72-2024年四川省巴中市中考数学试卷

这是一份72-2024年四川省巴中市中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在0，1，﹣1，π中最小的实数是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．π
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）函数自变量的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x＞﹣2C．x≥﹣2D．x≠﹣2
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+b＝3abB．a3•a2＝a5
C．a8÷a2＝a4（a≠0）D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
5．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0B．a+b＜0C．|a|＞|b|D．a﹣b＜0
6．（3分）如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
8．（3分）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为x km/h，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）一组数据﹣10，0，11，17，17，31，若去掉数据11，下列会发生变化的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．极差
10．（3分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（ ）
A．8B．10C．12D．13
11．（3分）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝（ ）
A．B．C．D．
12．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（ ）
A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E
B．∠BDC＝3∠ABD
C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形
D．当E为AB中点时，
二、填空题
13．（3分）27的立方根是 ．
14．（3分）从五边形的一个顶点出发可以引 条对角线．
15．（3分）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的大小为 ．
17．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB＝3，BC＝4，则点F到BD的距离为 ．
18．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为 ．
①；
②当时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3；
③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立；
④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2．
三、解答题
19．（16分）（1）计算：．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值：，其中．
20．（10分）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了m名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如图统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题．
（1）求m＝ ，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？
（3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．
21．（10分）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1．
（1）求k的值及点B的坐标．
（2）点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当时，求PM的最小值．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）求证：BD＝ED．
（3）若DE＝5，CF＝4，求AB的长．
24．（12分）综合与实践
（1）操作与发现平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E、F是AD、BC边上的点．经过剪拼，四边形GHK为矩形．则△EDK≌ ．
（2）探究与证明探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，E、F、G、H是四边形ABCD边上的点．OJKL是拼接之后形成的四边形．
①通过操作得出：AE与EB的比值为 ．
②证明：四边形OJKL为平行四边形．
（3）实践与应用任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．
25．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标．
（3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当取得最大值时，求sin∠BCP的值．
2024年四川省巴中市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）在0，1，﹣1，π中最小的实数是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．π
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣1＜0＜1＜π，
