2023-2024学年湖南省株洲高二（上）第一次月考数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省株洲高二（上）第一次月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），”的否定是（ ）
A．∃x0∈（0，+∞），
B．∃x0＝（0，+∞），
C．∀x∈（0，+∞），ex≠x+1
D．∀x∉（0，+∞），ex＝x+1
2．（5分）焦点坐标为（﹣1，0）的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2＝﹣2xB．x2＝2yC．x2＝﹣4yD．y2＝﹣4x
3．（5分）某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右，短的大约2～3天，长的大约10～14天，甚至有20余天．某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图．根据该直方图估计；要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是（ ）
A．12B．13C．14D．15
4．（5分）已知cs（﹣α）＝2cs（π﹣α），则tan（）＝（ ）
A．﹣3B．C．﹣D．3
5．（5分）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，，则球O的表面积等于（ ）
A．4πB．3πC．2πD．π
6．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（ ）
A．75斤B．70斤C．65斤D．60斤
7．（5分）设实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
8．（5分）已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥FB，设∠ABF＝θ且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．（2，+∞）
二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知向量，设函数，则下列关于函数y＝f（x）的性质的描述正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图象关于点对称
C．f（x）的图象关于直线对称
D．f（x）的图象可以由y＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位得到
（多选）10．（5分）已知曲线C的方程为（ ）
A．当k＝4时，曲线C是焦点坐标为（±2，0）的椭圆
B．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
C．不存在实数k，使得曲线C为离心率为的双曲线
D．“1＜k＜9”是“曲线C为椭圆”的必要不充分条件
（多选）11．（5分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．数列{an}是递增数列
B．S5＝60
C．
D．数列{Sn}中最大项为第6项
（多选）12．（5分）抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点M（2，2），下列结论正确的是（ ）
A．P|M|+|PF|的最小值为3
B．抛物线C上的动点P到点H（0，3）的距离最小值为
C．存在直线l，使得A，B两点关于x+y﹣3＝0对称
D．过抛物线C的焦点，长度为不超过2023的整数的弦的条数是4039
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝2x，则f（lg23）＝ ．
14．（5分）已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an+2＝an+1﹣an，则a2022＝ ．
15．（5分）若曲线与直线y＝k（x﹣2）+4有两个交点，实数k的取值范围是 ．
16．（5分）已知F为抛物线y2＝2x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列．
（1）若c：b＝5：7，求csC；
（2）若，求△ABC的周长．
18．（12分）江苏省高考目前实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知南京医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．
（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率；
（2）假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中至少有两人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的概率．
19．（12分）已知双曲线C经过点，且其两条渐近线相互垂直．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为（O为坐标原点），求直线l的方程．
20．（12分）四棱锥A﹣BCDE，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB＝AC．
（1）证明：AD⊥CE；
（2）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角D﹣AE﹣B的正弦值的大小．
21．（12分）已知正项数列{an}，对任意n∈N*，都有2Sn＝+an，Sn为数列{an}的前n项和．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，若数列{bn}是递增数列，求实数λ的取值范围．
22．（12分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，过椭圆右焦点F且斜率为1的直线l交椭圆于A、B两点，满足与共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）当椭圆的焦距为2时，设P为椭圆上任意一点，且，求点M（m，n）到原点O的最大距离．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【分析】根据存在性命题和全称命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题为存在性命题，则命题的否定为∀x∈（0，+∞），ex≠x+1，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2．【分析】由抛物线的焦点坐标可知抛物线是焦点在x轴负半轴的抛物线且求得p值，则抛物线方程可求．
