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2021-2022学年北京市大兴三中九年级（上）期中数学试卷【含解析】
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这是一份2021-2022学年北京市大兴三中九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．+x2﹣1＝0
C．2x2﹣x+2＝0D．4x﹣1＝0
3．（2分）二次函数y＝（x﹣1）2+2图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）
4．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+1）2＝4B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝16D．（x﹣1）2＝16
5．（2分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2＞2B．y2＞y1＞2C．2＞y1＞y2D．2＞y2＞y1
6．（2分）原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．100（1﹣x）2＝64B．64（1﹣x）2＝100
C．100（1﹣2x）＝64D．64（1﹣2x）＝100
7．（2分）在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①4ac＜b2
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3
A．①②B．①②③C．①③④D．②④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为 ．
10．（2分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则代数式2a﹣4b的值为 ．
11．（2分）二次函数y＝x2﹣4x﹣2的最小值为 ．
12．（2分）在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是 ．
13．（2分）若x＝2是一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则m＝ ；方程的另一根是 ．
14．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，a的取值范围是 ．
15．（2分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置．若DE＝2，则FC＝ ．
16．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
则代数式（a﹣b+c）（a+b+c）的值是 ．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）解方程：x2﹣6x＝16．
18．（5分）解方程：2x2+3x﹣4＝0．
19．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），求这个二次函数的解析式．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
21．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）直接写出表格当中的m值： ；
（2）求这个二次函数的表达式；
（3）在图中画出这个二次函数的图象．
（4）直接写出当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是 ．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
23．（6分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．
24．（6分）如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图2所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12m，拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度．
25．（6分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．
问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ．
（2）求方程x3＝6x2+16x的解．
拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．
26．（6分）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4，抛物线的顶点为M．
（1）求点M的坐标；
（2）设抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x2＞x1
①判断AB的长是否为定值，并证明；
②已知点N（0，﹣4），且NA≥5，利用图象求x2﹣x1+a的取值范围．
27．（7分）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为 ，位置关系为 ；
拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，把线段AB绕点A旋转，若AB＝5，AC＝3，请直接写出旋转过程中线段AE的最大值．
28．（7分）对于某一函数给出如下定义：如果存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度，特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为0，例如，图中的函数有0和1两个不动值，其不动长度q为1．
（1）下列函数①y＝2x，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不动值的是 （填序号）；
（2）函数y＝3x2+bx，
①若其不动长度为0，则b的值为 ；
②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2﹣4x（x≥t）的图象为G1，将G1沿x＝t翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则t的取值范围为 ．
2021-2022学年北京市大兴三中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（2分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．+x2﹣1＝0
C．2x2﹣x+2＝0D．4x﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【解答】解：A、若ax2+bx+c＝0是一元二次方程，a，b，c是常数，且a≠0，故此选项不符合题意；
B、是分式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、是一元一次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．（2分）二次函数y＝（x﹣1）2+2图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）
【分析】利用顶点式方程可直接得到抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
4．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+1）2＝4B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝16D．（x﹣1）2＝16