∴在0，1，﹣1，π中最小的实数是﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此类问题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
选项D的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
3．（3分）函数自变量的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x＞﹣2C．x≥﹣2D．x≠﹣2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+2≥0，
解得：x≥﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+b＝3abB．a3•a2＝a5
C．a8÷a2＝a4（a≠0）D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】利用合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则，完全平方公式逐项判断即可．
【解答】解：3a与b不是同类项，无法合并，则A不符合题意；
a3•a2＝a5，则B符合题意；
a8÷a2＝a6（a≠0），则C不符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂乘法及除法，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0B．a+b＜0C．|a|＞|b|D．a﹣b＜0
【分析】由数轴得出﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，根据两数相乘，异号得负即可得出ab＜0；根据绝对值的意义得出|a|＜|b|；根据异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号得出a+b＞0；根据数轴上左边的数总比右边的数小得出a﹣b＜0；从而作出判断．
【解答】解：由数轴得，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴ab＜0，a+b＞0，|a|＜|b|，a﹣b＜0，
故选项A、B、C错误，选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质，有理数的乘法，有理数的加减法，绝对值的意义是解题的关键．
6．（3分）如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1＝40°，则∠2的大小为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【分析】依据题意，过A作n∥p，结合图形，可得∠1＝∠3＝40°，又m∥n，n∥p，从而m∥p，故可得∠2＝∠BAC＝30°+∠3，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，如图，过A作n∥p，
∴∠1＝∠3＝40°．
∵m∥n，n∥p，
∴m∥p．
∴∠2＝∠BAC＝30°+∠3＝30°+40°＝70°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，BC＝AD，OC＝OA＝AC＝2，因为点E是BC的中点，所以CE＝BE＝BC，OE＝AB，则CE+OE＝（BC+AB）＝3，所以CE+OE+OC＝5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝4，
∴AB＝CD，BC＝AD，OC＝OA＝AC＝2，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE＝BC，OE＝AB，
∴CE+OE＝（BC+AB），
∵▱ABCD的周长为12，
∴2BC+2AB＝12，
∴（BC+AB）＝3，
∴CE+OE＝3，
∴CE+OE+OC＝3+2＝5，
∴△COE的周长为5，
故选：B．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，求得CE+OE＝（BC+AB）＝3是解题的关键．
8．（3分）某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为x km/h，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设慢车的速度为x km/h，则快车的速度为（x+20）km/h，根据目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行0.5h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达，列方程即可．
【解答】解：设慢车的速度为x km/h，则快车的速度为（x+20）km/h，
根据题意可得：﹣＝．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
9．（3分）一组数据﹣10，0，11，17，17，31，若去掉数据11，下列会发生变化的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．极差
【分析】根据数据的变化可以得到对数据的中位数、众数、平均数及极差的变化情况．
【解答】解：一组数据﹣10，0，11，17，17，31的平均数为＝11，中位数为＝14，众数为17，极差为：31﹣（﹣10）＝41；
若去掉数据11，则平均数为＝11，中位数为＝17，众数为17，极差为：31﹣（﹣10）＝41；
所以会发生变化的是中位数．
故选：B．
【点评】本题考查了极差、众数、中位数及算术平均数的定义及求法，解题的关键是正确的计算后对比着找到正确的答案．
10．（3分）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝（ ）
A．8B．10C．12D．13
【分析】设BC＝x，则BD＝BA＝x+1，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程求解即可．
【解答】解：设BC＝x，则BD＝BA＝x+1，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝AC2+BC2，
即（x+1）2＝52+x2，
解得x＝12，