【解答】解：∵抛物线的焦点坐标是（﹣1，0），
故可设抛物线方程为y2＝﹣2px（p＞0），
∴抛物线是焦点在x轴负半轴的抛物线，且﹣＝﹣1，得p＝2．
∴抛物线的标准方程为y2＝﹣4x．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的性质，是基础题．
3．【分析】由频率分布直方图得隔离观察的天数为[1，13）时，出现明显症状的患者频率为0.88，隔离观察的天数为[13，17）时，出现明显症状的患者频率为0.08，由此能求出要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数．
【解答】解：由频率分布直方图，得隔离观察的天数为[1，13）时，
出现明显症状的患者频率为（0.04+0.10+0.08）×4＝0.88；
隔离观察的天数为[13，17）时，出现明显症状的患者频率为0.02×4＝0.08；
∴要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少为13+＝14．
故选：C．
【点评】本题考查频数的求法，频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．【分析】由已知利用诱导公式变形求得tanα，再由两角和的正切求解tan（）．
【解答】解：由cs（﹣α）＝2cs（π﹣α），
得sinα＝﹣2csα，即tanα＝﹣2．
∴tan（）＝．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和的正切，是基础题．
5．【分析】先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA＝OB＝OC＝OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可．
【解答】解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点
∴OA＝OB＝OC＝OS＝1
又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，，
∴球O的直径为2R＝SC＝2，R＝1，
∴表面积为4πR2＝4π．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
6．【分析】结合等差数列的模型及等差数列的求和公式即可求解．
【解答】解：设第1个孩子分到的棉花为a，
根据题意可知，第1个孩子开始，以后每人分到的棉花是以a为首项，以17为公差的等差数列，
S8＝＝996，
解可得，a＝65．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用等差数列的求和．公式研究实际问题，属于基础试题
7．【分析】作出图象利用椭圆的定义及三角形三边关系即可求解．
【解答】解：设点P（x，y）是椭圆上的点，设E（﹣1，0），F（1，0），A（0，1），如图：
不妨设题中代数式为M，
则M＝＝+，
则，
等号当点E，A，P依次共线时取等号．
因此所求最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的定义、三角形三边的关系及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
8．【分析】作出对应的图象，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．则四边形AFBF′为矩形．因此|AB＝|FF′|＝2c．|AF|＝2csinθ，|BF|＝2ccsθ．可得e＝＝＝，求出即可．
【解答】解：如图所示，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．
∵AF⊥FB，∴四边形AFBF′为矩形．
因此|AB＝|FF′|＝2c．
则|AF|＝2csinθ，|BF|＝2ccsθ．
∵|AF′|﹣|AF|＝2a．
∴2ccsθ﹣2csinθ＝2a．
即c（csθ﹣sinθ）＝a，
则e＝＝＝，
∵，
∴∈（，），
则cs（）∈（0，），
cs（）∈（0，），
则＝，
即e＞，
故双曲线离心率的取值范围是，
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的定义及其性质、两角差的余弦公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，注意利用数形结合进行求解．
二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【分析】由题意，根据两个向量的数量积公式求得函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：由于向量，函数＝2cs2x+sin2x＝cs2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+1，
故函数f（x）的最小正周期为＝π，故A正确．
令x＝，求得f（x）＝1，可得f（x）的图象关于点（，1）对称，故B错误．
令x＝，求得f（x）＝3，为最大值，可得f（x）的图象关于直线对称，故C正确．
把y＝2sin2x的图象向左平移个单位，可得y＝2sin（2x+）的图象，再向上平移1个单位得到y＝2sin（2x+）+1的图象，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的图象和性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
10．【分析】由选项中给出的条件结合椭圆与双曲线的几何性质逐一分析得答案．
【解答】解：曲线C的方程为．
对于A，当k＝4时，曲线C为，是椭圆，c＝，
焦点坐标为（±，0），故A错误；
对于B，当k＝0时，曲线C为，是双曲线，a＝3，b＝1，
其渐近线方程为，故B正确；
对于C，若曲线C是离心率为的双曲线，则9﹣k＝﹣（k﹣1），此方程无解，
即不存在实数k，使得曲线C为离心率为的双曲线，故C正确；
对于D，若曲线C：表示椭圆，则，
可得1＜k＜9且k≠5，则“1＜k＜9”是“曲线C为椭圆”的必要不充分条件，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查充分必要条件的应用，是中档题．