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x+1＝4，
∴（x﹣1）2＝4，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
5．（2分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2＞2B．y2＞y1＞2C．2＞y1＞y2D．2＞y2＞y1
【分析】先将x＝1或x＝2代入函数解析式求出y1和y2，然后比较大小．
【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（1+1）2+2＝﹣2，
当x＝2时，y2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7，
∴2＞y1＞y2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题还可以利用二次函数的增减性求解．
6．（2分）原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．100（1﹣x）2＝64B．64（1﹣x）2＝100
C．100（1﹣2x）＝64D．64（1﹣2x）＝100
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝64，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一次降价后的价格为100×（1﹣x），第二次降价后价格为100×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是100（1﹣x）2＝64．
故选：A．
【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
7．（2分）在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．
8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①4ac＜b2
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3
A．①②B．①②③C．①③④D．②④
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，即a＝﹣，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为 （0，﹣7） ．
【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣7，
∴抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为（0，﹣7），
故答案为：（0，﹣7）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（2分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则代数式2a﹣4b的值为 ﹣2 ．
【分析】将x＝1代入原方程即可求出（a﹣2b）的值，然后将其整体代入求值．
【解答】解：将x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0，
∴a﹣2b＝﹣1，
∴原式＝2（a﹣2b）
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
11．（2分）二次函数y＝x2﹣4x﹣2的最小值为 ﹣6 ．
【分析】本题由于二次项的系数为1，可用配方法求解．
【解答】解：y＝x2﹣4x﹣2＝（x﹣2）2﹣6，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题是一道二次函数的解析式的试题，考查了二次函数的最值和顶点式的运用及顶点坐标的求法．
12．（2分）在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是 0＜x＜2 ．
【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的交点坐标为（0，0），（2，4），
所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．
故答案为：0＜x＜2．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是解题的关键．
13．（2分）若x＝2是一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则m＝ 1 ；方程的另一根是 ﹣1 ．
【分析】利用根与系数的关系，得到两根之积，先求出另外一根，再利用两根之和求出m的值，还可以直接将x＝2代入到方程中，直接求出m和另外一根的值．
【解答】解：设方程的另外一根为a，
则2a＝﹣2，2+a＝m，
∴a＝﹣1，m＝1，
故答案为：1；﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系，得到两根之和和两根之积，是解决本题的关键．
14．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，a的取值范围是 a＜2且a≠1 ．
【分析】由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到a的不等式，可求得a的取值范围．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且a﹣1≠0，
即（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0且a﹣1≠0，解得a＜2且a≠1，
∴a的取值范围是a＜2且a≠1．
【点评】本题主要考查根的判别式，由根的判别式得到关于a的不等式是解题的关键．
15．（2分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置．若DE＝2，则FC＝ 8 ．
【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明C、B、F三点在一条直线上，又知BF＝DE＝2，可得FC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AD＝AB，
由旋转得：∠ABF＝∠D＝90°，BF＝DE＝2，
∴∠ABF+∠ABC＝180°，
∴C、B、F三点在一条直线上，
∴CF＝BC+BF＝6+2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、旋转变换的性质，难度适中．由旋转的性质得出BF＝DE是解答本题的关键．
16．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
则代数式（a﹣b+c）（a+b+c）的值是 5 ．
【分析】由表格可得抛物线对称轴为直线x＝1，然后根据对称性可求x＝﹣1时y的值，进而求解．
【解答】解：由题可得抛物线经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1，
∵抛物线经过点（3，﹣9），
∴x＝﹣1时y＝﹣9，
即﹣9＝a﹣b+c，
又∵抛物线经过点（1，﹣1），
∴﹣1＝a+b+c，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＝（﹣9）×（﹣1）＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线上点的坐标的特征求解．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）解方程：x2﹣6x＝16．
【分析】整理成一般式后，利用因式分解法求解可得．
