浙江省浙派联盟2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共4页，有三个大题，24个小题．满分为120分，考试时长为120分钟．
2．请将学校、班级、姓名和准考证号分别填写在答题卷的规定位置上．
3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效．
4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．
卷Ⅰ
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较方法，即可求解．
【详解】解：
∴最小的数是-2
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，选项计算错误；
B、，选项计算错误；
C、，选项计算正确；
D、，选项计算错误；
故选C．
3. 近年来浙江全省数字产业保持年均两位数的增长，去年数字经济核心产业增加值达8977亿元，占地区生产总值比重达11.6％，数字经济核心产业营业收入达3.28万亿元，其中8977亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可．
【详解】解：亿，
故选：A
4. 如图，有个相同的立方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查几何体的左视图．
根据左视图是从几何体左面看到的图形即可解答．
【详解】解：从左面看，该几何体为两列，从左到右分别为个正方形，个正方形．
故选B．
5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
解得：，
在数轴上表示不等式组的解集为：，
故选：A．
6. 为了建设“书香校园”，某校开展捐书活动．某班40名学生捐书情况统计如下表：
则该班学生所捐书本的中位数和众数分别是（ ）
A. 3，3B. 4，12C. 3.5，3D. 4，12
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求中位数和众数；中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．众数是一组数据中出现次数最多的数值．据此即可求解．
【详解】解：由表格数据可知：中位数为：，众数为
故选：A．
7. 如图，已知是弦，C为上的一点，且于点D，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由题意易得，，则有．
详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴和的度数都是，
∴
∵
故选：C．
8. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶各几何？意思是：今有好田亩价值钱，坏田亩价值钱．今用钱购入好、坏田共顷（顷亩）．问好田、坏田各有多少亩？如果设好田为亩，坏田为亩，那么可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设好田为亩，坏田为亩，
由题意可得，，
故选：．
9. 已知抛物线和直线交于，两点，其中，且满足，则直线一定经过（ ）
A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D. 第一、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题、一次函数的性质，根据题意得到，，即，分；两种情况，分别利用不等式的性质和一次函数的性质进行求解．
【详解】解：∵抛物线和直线y=kx+bk≠0交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，
∴，即，
∴，，
∵，且满足，
∴，，
∴，
当时，，即，
∴直线经过第一、二、三象限；
当时，，即，
∴直线经过第二、三、四象限，
综上，直线一定经过第二、三象限，
故选：B．
10. 如图，矩形矩形，连接、、，要求出的面积，只需要知道下面哪个图形的面积（ ）
A. 矩形的面积B. 四边形的面积
C. 的面积D. 的面积
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形对应边成比例是解题关键．根据矩形相似，得出，再结合三角形面积公式，即可得到答案．
【详解】解：矩形矩形，
，
，
，
知道的面积，即可求出的面积，
故选：D．
卷Ⅱ
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 分解因式： _______．
【答案】
【解析】
【分析】根据提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查提公因式进行因式分解，找出多项式中各项的公因式是解题的关键．
12. 某校计划组织研学活动，现有三个地点可供选择：博物馆、影视城、动物园．若从中随机选择一个地点，则选择动物园的概率为______·
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．从中随机选择一个地点共有3种等可能结果，选择动物园的只有1种结果，根据概率公式求解即可．
【详解】解：从中随机选择一个地点共有3种等可能结果，选择动物园的只有1种结果，
所以选择动物园的概率为，
故答案为：．
13. 要使分式有意义，x的取值应满足_________．
【答案】x≠2
【解析】
【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不为0，可知x-2≠0，
解得x≠2
故答案为x≠2.
