新高考数学三轮冲刺卷：数列的递推公式（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺卷：数列的递推公式（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 已知数列 的首项 ，且满足 ，则此数列的第三项是
A. 1B. C. D.

2. 数列 ，，，，，，的递推公式是
A.
B.
C.
D.

3. 已知数列 中，，，则数列 的前 项和为
A. B. C. D.

4. 已知数列 中，，以后各项由公式 给出，则 等于
A. B. C. D.

5. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 等于
A. B. C. D.

6. 已知数列 的前 项和为 ，，，则
A. B. C. D.

7. 已知数列 中，，，则
A. B. C. D.

8. 满足 ，，则 等于
A. B. C. D.

9. 在数列 中，对于任意的 ，有 ，若 ，则
A. B. C. D.

10. 若 ，，则 等于
A. B. C. D.

11. 在数列中，，，则 等于
A. B. C. D.

12. 数列 满足 ，，，则 等于
A. B. C. D.

13. 在数列 中，，，则
A. B. C. D.

14. 已知数列 满足 ，且 ，则该数列的前 项的和等于
A. B. C. D.

15. 在数列 中，，， ，则
A. B. C. D.

16. 已知数列 满足 ，若对于任意的 都有 ，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.

17. 考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字 ，因为 ，，，所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：，，，若从 ，，，，， 这 个数字中任意取出 个数字构成一个三位数 ，则 的结果恰好是剩下 个数字构成的一个三位数的概率为
A. B. C. D.

18. 数列 满足 ，，其前 项的积为 ，则 的值为
A. B. C. D.

19. 在数列 中，，，则 的值为
A. B. C. D. 以上都不对

20. 已知数列 满足 ，，则 等于
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 数列 满足 ，则此数列的第 项是 ．

22. 下表是用列表法定义的函数 ．
在数列 中，已知 ，，则 ．

23. 在各项均为正数的数列 中，对任意的 ，都有 ．若 ，则 ．

24. 数列 中，，若 ，则 ；若 ，则 ．

25. 已知数列 满足 ，，则该数列的前 项的乘积 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 已知在数列 中，，，通项 是关于 的一次函数．
（1）求 的通项公式并求 ；
（2）若 是由 ，，， 组成的，试归纳出 的一个通项公式．

27. 已知正项数列 满足 ，且 ．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）求证：．

28. 数列 满足 ，， 是常数．
（1）当 时，求 及 的值．
（2）数列 是否可能为等差数列?若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由．

29. 数列 满足 ，且 ， 是 的前 和．
（1）求 ，，，，，，，；
（2）猜想 ，并求 ．

30. 设数列 满足 ，．
（1）求证：；
（2）求证：．
答案
1. C
2. B【解析】结合数列的前几项对选项进行验证，或者是观察数列的变化规律 ，，，，，由此归纳得出 ．
3. D【解析】当 时，，将 代入四个选项可得四个选项的值分别为 ，，，，只有D选项符合，故选D．
4. C【解析】由题意可知，有：
，，
所以 ；
，，所以 ；
所以 ，
故选C．
5. D
【解析】由 ，
令 ，可得 ，
再 ，可得 ．
6. B【解析】当 时，，
又 ，
所以 显然只有B项符合．
7. A
8. C【解析】，，
，，
所以 ．
9. D【解析】因为，，且 ，
所以 ，
，
所以 ．
10. B
11. B
12. D【解析】因为数列 满足 ，，，所以 ，解得 ，所以 ．
13. A【解析】数列 中，，，
当 时，，
当 时，，
当 时，，
当 时，，
故数列的周期为 ，
所以 ．
14. C【解析】因为 ，，
所以 ，
从而 ，，，
可得 ，
故数列的前 项的和 ．
15. B
【解析】因为在数列 中，，， ，
所以 ，同理可得 ，，，，，，可得 ．则 .
16. D【解析】因为对于任意的 都有 ，
所以数列 单调递减，可知 ．
①当 时，， 单调递减，而 单调递减，
所以 ，解得 ，因此 ．
②当 时，， 单调递增，应舍去．
综上可知：实数 的取值范围是 ．
故选：D．
17. C【解析】，
个选 个组 位数：．
符合要求的 位数是 ，， 各取 个，
方法数为 ，
概率为 ．
故选C．
18. B【解析】由 得 ．
因为 ，所以 ，，，，．
故数列 具有周期性，周期为 ，因为 ，所以 ．
19. C
20. C
【解析】由 及递推公式，得 ，，，，．由此， 是以 为周期的数列，所以 ．
21.
22.
23.
【解析】由题意知 ，
由 ，得 ，
所以 ．
24. ，
25.
【解析】由题意可得，，，，，
所以数列 是以 为周期的数列，而 ，，
所以前 项的乘积为 ．
26. （1） 设 ，
由题意，得
解得 所以 ．
所以 ．
（2） 因为 ，，，，，即为 ，，，，，
所以 ．
27. （1） 因为 ，
所以 ．
又 ，即 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ．
（2） 因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ．
（3） 因为 ，，
所以 ．
因为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
28. （1） 由于 ，
且 ，所以当 时，得 ，
故 ．
从而 ．
（2） 数列 不可能为等差数列，证明如下：
由 ，，
得 ，，
．
若存在 ，使 为等差数列，
则 ，
即 ，
解得 ．
于是 ，
．
这与 为等差数列矛盾，
所以，对任意 ， 都不可能是等差数列．
29. （1） 根据题意，数列 满足 且 ，
所以 ，解得 ，
，解得 ，
，解得 ，
，解得 ，
，解得 ，
，解得 ，
，解得 ，
，解得 ．
（2） 由（）猜想，，，，；
用数学归纳法证明：
① 时已经验证；
② 时，猜想如上，
则 ，
即 ，
，即 ，
，
即 ，
，
即 ，
由①，②可知，当 猜想成立，
故 ．
30. （1） 因为 ，，
所以 ，；
因为 ，
所以 ，
故 ．
（2） 由（1）知，，
所以 ，
当 时，上式也成立，
故 ．
故 ．