【解答】解：x2﹣6x﹣16＝0，
∴（x+2）（x﹣8）＝0，
∴x+2＝0或x﹣8＝0，
解得：x＝﹣2或x＝8．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键．
18．（5分）解方程：2x2+3x﹣4＝0．
【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里a＝2，b＝3，c＝﹣4，
∵△＝9+32＝41，
∴x＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
19．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），求这个二次函数的解析式．
【分析】根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；
（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由题意得出m的方程，解方程则可得出答案．
方法二：利用根与系数的关系可求出答案．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x1＝m，x2＝3m．
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
方法二：
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2，
∵x1﹣x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∴（4m）2﹣4×3m2＝4，
∴m＝±1，
又m＞0，
∴m＝1．
【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
21．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）直接写出表格当中的m值： 0 ；
（2）求这个二次函数的表达式；
（3）在图中画出这个二次函数的图象．
（4）直接写出当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是 ﹣4≤y＜5 ．
【分析】（1）根据函数的对称性即可求解；
（2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则设抛物线的表达式为y＝a（x+1）2﹣4，将点（0，﹣3）代入上式，即可求解；
（3）描点、连线画出函数的图象即可；
（4）根据函数的对称性求得x＝﹣4时的函数值为5，又函数有最小值﹣4，即可求得当﹣4＜x＜0时，﹣4≤y＜5．
【解答】解：（1）∵x＝﹣2或x＝0的函数值相同，都是﹣3，
∴函数的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∵点（﹣3，0）和点（1.0）关于直线x＝﹣1对称，
∴m＝0，
故答案为0；
（2）∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
则设抛物线的表达式为y＝a（x+1）2﹣4，将点（0，﹣3）代入上式并解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝（x+1）2﹣4；
（3）画出函数图象如图：
（4）∵（2，5）（﹣4，5）关于直线x＝﹣1对称，
∴x＝﹣4时，函数y＝5，
∵函数有最小值﹣4，
∴当﹣4＜x＜0时，﹣4≤y＜5，
故答案为：﹣4≤y＜5．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标（5，﹣1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标（﹣1，﹣5）．
【点评】本题考查作图﹣中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是掌握中心对称，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
23．（6分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．
【分析】利用等边三角形的性质得AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，再根据旋转的性质得CD＝CE，∠DCE＝60°，则∠DCE＝∠ACB，所以∠BCD＝∠ACE，接着证明△BCD≌△ACE得到∠EAC＝∠B＝60°，从而得到∠EAC＝∠ACB，然后根据平行线的判定方法得到结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB，
即∠BCD+∠DCA＝∠DCA+∠ACE，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠EAC＝∠B＝60°，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴AE∥BC．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
24．（6分）如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图2所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12m，拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+k，根据点B、C坐标可求出其解析式；
（2）将x＝5或x＝﹣5代入解析式求出y的值即可得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+k，
由题意，得：B（6，0）、C（0，6），
∴y＝ax2+6，
∴0＝a•62+6，
解得a＝﹣，
∴解析式为y＝﹣x2+6；
（2）由题意得，水面宽度的横坐标为﹣5和5，
∴y＝﹣×52+6＝﹣+6＝，
∴水面上涨的高度为m．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、理解题意．
25．（6分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．
问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝ 3 ，x3＝ ﹣1 ．
（2）求方程x3＝6x2+16x的解．
拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．
【分析】（1）用因式分解法求解方程x2﹣2x﹣3＝0可得结论；
（2）仿照例题因式分解等号的左边，得关于x的三个一次方程，求解即可；
（3）方程的两边平方，得一元二次方程，求解后需检验．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0．
∴x﹣3＝0或x+1＝0．
∴x＝3或x＝﹣1．
故答案为：3，﹣1；
（2）方程x3＝6x2+16x，可化为x3﹣6x2﹣16x＝0，
∴x（x2﹣6x﹣16）＝0，
∴x（x+2）（x﹣8）＝0．
∴x＝0或x+2＝0或x﹣8＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝8．
（3），方程两边平方，得﹣2x+15＝x2，
即x2+2x﹣15＝0，
∴（x+5）（x﹣3）＝0，
∴x+5＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝3．
当x＝﹣5时，
＝＝5≠﹣5，
故﹣5不是原方程的解，舍去；
当x＝3时，
＝＝3．
∴x＝3是原方程的解．
【点评】本题考查了高次方程、无理方程的解法，理解题例学会转化的思想方法是解决本题的关键．
26．（6分）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4，抛物线的顶点为M．
（1）求点M的坐标；