14. 我国木雕艺术历史悠久．如图1为一木雕的实物图，如图2此木雕可以近似的看作扇环，其中长为米，长为米，为，则木雕的面积（镂空部分忽略不计）为______平方米．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积，熟记公式是解题关键．
【详解】解：木雕的面积
故答案为：．
15. 如图，已知平行于y轴的直线与双曲线，双曲线分别相交于点A、B，平行x轴交双曲线于点C，平行x轴交y轴于点D，连接，且满足，平分，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的综合应用，延长交轴于点，易得四边形为矩形，设，则：，，，根据，得到，根据平行结合角平分线得到，根据两点间的距离公式得到，联立两个式子进行求解即可．
【详解】解：延长交轴于点，
∵平行x轴，平行x轴，
∴，轴，
∵轴，
∴四边形为矩形，
设，则：，，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将代入上式，得：，
整理，得：，
∴；
故答案为：．
16. 如图，正方形的边长为，以AB边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，圆的定义；分三种情况讨论，设的半径为，分别根据勾股定理，即可求解．
【详解】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点，
∴，
当经过的中点，则，
∴，，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
当经过的中点，即经过的中点，设的中点为，
∴
∴
解得：
综上所述，半径为、、
故答案为：或或．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算、实数的混合运算.
（1）利用完全平方公式和平方差公式展开合并同类项即可；
（2）利用算术平方根、绝对值、零指数幂、立方根进行计算即可.
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
18. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺分别按要求画出下列图形．
（1）将图1中的绕点A逆时针旋转，画出旋转后的；
（2）如图2，在上找一点D，使的面积与的面积之比为．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了图形的旋转作图、等高三角形的面积关系，熟练掌握图形的旋转作图是解题的关键．
（1）分别作出点B和点C绕点A逆时针旋转得到对应点和，顺次连接A、、即可得到旋转后的；
（2）在上找到靠近点C的三等分点，连接即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
【小问2详解】
解：在上找到靠近点C三等分点，连接，如图所示：
和是等高不等底的两个三角形，且，
的面积与的面积之比为，点D即为所求的点．
19. 出行是人们日常生活必不可少的组成部分，某市多部门联合深化城市交通治理，塑造生态友好、文明友善的城市绿色出行体系，使城市交通向更低碳、更绿色、更高质量发展．为了了解本市市民出行情况，某数学兴趣小组对本市市民的出行方式进行了随机抽样调查．根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．

由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求此次调查的市民总人数，并补全条形统计图．
（2）若本市某天的出行人次约为300万，则乘坐地铁或公交车这两种公共交通出行的人次约为多少万？
（3）根据调查结果对市民的绿色出行提一条合理化的建议．
【答案】（1）200人，图见解析
（2）乘坐地铁或公交车这两种公共交通出行的人次约为165万人；
（3）答案不唯一，见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用．
（1）利用“私家车”方式出行的人数以及占比可求得此次调查的市民总人数，再用这个总人数乘“公交车”方式出行的占比，求得乘“公交车”方式出行的人数，即可补全条形统计图；
（2）利用样本估计总体的方法计算即可求解；
（3）合理即可．
【小问1详解】
解：总人数为（人），
乘“公交车”方式出行的人数为（人），
补全条形统计图如图
【小问2详解】
解：（万人），
答：乘坐地铁或公交车这两种公共交通出行的人次约为165万人；
【小问3详解】
解：尽量少开汽车，多选择地铁、公交车等公共交通工具（言之有理即可）．
20. 如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面．
（1）当水桶在井里时，，求此时支点O到小竹竿的距离（结果精确到）；
（2）如图2，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）
【答案】（1）点A到地面的距离为；
（2）点A上升的高度为；
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）作于点G，由题意可知m，，在中，应用特殊角三角函数值求即可；
（2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解；
【小问1详解】
作于点G（图1），
∵O为的中点，，
∴m
∵，
∴
∵，
∴，
在中，
m
∴点A到地面的距离为．
【小问2详解】
记交于点H（图2），
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，