11．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论．
【解答】解：依题意，有S12＝12a1+•d＞0，
S13＝13a1+•d＜0，化为：2a1+11d＞0，a1+6d＜0，
即a6+a7＞0，a7＜0，
∴a6＞0．
由a3＝12，得a1＝12﹣2d，联立解得﹣＜d＜﹣3．等差数列{an}是单调递减的．
S1，S2，…中最大的是S6．
S5＝＝5a3＝60．
综上可得：BCD正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．【分析】A．易知抛物线C：x2＝4y的准线方程为：l：y＝﹣1，过点P作PT⊥l，由抛物线的定义求解判断；B．设P（x，y），由，利用二次函数的性质求解判断；C．设A（x1，y1），A（x2，y2），根据A，B两点关于x+y﹣3＝0对称，设AB所在直线为：x﹣y+m＝0，联立，由线段AB的中点在直线x+y﹣3＝0上求解判断；D．设过焦点的直线方程为y＝kx+1，联立，得到弦长|AB|的最小值判断；
【解答】解：抛物线C：x2＝4y的准线方程为：l：y＝﹣1，如图所示：
过点P作PT⊥l，由抛物线的定义得：|PF|＝|PT|，由图象知：当P，M，T三点共线时，|PM|+|PF|的最小值为3，故A正确；
设P（x，y），则，当y＝1时，，故B正确；
设A（x1，y1），A（x2，y2），因为A，B两点关于x+y﹣3＝0对称，设AB所在直线为：x﹣y+m＝0，
联立，消去y得x2﹣4x﹣4m＝0，则Δ＝（﹣4）2+16m＞0，解得m＞﹣1，由韦达定理得x1+x2＝4，y1+y2＝4+2m，
则线段AB的中点为（2，2+m），在直线x+y﹣3＝0上，则2+2+m﹣3＝0，解得m＝﹣1，不成立，故C错误；
设过焦点的直线方程为y＝kx+1，联立，消去x得y2﹣（2+4k2）y+1＝0，由韦达定理得，
则线段，当k＝0时，等号成立，
由抛物线的对称性知：长度为不超过2023的整数的弦的条数是（2023﹣4）×2+1＝4039，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【分析】由奇函数的定义和对数的运算性质，化简计算可得所求值．
【解答】解：由f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），
当x＜0时，f（x）＝2x，
可得f（lg23）＝﹣f（﹣lg23）＝﹣2﹣lg23＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，以及对数的运算性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
14．【分析】根据题干中已知条件及递推公式进行逐项代入即可发现数列{an}是以6为最小正周期的周期数列，再根据周期数列的性质即可计算出a2022的值．
【解答】解：由题意，可知a1＝1，
a2＝3，
a3＝a2﹣a1＝3﹣1＝2，
a4＝a3﹣a2＝2﹣3＝﹣1，
a5＝a4﹣a3＝﹣1﹣2＝﹣3，
a6＝a5﹣a4＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，
a7＝a6﹣a5＝﹣2﹣（﹣3）＝1，
a8＝a7﹣a6＝1﹣（﹣2）＝3，
a9＝a8﹣a7＝3﹣1＝2，•••
故数列{an}是以6为最小正周期的周期数列，
∵2022÷6＝337，
∴a2022＝a6＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查周期数列的判定及性质运用．考查了整体思想，转化与化归思想，迭代法，周期数列的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
15．【分析】要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线y＝表示以（0，0）为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得：曲图象为以（0，0）为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A（2，4），
由图当直线l与半圆相切，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得：k＝；
当直线l过B点时，直线l的斜率k＝＝1，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围（，1]．
故答案为：（，1]．
【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键，是中档题．
16．【分析】设出A，B的坐标，根据数量积列出方程得出A，B坐标的关系，求出直线AB与x轴的交点坐标，得出△ABO与△AFO面积之和关于y1的函数，利用基本不等式得出面积和的最小值．
【解答】解：设A（，y1），B（，y2），
则＝+y1y2＝8，
∴y1y2＝﹣8或y1y2＝4（舍）．
∴y2＝﹣．
直线AB的方程为＝，
令y＝0得＝，
解得x＝﹣＝4，
∴直线AB交x轴于点（4，0）．
不妨设y1＞0，y2＜0，
则S△ABO＝×4×y1﹣4×y2＝2（y1﹣y2），
又F（，0），∴S△AFO＝×y1＝，
∴S△ABO+S△AFO＝2（y1﹣y2）+y1＝y1﹣2y2＝y1+≥2＝12，当且仅当y1＝时取等号．
故答案为：12．
【点评】本题考查了抛物线与直线的位置关系，平面向量的数量积运算，基本不等式的应用，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【分析】（1）由题意得B＝，利用正弦定理可得sinC＝，结合同角的三角函数的关系，即可得出答案；
（2）由（1）得B＝，结合题意得accsB＝3，即ac＝6，利用余弦定理可得b2＝（a+c）2﹣3ac，可得a+c＝5，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵角A，B，C成等差数列，
∴2B＝A+C，
又A+B+C＝π，则B＝，
∵c：b＝5：7，
∴由正弦定理得＝，即＝，解得sinC＝，
∵sinC＝＜sinB＝，即C＜B，
∴csC＝＝＝；
（2）由（1）得B＝，
∵，
∴accsB＝3，即ac＝6，
由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accsB＝（a+c）2﹣3ac，即7＝（a+c）2﹣18，