（2）设抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x2＞x1
①判断AB的长是否为定值，并证明；
②已知点N（0，﹣4），且NA≥5，利用图象求x2﹣x1+a的取值范围．
【分析】（1）把一般式配成顶点式即可得到M点坐标；
（2）①令y＝0，可求得A、B两点的坐标，则AB长可求；
②由MA＝5时，求得A点坐标，结合图象可得取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝（x﹣a）2﹣4，
∴M（a，﹣4）；
（2）①AB长为定值，
令y＝0，则x2﹣2ax+a2﹣4＝0
则（x﹣a）2＝4，
解得x1＝a+2或x2＝a﹣2，
AB长＝|a+2﹣（a﹣2）|＝4，
②当NA＝5时，
当点A在y轴左侧时，如图：
∵NA＝5，ON＝4，则OA＝3，故点A（﹣3，0），
∵NA≥5，则a﹣2≤﹣3，∵AB＝4＝x2﹣x1，
∵x2﹣x1+a＝4+a，故x2﹣x1+a≤3；
当点A在y轴右侧时，
同理可得：点A（3，0），
则a﹣2≥3，x2﹣x1+a≥9；
故：x2﹣x1+a的取值范围为x2﹣x1+a≤3或x2﹣x1+a≥9．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
27．（7分）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为 AE＝BD ，位置关系为 AE⊥BD ；
拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，把线段AB绕点A旋转，若AB＝5，AC＝3，请直接写出旋转过程中线段AE的最大值．
【分析】（1）延长BD交AE于H，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，根据三角形内角和定理得到∠EHD＝90°，证明结论；
（2）证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质证明；
（3）连接BD，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，根据勾股定理求出AD，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：（1）如图1，延长BD交AE于H，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，
∵∠CDB＝∠HDE，
∴∠EHD＝∠DCB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为：AE＝BD；AE⊥BD；
（2）AE与BD之间的关系仍然成立，
理由如下：如图2，设BD，CE交于P，
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，
∵∠FPE＝∠CPB，
∴∠EFP＝∠PCB＝90°，即AE⊥BD；
（3）如图3，连接BD，
由（2）的方法可得：△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD，
在Rt△ACD中，AC＝CD＝3，
由勾股定理得：AD＝＝3，
当点A在BD上时，BD最大，最大值为5+3，
∴线段AE的最大值为5+3．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，根据SAS定理证明△ACE≌△DCB是解题的关键．
28．（7分）对于某一函数给出如下定义：如果存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度，特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为0，例如，图中的函数有0和1两个不动值，其不动长度q为1．
（1）下列函数①y＝2x，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不动值的是 ①③ （填序号）；
（2）函数y＝3x2+bx，
①若其不动长度为0，则b的值为 1 ；
②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2﹣4x（x≥t）的图象为G1，将G1沿x＝t翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则t的取值范围为 2≤t≤5或t＜﹣ ．
【分析】（1）令函数的x与y相等列出方程求解，有解则存在不动值，无解则不存在不动值；
（2）①先求函数的不动值，然后结合不动长度求b的值；
②通过不动值用含有b的式子表示出不动长度q，再利用b的取值范围求出q的取值范围；
（3）先求出G2的函数解析式，再求出函数G的不动值，然后表示出不动长度，最后结合不动长度求出t的取值范围．
【解答】解：（1）①令x＝y，得x＝2x，
解得：x＝0，故①存在不动值；
②令x＝y，得x＝x2+1，此方程无解，故②不存在不动值；
③令x＝y，得x＝x2﹣2x，
解得：x＝0或x＝3，故③存在不动值；
故答案为：①③；
（2）①令x＝y，得x＝3x2+bx，
解得：x＝0或x＝，
∵不动长度为0，
∴＝0，
∴b＝1，
故答案为：1；
②由①得，函数的不动值为x＝0或x＝，
∴不动长度q＝||，
∵﹣2≤b≤2，
当﹣2≤b≤1时，0≤1﹣b≤3，
∴不动长度为0≤≤1，
当1＜b≤2时，﹣1≤1﹣b＜0，
∴不动长度为0＜﹣≤，
综上所述，函数y＝3x2+bx的不动长度的取值范围为0≤q≤1；
（3）令y＝x，得x2﹣4x＝x，
解得：x＝0或x＝5，
∴函数y＝x2﹣4x的不动长度为5﹣0＝5，
当直线x＝t在y轴右侧时，
如图1，当t＝5时，函数G只有一个不动值5，
此时，函数G的不动长度为0，
如图2，当t＝2时，函数G的图象与函数y＝x2﹣4x的图象一致，
此时，函数G的不动长度为5，
∵0≤q≤5，
∴2≤t≤5；
当直线x＝t在y轴左侧时，
如图3，当图象G2与直线y＝x只有一个交点时，
∵G1沿x＝t翻折后得到的函数图象记为G2，y＝x2﹣4x（x≥t）的图象为G1，
∴G2的函数解析式为y＝（x﹣2t+2）2﹣4（x＜t），
令y＝（x﹣2t+2）2﹣4＝x，得：x2﹣（4t﹣3）x+4t2﹣8t＝0，
∴Δ＝（4t﹣3）2﹣4（4t2﹣8t）＝0，
解得：t＝﹣，
结合图象可知，当t＜﹣时，图象G2与直线将不会有交点，
∴图象G2没有不动值，
∴函数G的不动长度仍为5，符合题意；
综上所述，t的取值范围为2≤t≤5或t＜﹣．
故答案为：2≤t≤5或t＜﹣．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查的二次函数与一次函数交点问题、新定义“不动值”、翻折的性质，解题的关键是读懂新定义、准确画图并判断函数之间的交点情况．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/22 19:16:33；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052x
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0
1
2
3
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y
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﹣3
﹣1
﹣3
﹣9
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x
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﹣3
﹣2
﹣1
0
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m
5
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﹣3
