新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题6　微重点17　抛物线的二级结论的应用（含解析）

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考点一 抛物线的焦点弦
核心提炼
与抛物线的焦点弦有关的二级结论
若倾斜角为αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则
(1)焦半径|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝eq \f(p,1－cs α)，
|BF|＝x2＋eq \f(p,2)＝eq \f(p,1＋cs α)，
(2)焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)，
(3)S△OAB＝eq \f(p2,2sin α)(O为坐标原点)，
(4)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，
(5)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，
(6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．
考向1 焦半径、弦长问题
例1 (1)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
答案 A
解析 如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则直线l2的倾斜角为eq \f(π,2)＋θ，
由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(4,sin2θ)，
|DE|＝eq \f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)))＝eq \f(4,cs2θ)，
∴|AB|＋|DE|＝eq \f(4,sin2θ)＋eq \f(4,cs2θ)＝eq \f(4,sin2θcs2θ)＝eq \f(16,sin22θ)≥16，
当且仅当sin 2θ＝1，
即θ＝eq \f(π,4)时取等号．
∴|AB|＋|DE|的最小值为16.
(2)斜率为eq \r(3)的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F与抛物线交于A，B两点，A在第一象限且|AF|＝4，则|AB|＝________.
答案 eq \f(16,3)
解析 直线l的倾斜角α＝60°，
由|AF|＝eq \f(p,1－cs α)＝4，
得p＝4(1－cs α)＝2，
∴|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(4,\f(3,4))＝eq \f(16,3).
考向2 面积问题
例2 (2022·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为eq \f(π,6)的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．
答案 64
解析 方法一 (常规解法)依题意，
抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，
直线l的方程为x＝eq \r(3)y＋4.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)y＋4，,y2＝16x，))消去x，
得y2－16eq \r(3)y－64＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝16eq \r(3)，y1y2＝－64.
S△OAB＝eq \f(1,2)|y1－y2|·|OF|
＝2eq \r(y1＋y22－4y1y2)
＝2eq \r(16\r(3)2－4×－64)＝64.
方法二 (活用结论)依题意知，
抛物线y2＝16x，p＝8.
又l的倾斜角α＝eq \f(π,6).
所以S△OAB＝eq \f(p2,2sin α)＝eq \f(82,2sin \f(π,6))＝64.
考向3 eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)的应用
例3 (2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|最小值为( )
A．2 B．2eq \r(6)＋3
C．4 D．3＋2eq \r(2)
答案 D
解析 因为p＝2，
所以eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，
所以2|AF|＋|BF|
＝(2|AF|＋|BF|)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|AF|)＋\f(1,|BF|)))
＝3＋eq \f(2|AF|,|BF|)＋eq \f(|BF|,|AF|)
≥3＋2eq \r(\f(2|AF|,|BF|)·\f(|BF|,|AF|))＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当|BF|＝eq \r(2)|AF|时，等号成立，
因此，2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2eq \r(2).
考向4 利用平面几何知识
例4 (2022·遂宁模拟)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线的准线l1交于点M，若eq \(PM,\s\up6(→))＝2eq \(FP,\s\up6(→))，则eq \f(|FQ|,|PQ|)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,3) D．3
答案 B
解析 如图，过点P作准线的垂线交于点H，由抛物线的定义有|PF|＝|PH|＝m(m>0)，过点Q作准线的垂线交于点E，
则|EQ|＝|QF|，
∵eq \(PM,\s\up6(→))＝2eq \(FP,\s\up6(→))，
∴|PM|＝2m，
根据△PHM∽△QEM，
可得eq \f(|PH|,|PM|)＝eq \f(|QE|,|QM|)＝eq \f(1,2)，
∴2|EQ|＝|QM|＝|FQ|＋3m.
∴|EQ|＝3m，即|FQ|＝3m，
∴eq \f(|FQ|,|PQ|)＝eq \f(3m,3m＋m)＝eq \f(3,4).
易错提醒 焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．
跟踪演练1 (1)已知A，B是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，S△OAB＝eq \f(\r(2),3)|AB|，则|AB|的值为( )
A.eq \f(9,2) B.eq \f(2,9) C．4 D．2
答案 A
解析 如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))
∴F为AB的三等分点，
令|BF|＝t，则|AF|＝2t，
由eq \f(1,|BF|)＋eq \f(1,|AF|)＝eq \f(2,p)，
得eq \f(1,t)＋eq \f(1,2t)＝eq \f(2,p)⇒t＝eq \f(3,4)p，
∴|AB|＝3t＝eq \f(9,4)p，
又|AB|＝eq \f(2p,sin2α)，
∴eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(9,4)p⇒sin α＝eq \f(2\r(2),3)，
又S△AOB＝eq \f(\r(2),3)|AB|，
∴eq \f(p2,2sin α)＝eq \f(\r(2),3)|AB|，
即eq \f(p2,\f(4\r(2),3))＝eq \f(\r(2),3)·eq \f(9,4)p⇒p＝2，
∴|AB|＝eq \f(9,2).
