浙江省宁波市镇海区蛟川书院2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份浙江省宁波市镇海区蛟川书院2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若2x＝5y，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用内项之积等于外项之积进行判断．
【详解】解：∵2x＝5y，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质，合分比性质，等比性质）．
2. 如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则可利用相似多边形的性质构建比例式，求解后即可得出结论．
【详解】解：使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
，
解得或舍去，
，
故选B．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解答此题的关键．
3. 如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接AC，根据弧长计算公式求解．
【详解】连接AC，
∵菱形ABCD中，AB=BC，
又AC=AB，
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．
∴∠BAC=60°，
∴的长是：，
故选C
【点睛】此题主要考查菱形、等边三角形的性质以及弧长公式的理解及运用．
4. 为测量操场上篮筐的高AB，小明站在点Q处的眼睛P与地面的距离PQ为1.7米，与AB的距离PC为2.5米，若仰角∠APC为θ，则篮筐的高AB可表示为（ ）
A. （1.7+2.5tanθ）米B. （1.7+）米
C. （1.7+2.5sinθ）米D. （1.7+）米
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得到PQ＝BC＝1.7米，PC＝2.5米，根据三角函数的定义解直角三角形即可得答案．
【详解】由题意得，PQ＝BC＝1.7米，PC＝2.5米，
在Rt△APC中，∵∠APC＝θ，
∴tan∠APC＝tanθ＝，
∴AC＝2.5tanθ，
∴AB＝AC+BC＝（1.7+2.5tanθ）（米），
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
5. 如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．
【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义．
6. ⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（ ）
A. 4B. 6C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】过作于，连接，根据含角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，再根据垂径定理得出，最后求出答案即可．
【详解】解：过作于，连接，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
过，
，
即，
故选：D．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是能熟记垂直于弦的直径平分弦．
7. 如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接BD，作交BH与点M，如图所示：设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：如图，连接BD，作交BH与点M，
设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∴∠CBD=∠CDB=30°，
∴∠EDB=90°，，
∴，
同理可得∠ABD=90°，
∵四边形EDHG是正方形，
∴∠EDH=90°，
∴B、H、D三点共线，OD∥AB，
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，正方形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
8. 如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查几何概率，掌握几何概率就是求几何图形的面积比是解题的关键，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，根据勾股定理求出，然后解出M部分面积与整个圆面积的比即为概率．
【详解】解：如图，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，
，
∴，
解得：，，
∴M部分面积与整个圆面积的比：，
∴等于，
故选A．
9. 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；
②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；
③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，或；
④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②④
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的最大面积，判断④．
【详解】如图，，即的长度等于半径，
，即的长度等于半径，
以为边的圆的内接三角形有无数个，故①结论正确；
为等边三角形，
，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
当点在圆上移动时，可能是，
一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形，故②正确；
由以上可知，可以是或，
当，时，
，
当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，或，
故③正确；
过作于，
，
，
当点为优弧的中点时，的面积最大，
，
故④错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解本题的关键．
10. 当时，将两个点称为一对“关联的对称点”．若抛物线（c是常数）总存在一对“关联的对称点”，则c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，将代入函数解析式，发现a，b之间的关系，再表示出c即可解决问题．
【详解】解：由题知，将代入函数解析式得，
，
两式相减得，，
又因为，
所以，
则，
所以
所以，
又因为时，，与条件矛盾，
所以，
所以．
故选：D．
二、填空题（每题5分，共30分）
11. 二次函数的顶点坐标为___________
【答案】
【解析】
【分析】将二次函数转化为顶点式，直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：，
∴顶点坐标为：，