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0
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﹣4
﹣3
m
5
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1．（2分）下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．+x2﹣1＝0
C．2x2﹣x+2＝0D．4x﹣1＝0
3．（2分）二次函数y＝（x﹣1）2+2图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）
4．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+1）2＝4B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝16D．（x﹣1）2＝16
5．（2分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2＞2B．y2＞y1＞2C．2＞y1＞y2D．2＞y2＞y1
6．（2分）原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．100（1﹣x）2＝64B．64（1﹣x）2＝100
C．100（1﹣2x）＝64D．64（1﹣2x）＝100
7．（2分）在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①4ac＜b2
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3
A．①②B．①②③C．①③④D．②④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为 ．
10．（2分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则代数式2a﹣4b的值为 ．
11．（2分）二次函数y＝x2﹣4x﹣2的最小值为 ．
12．（2分）在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是 ．
13．（2分）若x＝2是一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则m＝ ；方程的另一根是 ．
14．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，a的取值范围是 ．
15．（2分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置．若DE＝2，则FC＝ ．
16．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
则代数式（a﹣b+c）（a+b+c）的值是 ．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）解方程：x2﹣6x＝16．
18．（5分）解方程：2x2+3x﹣4＝0．
19．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），求这个二次函数的解析式．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
21．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）直接写出表格当中的m值： ；
（2）求这个二次函数的表达式；
（3）在图中画出这个二次函数的图象．
（4）直接写出当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是 ．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
23．（6分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．
24．（6分）如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图2所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12m，拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度．
25．（6分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．
问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ．
（2）求方程x3＝6x2+16x的解．
拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．
26．（6分）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4，抛物线的顶点为M．
（1）求点M的坐标；
（2）设抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x2＞x1
①判断AB的长是否为定值，并证明；
②已知点N（0，﹣4），且NA≥5，利用图象求x2﹣x1+a的取值范围．
27．（7分）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为 ，位置关系为 ；
拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，把线段AB绕点A旋转，若AB＝5，AC＝3，请直接写出旋转过程中线段AE的最大值．
28．（7分）对于某一函数给出如下定义：如果存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度，特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为0，例如，图中的函数有0和1两个不动值，其不动长度q为1．
（1）下列函数①y＝2x，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不动值的是 （填序号）；
（2）函数y＝3x2+bx，
①若其不动长度为0，则b的值为 ；
②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2﹣4x（x≥t）的图象为G1，将G1沿x＝t翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则t的取值范围为 ．
2021-2022学年北京市大兴三中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（2分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．+x2﹣1＝0
C．2x2﹣x+2＝0D．4x﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【解答】解：A、若ax2+bx+c＝0是一元二次方程，a，b，c是常数，且a≠0，故此选项不符合题意；
B、是分式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、是一元一次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．（2分）二次函数y＝（x﹣1）2+2图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）
【分析】利用顶点式方程可直接得到抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
4．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+1）2＝4B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝16D．（x﹣1）2＝16
