据轴对称的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．
【解答】解：先将△OCD沿y轴向右翻折，再向上平移3个单位长度得到△AOB，
或先向上平移3个单位长度，再沿y轴向右翻折得到△AOB．
故答案为：先将△OCD沿y轴向右翻折，再向上平移3个单位长度得到△AOB（或先向上平移3个单位长度，再沿y轴向右翻折得到△AOB）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣轴对称，坐标与图形变化﹣平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线．
三、解答题（本题共46分，其中第19−21题，每题各5分；第22−25题，每题各6分；第26题7分）
19．（5分）如图，已知∠1＝75°，∠2＝35°，∠3＝40°，求证：a∥b．
【分析】先根据三角形外角性质，求得∠4＝75°，再根据∠1＝75°，即可得到∠1＝∠4，进而根据平行线的判定可得a∥b．
【解答】证明：∵∠4是∠2，∠3所在三角形的外角，
∴∠4＝∠3+∠2＝75°，
又∵∠1＝75°，
∴∠1＝∠4，
∴a∥b．
【点评】本题主要考查了平行线的判定以及三角形外角性质，解题时注意：内错角相等，两直线平行．
20．（5分）如图，△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E．若DE＝2，AB＝5，求AE．
【分析】先根据角平分线性质，得∠ABD＝∠CBD，由平行线性质得到：∠EDB＝∠CBD，得到∠EBD＝∠EDB，根据等角对等边得出BE＝DE＝2，根据线段的和差即可得解．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE＝2，
∵AB＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝3．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质．熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键．属较容易题．
21．（5分）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AB∥DE，请你再添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，并证明．
【分析】添加∠B＝∠E，根据ASA证明△ABC≌△DEF即可．
【解答】解：添加∠B＝∠E（答案不唯一），理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22．（6分）如图，格点△ABC在网格中的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称△A'B'C'；
（2）若网格中每个小正方形的边长为1，则△A'B'C'的面积为 ；
（3）在直线MN上找一点P，使PA+PC最小（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线MN的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可；
（3）连接A′C，与直线MN的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．
（2）△A'B'C'的面积为3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝，
故答案为：；
（3）如图所示，点P即为所求．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
23．（6分）数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ DB ，（ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ）（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠ BDC ，（ 等边对等角 ）（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）补全的图形如图所示；
（2）连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC（等边对等角），
∴∠ACB＝2∠A．
故答案为：DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；∠BDC；等边对等角．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（6分）如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE．
【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝CE．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知），
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD与△CAE中，
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点A在直线l上，BM⊥l于M，CN⊥l于N．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示BM，CN，MN之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据已知条件可证△AMB≌△CNA（AAS），根据全等三角形的性质可得AM＝CN，AN＝BM，进一步可得BM+CN＝MN．
【解答】解：（1）补全图形如下：
（2）BM+CN＝MN，证明如下：
∵BM⊥l于点M，CN⊥l于点N，
∴∠BMA＝∠ANC＝90°，
∴∠MBA+∠MAB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠MAB+∠NAC＝90°，
∴∠MBA＝∠NAC，
在△AMB和△CNA中，
，
∴△AMB≌△CNA（AAS），
∴AM＝CN，AN＝BM，
∴BM+CN＝AM+AN＝MN．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
26．（7分）过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”．
（1）下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 ② （只填写序号）．
①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为150°的等腰三角形．
（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数；
（3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝2，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l，DN⊥l，垂足为M，N．若射线CD为△ABC的“友好分割线”，求CM+DN的最大值．
【分析】（1）根据“友好分割线”的定义判断即可；
（2）分三种情形：当“友好分割线”经过点C，当“友好分割线”经过点A，当“友好分割线”经过点B，分别画出图形求解即可；
（3）证明△DNE≌△AGE（ASA），推出DN＝AG．在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°推出CM≤CF，AG≤AF，推出CM+AG≤CF+AF，即CM+AG≤AC，由此可得结论．
【解答】解：（1）根据“友好分割线”的定义可知，等腰直角三角形，顶角为150°的等腰三角形存在“友好分割线”．等边三角形不存在“友好分割线”．
故答案为：②；
（2）如图3﹣1中，当EC＝EA时，∠AEC＝60°，
当FC＝FB时，∠BFC＝100°，
当BC＝BG时，∠B＝40°．
如图3﹣2中，当AC＝AR时，∠CAR＝20°，
当CA＝CW时，∠C＝80°，
如图3﹣3中，BC＝BQ时，∠CBQ＝20°
，
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20°，40°，60°，80°或100°；
（3）解：如图2中，作AG⊥l于点G．
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°．
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°．
∴△CDA不是等腰三角形．
∵CD为△ABC的“友好分割线”，
∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形．
∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝2．
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CD＝4．
∵DN⊥l于N，
∴∠DNE＝∠AGE＝90°．
∵E为AD的中点，
∴BE＝AE．
在△DNE和△AGE中，
∴△DNE≌△AGE（ASA），
∴DN＝AG．
在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°，
∴CM≤CF，AG≤AF，
∴CM+AG≤CF+AF，
即CM+AG≤AC，
∴CM+DN≤4，
∴CM+DN的最大值为4．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/10 12:22:12；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111