故答案：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12. 如图，为的两条弦，若，则的半径为 _____________．
【答案】5
【解析】
【分析】连接，作分别垂直于和，连接，设的半径为r．可得四边形P为矩形，从而得到，，在和中，根据勾股定理可得，，进而根据勾股定理可得，由此可得结论．
【详解】解：连接，作分别垂直于和，连接，
设的半径为r．
∵分别垂直于和，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
在和中，根据勾股定理得，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
即的半径为5．
故答案为：5
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，矩形性质和判定等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
13. 如图，分别是的边上的点，，若，则___________．
【答案】1：4
【解析】
【分析】利用平行线的性质判断，由相似三角形面积比等于相似比的平方得到，再由平行线分线段成比例性质得到，继而解得，最后结合三角形面积公式解题即可．
【详解】解：
与是等高三角形，设高为，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例性质、三角形面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14. 如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】连接、，设的圆心为O，连接并延长交于M，连接，过点A作交的延长线于点N，求出，，，在上取点E，使，连接，证明，得出，，证明，得出，求出，代入数据得出，最后求出结果即可．
【详解】：连接、，设圆心为O，连接并延长交于M，连接，过点A作交的延长线于点N，如图所示：

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
在上取点E，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴四边形的周长为：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
15. 贴春联是中国传统习俗，晓红老家有个圆形拱门，每年都会贴上长长的春联，看上去非常喜庆．晓红用圆弧近似模拟拱门，经测量发现、的拱高和其所对的弦都是2m，所对的圆心角是，弦与春联的底端平齐，E点正好是春联外侧最高点，则春联的外侧长度大约是______m．（参考数据；结果按四舍五入法精确到0.1）
【答案】1.9
【解析】
【分析】过点E作于G，延长交于F，过点F作于H，如图，先利用垂径定理与勾股定理，求得圆的半径为，，在中，设，则，则，，再证明，得，解得：，求得，则，然后证明，得，即，求得的长，即可求解．
【详解】解：过点E作于G，延长交于F，过点F作于H，如图，
∵的拱高和其所对的弦都是2m，
∴，，
设圆的半径为，则，
由勾股定理，得，
解得：，
∴圆的半径为，，
∵所对的圆心角是，即，
∴，
∴在中，设，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴春联的外侧长度大约是．
故答案为：1.9．
【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理．此题属圆的综合题目，正确作出辅助线，构造特殊直角三角形与相似三角形是解题的关键．
16. 已知拋物线与直线相交于点（点在点右侧），且．
（1）的值是_______．
（2）直线与抛物线相交于点，与直线相交于点，．若随的增大而增大，则的取值范围是_______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键．
（1）先求出拋物线与直线交点横坐标，然后根据即可求出值；
（2）设，，表示出的长，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：（1）当时，，
解得，
，
即；
（2）当时，拋物线为，点，点，顶点为．
直线与轴交于点．
设，，
则，
∵当时，随的增大而增大，
∴，
解得．
三、解答题（共3大题，共30分）
17. 求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】根据特殊角锐角三角函数值进行求值即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】本题考查特殊角锐角三角函数值的混合运算，熟知特殊角的锐角三角函数值是解题的关键．
18. 如图1，已知二次函数图象与轴交点为，其顶点为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）将二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕点顺时针旋转得到抛物线，如图2所示，直线与交于，两点，为上位于直线左侧一点，求面积最大值，及此时点的坐标．
【答案】（1）
（2）面积最大值为，
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）先求出抛物线，，，设：，过点作轴交于点，得出，表示出，根据得出，求出最大值和点P的坐标即可．
【小问1详解】
解：顶点，
设二次函数的解析式为，
把0,3代入得：，
，
，
即；
【小问2详解】
解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为，
则函数的解析式为：，
设 为 上一点，
绕顺时针旋转 后，对应点为，
则由旋转得，
则，，
，
若在轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方，
所以抛物线，
把 代入，
，
解得：，；
则，，
设：，
过点作轴交于点，
，
，
，
，
当 时，有最大值，，
此时．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、面积的计算、图象的旋转等，有一定的综合性，难度较大．
19. 已知锐角内接于，于点，于点，交于点，交于点，连结．连结，．
（1）直接写出与的数量关系；
（2）如图，连结，在上取点，使得，，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂直的性质可证，可得，，如图所示，连接，根据等腰直角三角形的性质可得，运用圆的基础知识可证， ，可得，由此即可求解；
（2）由（1）可得，，可证，可得，在中，根据勾股定理可得，可求出，，如图所示，过点作于点，可求出，再根据三角形的面积即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，，
如图所示，连接，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，且，
∴，且，
中，
，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
解得，或（不符合题意，舍去）或或（不符合题意，舍去），
∴当时，；当时，；
∵，
∴，，
如图所示，过点作于点，
∴，
∴，，
∴的面积为：．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用是解题的关键．