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x+1＝4，
∴（x﹣1）2＝4，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
5．（2分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y2＞2B．y2＞y1＞2C．2＞y1＞y2D．2＞y2＞y1
【分析】先将x＝1或x＝2代入函数解析式求出y1和y2，然后比较大小．
【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（1+1）2+2＝﹣2，
当x＝2时，y2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7，
∴2＞y1＞y2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题还可以利用二次函数的增减性求解．
6．（2分）原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．100（1﹣x）2＝64B．64（1﹣x）2＝100
C．100（1﹣2x）＝64D．64（1﹣2x）＝100
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝64，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一次降价后的价格为100×（1﹣x），第二次降价后价格为100×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是100（1﹣x）2＝64．
故选：A．
【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
7．（2分）在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．
8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论中正确的有（ ）
①4ac＜b2
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3
A．①②B．①②③C．①③④D．②④
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，即a＝﹣，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为 （0，﹣7） ．
【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣7，
∴抛物线y＝﹣x2+2x﹣7与y轴的交点坐标为（0，﹣7），
故答案为：（0，﹣7）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（2分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则代数式2a﹣4b的值为 ﹣2 ．
【分析】将x＝1代入原方程即可求出（a﹣2b）的值，然后将其整体代入求值．
【解答】解：将x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0，
∴a﹣2b＝﹣1，
∴原式＝2（a﹣2b）
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
11．（2分）二次函数y＝x2﹣4x﹣2的最小值为 ﹣6 ．
【分析】本题由于二次项的系数为1，可用配方法求解．
【解答】解：y＝x2﹣4x﹣2＝（x﹣2）2﹣6，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题是一道二次函数的解析式的试题，考查了二次函数的最值和顶点式的运用及顶点坐标的求法．
12．（2分）在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是 0＜x＜2 ．
【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的交点坐标为（0，0），（2，4），
所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．
故答案为：0＜x＜2．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是解题的关键．
13．（2分）若x＝2是一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则m＝ 1 ；方程的另一根是 ﹣1 ．
【分析】利用根与系数的关系，得到两根之积，先求出另外一根，再利用两根之和求出m的值，还可以直接将x＝2代入到方程中，直接求出m和另外一根的值．
【解答】解：设方程的另外一根为a，
则2a＝﹣2，2+a＝m，
∴a＝﹣1，m＝1，
故答案为：1；﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系，得到两根之和和两根之积，是解决本题的关键．
14．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，a的取值范围是 a＜2且a≠1 ．
【分析】由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到a的不等式，可求得a的取值范围．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且a﹣1≠0，
即（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0且a﹣1≠0，解得a＜2且a≠1，
∴a的取值范围是a＜2且a≠1．
【点评】本题主要考查根的判别式，由根的判别式得到关于a的不等式是解题的关键．
15．（2分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置．若DE＝2，则FC＝ 8 ．
【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明C、B、F三点在一条直线上，又知BF＝DE＝2，可得FC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AD＝AB，
由旋转得：∠ABF＝∠D＝90°，BF＝DE＝2，
∴∠ABF+∠ABC＝180°，
∴C、B、F三点在一条直线上，
∴CF＝BC+BF＝6+2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、旋转变换的性质，难度适中．由旋转的性质得出BF＝DE是解答本题的关键．
16．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
则代数式（a﹣b+c）（a+b+c）的值是 5 ．
【分析】由表格可得抛物线对称轴为直线x＝1，然后根据对称性可求x＝﹣1时y的值，进而求解．
【解答】解：由题可得抛物线经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1，
∵抛物线经过点（3，﹣9），
∴x＝﹣1时y＝﹣9，
即﹣9＝a﹣b+c，
又∵抛物线经过点（1，﹣1），
∴﹣1＝a+b+c，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＝（﹣9）×（﹣1）＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线上点的坐标的特征求解．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）解方程：x2﹣6x＝16．
【分析】整理成一般式后，利用因式分解法求解可得．
【解答】解：x2﹣6x﹣16＝0，
∴（x+2）（x﹣8）＝0，