即BC＝12，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
11．（3分）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA＝1，则OG＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据相似三角形的性质得出图中直角三角形的一个锐角为30°，再利用特殊角的三角函数值结合相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：因为图中12个直角三角形都相似，
所以360°÷12＝30°，
即直角三角形中较小的锐角为30°．
在Rt△OAB中，
cs∠AOB＝，
因为∠AOB＝30°，
所以，
同理可得，
，，，，
所以．
又因为OA＝1，
所以OG＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（ ）
A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E
B．∠BDC＝3∠ABD
C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形
D．当E为AB中点时，
【分析】对于选项A，连接DE，根据CE⊥AB，点D是AC的中点得DE＝AD＝CD＝1/2AC，则BE＝DE，进而得点D在线段BD的垂直平分线上，由此可对选项A进行判断；
对于选项B，设∠ABD＝α，根据BE＝DE得∠EDB＝∠ABD＝α，的∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α，再根据DE＝AD得∠A＝∠AED＝2α，则∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，由此可对选项B进行判断；
对于选项C，当E为AB中点时，则BE＝1/2AB，CE是线段AB的垂直平分线，由此得AC＝BC，然后根据BE＝AB，CD＝AC，BE＝CD得AB＝AC，由此可对选项C进行判断；
对于选项D，连接AO并延长交BC于F，根据E为AB中点，D为AC的中点得点F为BC的中点，再根据△ABC是等边三角形得∠OBC＝∠OAC＝30°，则OA＝OB，进而得OB＝2OF，AF＝3OF，由此得S△OBC＝BC•OF，S△ABC＝BC•AF＝BC•OF，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
连接DE，如图1所示：
∵CE⊥AB，点D是AC的中点，
∴DE为Rt△AEC斜边上的中线，
∴DE＝AD＝CD＝AC，
∵BE＝CD，
∴BE＝DE，
∴点D在线段BD的垂直平分线上，
即线段BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，
故选项A正确，不符合题意；
对于选项B，
设∠ABD＝α，
∵BE＝DE，
∴∠EDB＝∠ABD＝α，
∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α，
∵DE＝AD，
∴∠A＝∠AED＝2α，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，
即∠BDC＝3∠ABD，
故选B正确，不符合题意；
对于选项C，
当E为AB中点时，则BE＝1/2AB，
∵CE⊥AB，
∴CE是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，
∵BE＝AB，CD＝AC，BE＝CD，
∴AB＝AC，
∴AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
故选C正确，不符合题意；
对于选项D，
连接AO，并延长交BC于F，如图2所示：
当E为AB中点时，
∵点D为AC的中点，
∴根据三角形三条中线交于一点得：点F为BC的中点，
∵当E为AB中点时，△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AF⊥BC，AF平分∠OAC，BD平分∠ABC，
∴∠OBC＝∠OAC＝30°，
∴OA＝OB，
在Rt△OBF中，OB＝2OF，
∴OA＝OB＝2OF，
∴AF＝OA+OF＝3OF，
∴S△OBC＝BC•OF，S△ABC＝BC•AF＝BC•OF，
∴，
故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．
二、填空题
13．（3分）27的立方根是 3 ．
【分析】根据立方根的定义解答即可．
【解答】解：∵33＝27，
∴27的立方根是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
14．（3分）从五边形的一个顶点出发可以引 2 条对角线．
【分析】根据多边形的对角线性质列式计算即可．
【解答】解：从五边形的一个顶点出发可以引的对角线条数为5﹣3＝2（条），
故答案为：2．
【点评】本题考查多边形的对角线，熟练掌握其性质是解题的关键．
15．（3分）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 4 ．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：令方程的另一个根为m，
因为方程的一个根为﹣2，
所以﹣2+m＝2，
解得m＝4，
所以方程的另一个根为4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
16．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的大小为 60° ．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D＝180°，根据圆周角定理得到∠D＝∠AOC，根据菱形的性质得到∠B＝∠AOC，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
由圆周角定理得：∠D＝∠AOC，
∵四边形ABCO为菱形，
∴∠B＝∠AOC，
∴∠AOC+∠AOC＝180°，
解得：∠AOC＝120°，
∴∠ADC＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
17．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB＝3，BC＝4，则点F到BD的距离为 ．