m，
在中，
m
∴点A上升的高度为．
21. 如图，已知矩形，E为边上的一点，将沿翻折至，延长交于点G，连接．若，．
（1）求的长；
（2）当时，求证：G是的中点．
【答案】（1）12 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据三角函数定义得出，求出，最后根据勾股定理求出结果即可；
（2）根据已知条件得出，设，，则，证明，得出，求出，得出，即可证明结论．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：由折叠可知，，
∴，
设，，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴
∴，
∴G是的中点．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
22. 手机已经成为现代人生活的重要组成部分，小明想重新选择一个合适的话费套餐．
素材1：小明通过收集并整理自己近六个月的话费账单得到如下数据：
素材2：小明通过咨询话费套餐得到如下数据：
套餐说明：①月手机资费月租费套餐外通话费套餐外流量费；
②套餐外通话不足1分钟时按1分钟算；套餐外流量不足时按算．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）小明每月的通话时长与月手机资费有关系吗？为什么？
（2）小明分析账单发现自己每月上网流量波动较大，设每月上网流量为 ，为整数），每月手机资费为元，分别写出套餐、套餐中与之间的关系式；
（3）从节省费用的角度考虑，小明应选择哪个套餐？
【答案】（1）没有关系，见解析
（2），
（3）套餐
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，能读懂数表弄清数量关系是解题关键．
（1）利用表格数据可求解；
（2）套餐的费用月租费套餐外流量费，套餐的费用月租费，即可求解；
（3）由自变量的范围，可求套餐的费用范围，即可求解．
【小问1详解】
解：没有关系，理由如下：
小明每月的通话时间分钟，
小明每月的通话时间都属于免费通话时间；
【小问2详解】
套餐，
套餐；
【小问3详解】
，
，
所以选择套餐．
23. 在二次函数中，
（1）当时，
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②当时，求的取值范围；
（2）若，两点都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围．
【答案】（1）①；②
（2）且
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像的知识点．
（1）将代入即可求出顶点，再根据二次函数的特点即可求解；
（2）求出二次函数的对称轴，再分情况讨论即可．
【小问1详解】
解：①把代入得，
抛物线顶点坐标为；
②当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当时，有最大值，
当时，；当时，，
当时，；
【小问2详解】
抛物线的对称轴为直线，
①当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离
，解得，
，
②当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
成立，
，
③对称轴在点左侧不合题意，舍去
综上所述，且．
24. 如果过三角形一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中的一个三角形与原三角形相似，且该三角形与原三角形的相似比为，则原三角形叫和谐三角形．
（1）如图1，已知是中边上的中线，，，求证：是和谐三角形；
（2）如图2，在5×5的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的和谐；
（3）如图3，在（1）的条件下，作的外接圆，E是上一点，且满足，连接DE，
①设，，求y关于x的函数表达式；
②当时，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）由已知数据证明，由证明，则问题可证；
（2）根据和谐三角形和勾股定理在网格图中构造图形即可；
（3）①由，得到，，利用圆内接四边形性质推导证明，用x表示则有，解得；
②连接、，证明是等边三角形，则有，所以，解得，，再求出的半径为；
【小问1详解】
∵是边上的中线，，
∴
∴，，
∴
∵，
∴
∴是和谐三角形
【小问2详解】
答案如下图（画出一个即可）

理由：如图画线段，
由勾股定理可知，，，，
故可知，，
∴，故符合题意，同理
如图取点D，连BD，可证明
【小问3详解】
①∵，
∴
∴，
∴，即
∵，
∴
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
②连接、、 过O作于点H
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴的半径为
【点睛】本题考查了圆的有关性质和相似三角形的性质和判定，解答时注意根据和谐三角形的定义进行判定．捐书本数
1
2
3
4
5
8
10
捐书人数
5
8
12
8
4
2
1
月份
1
2
3
4
5
6
通话时长（分钟）
123
150
130
155
120
160
流量
15
14
17
20
18
16
套餐名称
套餐内容
超出套餐资费
月租费
免费通话时间
免费上网流量
套餐外通话
套餐外流量
58元
200分钟
0.1元分钟
3元
88元
300分钟