∴x+2＝0或x﹣8＝0，
解得：x＝﹣2或x＝8．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键．
18．（5分）解方程：2x2+3x﹣4＝0．
【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：这里a＝2，b＝3，c＝﹣4，
∵△＝9+32＝41，
∴x＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
19．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），求这个二次函数的解析式．
【分析】根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（0，1）和点B（﹣1，2），
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；
（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由题意得出m的方程，解方程则可得出答案．
方法二：利用根与系数的关系可求出答案．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．
∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，
∴x1＝m，x2＝3m．
∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，
∴3m﹣m＝2，
∴m＝1．
方法二：
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2，
∵x1﹣x2＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∴（4m）2﹣4×3m2＝4，
∴m＝±1，
又m＞0，
∴m＝1．
【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．
21．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）直接写出表格当中的m值： 0 ；
（2）求这个二次函数的表达式；
（3）在图中画出这个二次函数的图象．
（4）直接写出当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是 ﹣4≤y＜5 ．
【分析】（1）根据函数的对称性即可求解；
（2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则设抛物线的表达式为y＝a（x+1）2﹣4，将点（0，﹣3）代入上式，即可求解；
（3）描点、连线画出函数的图象即可；
（4）根据函数的对称性求得x＝﹣4时的函数值为5，又函数有最小值﹣4，即可求得当﹣4＜x＜0时，﹣4≤y＜5．
【解答】解：（1）∵x＝﹣2或x＝0的函数值相同，都是﹣3，
∴函数的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∵点（﹣3，0）和点（1.0）关于直线x＝﹣1对称，
∴m＝0，
故答案为0；
（2）∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
则设抛物线的表达式为y＝a（x+1）2﹣4，将点（0，﹣3）代入上式并解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝（x+1）2﹣4；
（3）画出函数图象如图：
（4）∵（2，5）（﹣4，5）关于直线x＝﹣1对称，
∴x＝﹣4时，函数y＝5，
∵函数有最小值﹣4，
∴当﹣4＜x＜0时，﹣4≤y＜5，
故答案为：﹣4≤y＜5．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
【分析】（1）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标（5，﹣1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标（﹣1，﹣5）．
【点评】本题考查作图﹣中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是掌握中心对称，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
23．（6分）如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．
【分析】利用等边三角形的性质得AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，再根据旋转的性质得CD＝CE，∠DCE＝60°，则∠DCE＝∠ACB，所以∠BCD＝∠ACE，接着证明△BCD≌△ACE得到∠EAC＝∠B＝60°，从而得到∠EAC＝∠ACB，然后根据平行线的判定方法得到结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB，
即∠BCD+∠DCA＝∠DCA+∠ACE，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠EAC＝∠B＝60°，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴AE∥BC．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
24．（6分）如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图2所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12m，拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+k，根据点B、C坐标可求出其解析式；
（2）将x＝5或x＝﹣5代入解析式求出y的值即可得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+k，
由题意，得：B（6，0）、C（0，6），
∴y＝ax2+6，
∴0＝a•62+6，
解得a＝﹣，
∴解析式为y＝﹣x2+6；
（2）由题意得，水面宽度的横坐标为﹣5和5，
∴y＝﹣×52+6＝﹣+6＝，
∴水面上涨的高度为m．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、理解题意．
25．（6分）阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0，通过因式分解可以把它转化为x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解．
问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝ 3 ，x3＝ ﹣1 ．
（2）求方程x3＝6x2+16x的解．
拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x的解．
【分析】（1）用因式分解法求解方程x2﹣2x﹣3＝0可得结论；
（2）仿照例题因式分解等号的左边，得关于x的三个一次方程，求解即可；
（3）方程的两边平方，得一元二次方程，求解后需检验．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0．
∴x﹣3＝0或x+1＝0．
∴x＝3或x＝﹣1．
故答案为：3，﹣1；
（2）方程x3＝6x2+16x，可化为x3﹣6x2﹣16x＝0，
∴x（x2﹣6x﹣16）＝0，
∴x（x+2）（x﹣8）＝0．
∴x＝0或x+2＝0或x﹣8＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝8．
（3），方程两边平方，得﹣2x+15＝x2，
即x2+2x﹣15＝0，