【分析】过点F作FH⊥DB，垂足为H，利用勾股定理求出AC的长，利用角的余弦值求出DF的长，再利用勾股定理求出FC，从而得出BF，利用三角形面积求出FH即可．
【解答】解：如图，过点F作FH⊥DB，垂足为H，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝BD，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝BD＝＝＝5，
∴S△ADC＝AD•DC＝AC•DE，即×4×3＝×5×DE，
解得：DE＝，
∴cs∠EDC＝＝，即＝，
解得：DF＝，
∴FC＝＝＝，
∴BF＝BC−FC＝4−＝，
∴S△BDF＝BD•FH＝BF•DC，即×5×FH＝××3，
解得：FH＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．
18．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称．则下列说法正确的序号为 ①③④ ．
①；
②当时，代数式a2+b2﹣5b+8的最小值为3；
③对于任意实数m，不等式am2+bm﹣a+b≥0一定成立；
④P（x1，y1），Q（x2，y2）为该二次函数图象上任意两点，且x1＜x2，当x1+x2+2＞0时，一定有y1＜y2．
【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称，从而可得二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝﹣1，故﹣＝﹣1，即b＝2a，再结合二次函数的性质，逐个进行判断可以得解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象向右平移1个单位长度后关于y轴对称，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝﹣1．
∴﹣＝﹣1．
∴b＝2a．
∴＝2，故①正确．
将b＝2a代入a2+b2﹣5b+8，
∴a2+b2﹣5b+8＝a2+4a2﹣5×2a+8
＝5（a2﹣2a+1）+3
＝5（a﹣1）2+3．
∵，
∴当a＝时，a2+b2﹣5b+8取最小值为5×（﹣1）2+3＝，故②错误．
∵b＝2a，
∴am2+bm﹣a+b＝am2+2am﹣a+2a
＝am2+2am+a
＝a（m2+2m+1）
＝a（m+1）2．
∵a＞0，（m+1）2≥0，
∴am2+bm﹣a+b＝a（m+1）2≥0，即am2+bm﹣a+b≥0，故③正确．
∵x1+x2+2＞0，
∴＞﹣1．
∴x1，x2的中点在对称轴的右侧．
∵x1＜x2，
∴点P离对称轴的距离比Q离对称轴的距离近．
∵抛物线开口向上，
∴y1＜y2，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
三、解答题
19．（16分）（1）计算：．
（2）求不等式组的解集．
（3）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值、零指数幂计算；
（2）利用解一元一次不等式的一般步骤分别解出不等式，确定不等式组的解集；
（3）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案．
【解答】解：（1）原式＝2×+2+5﹣1
＝1+2+5﹣1
＝2+5；
（2）解不等式①，得x＞﹣6，
解不等式②，得x≤13，
∴不等式组的解集为﹣6＜x≤13；
（3）原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是实数的运算、一元一次不等式组的解法、分式的化简求值，掌握实数的混合运算法则、解一元一次不等式组的一般步骤、分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（10分）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了m名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如图统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题．
（1）求m＝ 200 ，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？
（3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率．
【分析】（1）根据喜爱篮球的人数和所占的百分比即可求出m，然后求出喜欢乒乓球的人数即可；
（2）用该校的总人数乘以最喜爱乒乓球的学生的人数所占的百分比即可；
（3）画出树状图即可解决问题．
【解答】解：（1）m＝44÷22%＝200（名），喜欢乒乓球的人数；200﹣44﹣16﹣88＝52（名），
补全统计图：
故答案为：200；
（2）1200×＝336（名），
答：估计喜欢乒乓球运动的学生有336名；
（3）画树状图得：
∵一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．
21．（10分）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
（1）求点B离水平地面的高度AB．
（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
【分析】（1）根据题意可得：BA⊥AE，再根据已知易得：在Rt△ABE中，tan∠BEA＝，从而可得∠BEA＝30°，然后在Rt△ABE中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，根据题意可得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，然后设EC＝x米，则BF＝AC＝（x+3）米，分别在Rt△CDE和Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出CD和DF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：BA⊥AE，
∵斜坡BE的坡度，
∴＝＝，
在Rt△ABE中，tan∠BEA＝＝，
∴∠BEA＝30°，
∵BE＝6m，
∴AB＝BE＝3（m），AE＝AB＝3（m），
∴点B离水平地面的高度AB为3m；