∴a+c＝5，
∴a+b+c＝5+，
故△ABC的周长为5+．
【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．【分析】（1）利用古典概型求概率的方法求概率即可；（2）根据互斥事件概率加法公式求概率即可．
【解答】解：（1）用a、b分别表示“选择物理”，“选择历史”，用c，d，e，f分别表示选择“选择化学”，“选择生物”，“选择思想政治”，“选择地理”，
则所有选科组合的样本空间Ω＝{acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bef，bde，bdf，bef}，共12种，
设A＝“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求”，
则 A＝{acd，ace，acf，ade，adf}，共5种，
∴P（A）＝；
（2）设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是M，N，Q，
由题意知事件M，N，Q相互独立，由（1）知P（M）＝P（N）＝P（Q）＝，
记Z＝“甲、乙、丙三人中至少有两人的选科组合符合南京医科大学临床医学类招生选科要求“，
则Z＝MN∪MQ∪NQ∪MNQ，
易知以上子事件两两互斥，
根据互斥事件概率加法公式得P（Z）＝P（MN）+P（MQ）+P（NQ）+P（MNQ）＝××（1﹣）×3+××＝．
【点评】本题考查概率的求法，古典概型的应用，属于基础题．
19．【分析】（1）根据题意设所求双曲线方程为x2﹣y2＝m，（m≠0），再代入点，即可求解；
（2）根据题意设直线l的方程为y＝kx+2，联立直线与双曲线方程，再分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式建立方程，即可求解．
【解答】解：（1）∵双曲线C的两条渐近线相互垂直，
∴双曲线C为等轴双曲线，
∴设所求双曲线方程为x2﹣y2＝m，（m≠0），
又双曲线C经过点，
∴4﹣2＝m，∴m＝2，
故所求双曲线方程为x2﹣y2＝2，即；
（2）根据题意可知直线l的斜率存在，又直线l过点Q（0，2），
∴设直线l的方程为y＝kx+2，
∴原点O到直线l的距离d＝，
联立，得（k2﹣1）x2+4kx+6＝0，
∴k2≠1且Δ＝16k2﹣24（k2﹣1）＝24﹣8k2＞0，∴k2＜3，且k2≠1，
∴|EF|＝＝，
∴△OEF的面积为＝＝，
∴，解得k2＝2，∴，
∴直线l的方程为y＝x+2或y＝﹣x+2．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，弦长公式的应用，方程思想，属中档题．
20．【分析】（1）由面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理及性质定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解．
【解答】解：（1）证明：取BC中点F，连接AF，DF，
因为AB＝AC，则AF⊥BC，
且平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，AF⊂平面ABC，
可得AF⊥平面BCDE，且CE⊂平面BCDE，
所以AF⊥CE，
又因为，则∠FDC＝∠CED，
可得DF⊥CE，且AF⊂平面ADF，DF⊂平面ADF，AD∩DF＝D，
可得CE⊥平面ADF，又因为AD⊂平面ADF，
所以AD⊥CE．
（2）如图所示建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B（﹣1，0，0），，，
设A（0，0，k）（k＞0），则，，，，
设平面ABE的一个法向量为，
则 ，
令z＝1，则x＝﹣k，y＝0，得＝（﹣k，0，1），
因为CE与平面ABE所成的角为45°，
故＝，解得，
即，可得，，
平面ADE的一个法向量为，则，
令，则a＝0，，可得，
设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，θ∈[0，π]，
则＝，
可得，
所以二面角D﹣AE﹣B的正弦值．
【点评】本题考查了面面垂直的性质定理应用，考查了直线与平面垂直证明直线与直线垂直，考查了二面角，考查了转化思想，属于中档题．
21．【分析】（1）由题设中的递推关系可得an﹣an﹣1＝1，据此可求通项；
（2）利用参变分离可求参数的取值范围．
【解答】解：（1）因为，故，
故，整理得到，
因为an＞0，故an+an﹣1＞0，故an﹣an﹣1＝1，
故{an}为等差数列，而，
故a1＝0（舍）或a1＝1，故an＝n；
（2）由（1）可得，
因为{bn}是递增数列，故bn+1＞bn，
故3n+1+（﹣1）n⋅λ⋅2n+1＞3n+（﹣1）n﹣1⋅λ⋅2n，
整理得到：2⋅3n＞（﹣1）n﹣1⋅3λ⋅2n，故，
当n为正奇数时，故恒成立，故；
当n为正偶数时，故恒成立，故；
故．
【点评】本题考查数列利用前n项和求通项，考查利用函数性质研究数列，属中档题．
22．【分析】（1）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB的方程代入椭圆的方程，列出韦达定理求出OA+OB的坐标，利用与共线，可得出关于a、b的关系可解得椭圆的离心率；
（2）设＝（x，y），由可得出，由点P在椭圆上可得出，利用韦达定理可计算得出，再由基本不等式可计算得出m2+n2的最大值即可．
【解答】解：（1）设椭圆方程为，F（c，0），则直线AB的方程为y＝x﹣c，
联立，消去y并整理得：（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2（c2﹣b2）＝0，
设点A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理可得，，
因为，＝（4，﹣3），且与共线，
所以4（y1+y2）+3（x1+x2）＝0，
又y1＝x1﹣c，y2＝x2﹣c，所以4（x1+x2﹣2c）+3（x1+x2）＝0，
所以，即，可得，
所以，椭圆的离心率为
（2）由（1）知，又椭圆的焦距为2，所以椭圆方程，
联立，消去y并整理得：7x2﹣8x﹣8＝0，
由韦达定理可得，，
所以，
设，由得（x，y）＝m（x1，y1）+n（x2，y2），
所以出，
因为P（x，y）在椭圆上，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以点M（m，n）到原点O的距离，
故点M（m，n）到原点O的最大距离为．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的相交问题，属于中档题．