∴（x+5）（x﹣3）＝0，
∴x+5＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝3．
当x＝﹣5时，
＝＝5≠﹣5，
故﹣5不是原方程的解，舍去；
当x＝3时，
＝＝3．
∴x＝3是原方程的解．
【点评】本题考查了高次方程、无理方程的解法，理解题例学会转化的思想方法是解决本题的关键．
26．（6分）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4，抛物线的顶点为M．
（1）求点M的坐标；
（2）设抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x2＞x1
①判断AB的长是否为定值，并证明；
②已知点N（0，﹣4），且NA≥5，利用图象求x2﹣x1+a的取值范围．
【分析】（1）把一般式配成顶点式即可得到M点坐标；
（2）①令y＝0，可求得A、B两点的坐标，则AB长可求；
②由MA＝5时，求得A点坐标，结合图象可得取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝（x﹣a）2﹣4，
∴M（a，﹣4）；
（2）①AB长为定值，
令y＝0，则x2﹣2ax+a2﹣4＝0
则（x﹣a）2＝4，
解得x1＝a+2或x2＝a﹣2，
AB长＝|a+2﹣（a﹣2）|＝4，
②当NA＝5时，
当点A在y轴左侧时，如图：
∵NA＝5，ON＝4，则OA＝3，故点A（﹣3，0），
∵NA≥5，则a﹣2≤﹣3，∵AB＝4＝x2﹣x1，
∵x2﹣x1+a＝4+a，故x2﹣x1+a≤3；
当点A在y轴右侧时，
同理可得：点A（3，0），
则a﹣2≥3，x2﹣x1+a≥9；
故：x2﹣x1+a的取值范围为x2﹣x1+a≤3或x2﹣x1+a≥9．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
27．（7分）问题发现：（1）如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC、BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE、BD，则AE、BD之间的数量关系为 AE＝BD ，位置关系为 AE⊥BD ；
拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
拓展延伸：（3）如图3，已知AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝90°，连接AB、AE、AD，把线段AB绕点A旋转，若AB＝5，AC＝3，请直接写出旋转过程中线段AE的最大值．
【分析】（1）延长BD交AE于H，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，根据三角形内角和定理得到∠EHD＝90°，证明结论；
（2）证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质证明；
（3）连接BD，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，根据勾股定理求出AD，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：（1）如图1，延长BD交AE于H，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，
∵∠CDB＝∠HDE，
∴∠EHD＝∠DCB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为：AE＝BD；AE⊥BD；
（2）AE与BD之间的关系仍然成立，
理由如下：如图2，设BD，CE交于P，
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠AEC＝∠DBC，
∵∠FPE＝∠CPB，
∴∠EFP＝∠PCB＝90°，即AE⊥BD；
（3）如图3，连接BD，
由（2）的方法可得：△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD，
在Rt△ACD中，AC＝CD＝3，
由勾股定理得：AD＝＝3，
当点A在BD上时，BD最大，最大值为5+3，
∴线段AE的最大值为5+3．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，根据SAS定理证明△ACE≌△DCB是解题的关键．
28．（7分）对于某一函数给出如下定义：如果存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不动值，在函数存在不动值时，该函数的最大不动值与最小不动值之差q称为这个函数的不动长度，特别地，当函数只有一个不动值时，其不动长度q为0，例如，图中的函数有0和1两个不动值，其不动长度q为1．
（1）下列函数①y＝2x，②y＝x2+1，③y＝x2﹣2x中存在不动值的是 ①③ （填序号）；
（2）函数y＝3x2+bx，
①若其不动长度为0，则b的值为 1 ；
②若﹣2≤b≤2，求其不动长度q的取值范围；
（3）记函数y＝x2﹣4x（x≥t）的图象为G1，将G1沿x＝t翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不动长度q满足0≤q≤5，则t的取值范围为 2≤t≤5或t＜﹣ ．
【分析】（1）令函数的x与y相等列出方程求解，有解则存在不动值，无解则不存在不动值；
（2）①先求函数的不动值，然后结合不动长度求b的值；
②通过不动值用含有b的式子表示出不动长度q，再利用b的取值范围求出q的取值范围；
（3）先求出G2的函数解析式，再求出函数G的不动值，然后表示出不动长度，最后结合不动长度求出t的取值范围．
【解答】解：（1）①令x＝y，得x＝2x，
解得：x＝0，故①存在不动值；
②令x＝y，得x＝x2+1，此方程无解，故②不存在不动值；
③令x＝y，得x＝x2﹣2x，
解得：x＝0或x＝3，故③存在不动值；
故答案为：①③；
（2）①令x＝y，得x＝3x2+bx，
解得：x＝0或x＝，
∵不动长度为0，
∴＝0，
∴b＝1，
故答案为：1；
②由①得，函数的不动值为x＝0或x＝，
∴不动长度q＝||，
∵﹣2≤b≤2，
当﹣2≤b≤1时，0≤1﹣b≤3，
∴不动长度为0≤≤1，
当1＜b≤2时，﹣1≤1﹣b＜0，
∴不动长度为0＜﹣≤，
综上所述，函数y＝3x2+bx的不动长度的取值范围为0≤q≤1；
（3）令y＝x，得x2﹣4x＝x，
解得：x＝0或x＝5，
∴函数y＝x2﹣4x的不动长度为5﹣0＝5，
当直线x＝t在y轴右侧时，
如图1，当t＝5时，函数G只有一个不动值5，
此时，函数G的不动长度为0，
如图2，当t＝2时，函数G的图象与函数y＝x2﹣4x的图象一致，
此时，函数G的不动长度为5，
∵0≤q≤5，
∴2≤t≤5；
当直线x＝t在y轴左侧时，
如图3，当图象G2与直线y＝x只有一个交点时，
∵G1沿x＝t翻折后得到的函数图象记为G2，y＝x2﹣4x（x≥t）的图象为G1，
∴G2的函数解析式为y＝（x﹣2t+2）2﹣4（x＜t），
令y＝（x﹣2t+2）2﹣4＝x，得：x2﹣（4t﹣3）x+4t2﹣8t＝0，
∴Δ＝（4t﹣3）2﹣4（4t2﹣8t）＝0，
解得：t＝﹣，
结合图象可知，当t＜﹣时，图象G2与直线将不会有交点，
∴图象G2没有不动值，
∴函数G的不动长度仍为5，符合题意；
综上所述，t的取值范围为2≤t≤5或t＜﹣．
故答案为：2≤t≤5或t＜﹣．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查的二次函数与一次函数交点问题、新定义“不动值”、翻折的性质，解题的关键是读懂新定义、准确画图并判断函数之间的交点情况．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/22 19:16:33；用户：菁优校本题库；邮箱：2471@xyh.cm；学号：56380052x
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