（2）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
由题意得：AB＝CF＝3m，BF＝AC，
设EC＝x米，
∵AE＝3米，
∴BF＝AC＝AE+CE＝（x+3）米，
在Rt△CDE中，∠DEC＝60°，
∴CD＝CE•tan60°＝x（米），
在Rt△BDF中，∠DBF＝45°，
∴DF＝BF•tan45°＝（x+3）米，
∵DF+CF＝CD，
∴x+3+3＝x，
解得：x＝6+3，
∴CD＝x＝（6+9）米，
∴电线塔CD的高度为（6+9）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为1．
（1）求k的值及点B的坐标．
（2）点P是线段AB上一点，点M在直线OB上运动，当时，求PM的最小值．
【分析】（1）把x＝1代入y＝x+2，得出y＝3，所以A（1，3），代入反比例函数解析式即可求出k，联立解析式求出B即可；
（2）根据确定点P的坐标，然后确定OB的解析式，进而确定PM的解析式，求出交点坐标即可．
【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+2，得出y＝3，
∴A（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝，
联立解析式得，
解得或，
∴B（﹣3，﹣1）；
（2）∵，
∴P是AB的中点，
∴P（﹣1，1），
∴OB的解析式为y＝x，
当PM取得最小值时，PM⊥OB，
∴设直线PM的解析式为y＝﹣3x+b，
代入p（﹣1，1）得3+b＝1，
解得b＝﹣2，
∴直线PM为y＝﹣3x﹣2，
联立解析式得，
解得，
∴M（﹣，﹣），
∴PM的最小值为：＝．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握求反比例函数与一次函数的交点坐标，就是把两个函数关系式联立成方程组求解．
23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）求证：BD＝ED．
（3）若DE＝5，CF＝4，求AB的长．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理的推论即可得出OD⊥BC，由DF∥BC得出OD⊥DF，于是问题得证；
（2）由等弧所对的圆周角相等得出∠DBC＝∠BAD，由角平分线的定义得出∠ABE＝∠CBE，根据三角形外角的性质及角的和差关系可证得∠DEB＝∠DBE，于是得出BD＝ED；
（3）连接CD，先证∠ABD＝∠DCF，∠ADB＝∠F，即可得到△ABD∽△DCF，即可求出AB的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵点D为的中点，O为圆心，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）证明：∵点D为的中点，
∴，
∴∠DBC＝∠BAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DEB是△ABE的外角，
∴∠DEB＝∠BAE+∠ABE，
∵∠DBE＝∠CBE+DBC，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴BD＝ED；
（3）解：如图，连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠DCF+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠DCF，
∵DF∥BC，
∴∠ACB＝∠F，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠F，
∴△ABD∽△DCF，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴BD＝CD，
由（2）知BD＝ED，
∴CD＝BD＝DE＝5，
∵CF＝4，
∴，
∴AB＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理及推论，圆周角定理及推论，切线的判定与性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，涉及的知识点较多，需熟练掌握．
24．（12分）综合与实践
（1）操作与发现平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E、F是AD、BC边上的点．经过剪拼，四边形GHK为矩形．则△EDK≌ △EAG ．
（2）探究与证明探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，E、F、G、H是四边形ABCD边上的点．OJKL是拼接之后形成的四边形．
①通过操作得出：AE与EB的比值为 1 ．
②证明：四边形OJKL为平行四边形．
（3）实践与应用任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．
【分析】（1）由题意可证明△EDK≌△EAG；
（2）①如图5，由操作知，点E为AB中点，将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，得到AE＝BE，故；②先证明K，Q、L三点共线，K，P，J三点共线，由操作得∠2＝∠L，∠3＝∠J，根据∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，得出∠1+∠L＝180°，∠1+∠J＝180°，得到OJ∥KL，OL∥KJ，从而证明四边形OJKL为平行四边形；
（3）取AB、BC、CD，DA为中点为E、H、G、F，连接FH，过点E，点G分别作EM⊥FH，GN⊥FH，垂足为点M，N，将四边形EBHM绕点E旋转180°至四边形EAH′M′，将四边形FDGN绕点F旋转180°至四边形FAG′N′，将四边形NGCH放置左上方，使得点C与点A重合，CG与AG′重合，CH与AH′重合，点N的对应点为点N″，则四边形MM′N″N′即为所求矩形．
【解答】（1）解：如图2，
∵AB∥CD，
∴∠GAE＝∠D，
由题意得E为AD中点，
∴EA＝ED°，
∵∠AEG＝∠DEK，
∴△EDK≌△EAG，
故答案为：△EAG；
（2）①解：如图5，由操作知，点E为AB中点，将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，
∴AE＝BE，，
故答案为：1；
②证明：如图5，
由题意得，E、F、G、H是AB、BC，CD，DA的中点，操作为将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形EAQL，将四边形OHDG绕点H旋转180°得到四边形JHAP，将四边形OGCF放在左上方，
则AQ＝BF＝CF，AP＝DG＝CG，∠BFO＝∠AQL，
∵∠DAB+∠B+∠C+∠D＝360°，∠QAE＝∠B，∠PAH＝∠D，∠DAB+∠QAE+∠PAH+∠PAQ＝360°，
∴∠PAQ＝∠C，
∵∠BFO+∠CFO＝180°，
∴∠AQL+∠AQK＝180°，
∴K，Q、L三点共线，
同理K，P，J三点共线，
由操作得∠2＝∠L，∠3＝∠J，
∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，
∴∠1+∠L＝180°，∠1+∠J＝180°，
∴OJ∥KL，OL∥KJ，
∴四边形OJKL为平行四边形；
（3）解：
如图，取AB、BC、CD，DA为中点为E、H、G、F，连接FH，过点E，点G分别作EM⊥FH，GN⊥FH，垂足为点M，N，将四边形EBHM绕点E旋转180°至四边形EAH′M′，将四边形FDGN绕点F旋转180°至四边形FAG′N′，将四边形NGCH放置左上方，使得点C与点A重合，CG与AG′重合，CH与AH′重合，点N的对应点为点N″，则四边形MM′N″N′即为所求矩形．
由题意得∠EMF＝∠EMH＝∠M′＝90°，∠GNH＝∠GNF＝∠N'＝90°，
∴∠N'＝∠M′MH＝90°，H′M′∥N′M，
∴N′G′∥MM′，
由操作得，∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠3+∠4＝180°，
∴N″，H′，M′三点共线，同理N′，G′，N″三点共线，
∵∠N'＝∠EMF＝∠M'＝90°，
∴四边形MM′N″N为′矩形，
如图，连接AC，EF，FG，GH，EH，
∵E，H为BA，BC中点，
∴EH∥AC，EH＝AC，同理FG∥AC，FG＝AC，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴∠EHM＝∠GFN，
∵∠EMF＝∠GNH＝90°，
∴△EHM≌△GFN（AAS），
∴EM＝GN，MH＝NF，
∴FM＝NH，
由操作得，AH′＝BH，而BH＝CH，
∴AH′＝CH，
同理，AG′＝CG，
∵∠BAD+∠D+∠C+∠B＝360°，∠D＝∠G′AF，∠B＝∠H′AE，∠BAD+∠H′AE+∠G′AF+∠H′AG′＝360°，
∴∠H′AG′＝∠C，
∵四边形MM′N″N′为矩形，
∴N′N″＝MM′，N″M′＝N″M，
∴N′F+FM＝H′M′+H′N″，
∴MF+NF＝MF+MH＝M'H′+N″H'，
∴NH＝N″H′，同理NG＝N″G'，
∴四边形NGCH能放置左上方，
∴按照以上操作可以拼成一个矩形．
【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，三角形的中位线，正确理解题意是解题的关键．
25．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标．
（3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.当取得最大值时，求sin∠BCP的值．
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入解析式中，求出a和b的值，得到抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（m，﹣m2+2m+3），则PD＝﹣m2+2m+3，DE＝﹣m+3，PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，根据PE＝2ED，得出﹣m2+3m＝2（﹣m+3），解得m1＝2，m2＝3（不合题意舍去），得出m＝2，得到P（2，3）；
（3）设P（n，﹣n2+2n+3），则Q（n，﹣n+3），PQ＝﹣n2+3n，先求出，得出最大值，再证明△CPQ∽△ACB，得出∠BCP＝∠CAB，得到．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P（m，﹣m2+2m+3），则PD＝﹣m2+2m+3，
∵PD⊥x轴于点D，
∴E（m，﹣m+3），D（m，0），
∴DE＝﹣m+3，
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵PE＝2ED，
∴﹣m2+3m＝2（﹣m+3），
解得m1＝2，m2＝3（此时B，D重合，不合题意舍去），
∴m＝2，
∴P（2，3）；
（3）∵PF∥AC，
∴△ACG∽△PFG，
∴，
∴，，
∴，
作AN∥BC交y轴于N，作PQ∥y轴交BC于Q，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，AN∥BC，
∴直线AN的解析式为y＝﹣x+b′，
将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b′，得：0＝﹣（﹣1）+b′，
解得：b′＝﹣1，
∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣1，
当x＝0时，yN＝﹣1，
∴N（0，﹣1），
∴ON＝1，CN＝ON+CO＝4，
∵AN∥BC，PQ∥y，
∴∠PQF＝∠NCB＝∠ANC，∠PFC＝∠ACF，
∵∠PFC＝∠FPQ+∠PQF，∠ACF＝∠NCB+∠ACN，
∴∠FPQ＝∠ACN，
∴△CAN∽△PFQ，
∴，
设P（n，﹣n2+2n+3），则Q（n，﹣n+3），
∴PQ＝﹣n2+3n，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴，，
∵ON＝OA＝1，OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠ANC＝45°，
∵∠ANC＝∠PQF，
∴∠OBC＝∠PQF，
∵，AB＝4，
∴，
∴，
∴△CPQ∽△ACB，
∴∠BCP＝∠CAB，
∵，
∴．
【点评】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
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