(2)(多选)已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为H，G，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．线段AB长度的最小值为2
B．以AB为直径的圆与直线y＝－1相切
C．∠HFG＝90°
D．∠AMO＝∠BMO
答案 BCD
解析 如图，取AB的中点为C，作CD⊥GH，垂足为D，
当线段AB为通径时长度最小，为2p＝4，故A不正确；
∵直线y＝－1为准线，
∴|CD|＝eq \f(1,2)(|AH|＋|BG|)＝eq \f(1,2)|AB|，
故以AB为直径的圆与准线y＝－1相切，
故B正确；
又|BF|＝|BG|，∴∠BFG＝∠BGF，
又BG∥FM，
∴∠BGF＝∠MFG，
∴∠BFG＝∠MFG，
同理可得∠AFH＝∠MFH，
又∠BFG＋∠MFG＋∠MFH＋∠AFH＝180°，
∴FG⊥FH.
即∠HFG＝90°，故C正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴直线AB：y＝kx＋1，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))
得x2－4kx－4＝0，
∴x1x2＝－4，x1＋x2＝4k，
kAM＋kBM＝eq \f(y1＋1,x1)＋eq \f(y2＋1,x2)
＝eq \f(kx1＋2,x1)＋eq \f(kx2＋2,x2)
＝2k＋eq \f(2x1＋x2,x1x2)
＝2k＋2·eq \f(4k,－4)＝0，
∴∠AMO＝∠BMO，故D正确．
考点二 定点问题
核心提炼
抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过(2p，0)的直线与之交于A，B两点，则OA⊥OB，反之，也成立．
例5 如图，已知直线与抛物线x2＝2py交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为(2,4)，则p的值为( )
A．2 B．4
C.eq \f(3,2) D.eq \f(5,2)
答案 D
解析 如图，令AB与y轴交于点C，
∵OA⊥OB，
∴AB过定点C(0,2p)，
又D(2,4)，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝(2,4－2p)，eq \(OD,\s\up6(→))＝(2,4)，
∵OD⊥AB，
∴eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(OD,\s\up6(→))＝0，
即4＋4(4－2p)＝0，
解得p＝eq \f(5,2).
易错提醒 要注意抛物线的焦点位置，焦点不同，定点是不同的；在解答题中用该结论时需证明该结论．
跟踪演练2 已知抛物线y2＝4x，A，B为抛物线上不同两点，若OA⊥OB，则△AOB的面积的最小值为________．
答案 16
解析 如图，∵OA⊥OB，
∴直线AB过定点(2p，0)，
即点C坐标为(4,0)，
设直线AB：x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ty＋4，,y2＝4x))⇒y2－4ty－16＝0，
Δ＝16t2＋64>0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－16，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)|OC||y1－y2|＝2|y1－y2|＝2eq \r(16t2＋64)，
∴当t＝0时，Smin＝16.
专题强化练
1．(2022·菏泽模拟)设坐标原点为O，抛物线y2＝4x与过焦点的直线交于A，B两点，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C．3 D．－3
答案 D
解析 方法一 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
设直线AB的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ty＋1，,y2＝4x，))
得y2－4ty－4＝0，
Δ＝16t2＋16>0恒成立，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4t，,y1y2＝－4，))
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2
＝eq \f(y\\al(2,1),4)·eq \f(y\\al(2,2),4)＋y1y2＝eq \f(16,16)＋(－4)＝－3.
方法二 因为AB过抛物线的焦点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2＝eq \f(p2,4)＝1，y1y2＝－p2＝－4，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－3.
2.如图，过抛物线y2＝8x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线准线交于C点，若B是AC的中点，则|AB|等于( )
A．8 B．9
C．10 D．12
答案 B
解析 如图所示，
令|BF|＝t，
则|BB′|＝t，
又B为AC的中点，
∴|AA′|＝|AF|＝2t，
∴|BC|＝|AB|
＝|AF|＋|BF|＝3t，
又△CBB′∽△CFE，
∴eq \f(|BC|,|CF|)＝eq \f(|BB′|,|FE|)，
即eq \f(3t,3t＋t)＝eq \f(t,p)⇒t＝eq \f(3,4)p，
∴|AB|＝3t＝eq \f(9,4)p＝9.
3．倾斜角为eq \f(π,4)的直线l交抛物线C：y2＝2px(p>0)于A，B两点，且OA⊥OB，S△AOB＝8eq \r(5)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝4eq \r(2)x D．y2＝8x
答案 B
解析 ∵OA⊥OB，
∴直线过定点(2p，0)
设直线l的方程为x＝y＋2p，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝y＋2p，,y2＝2px，))得y2－2py－4p2＝0，
Δ＝4p2－4×(－4p2)＝20p2>0，
∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－4p2，
S△AOB＝eq \f(1,2)·2p·|y1－y2|
＝peq \r(y1＋y22－4y1y2)
＝p·eq \r(4p2＋16p2)＝2eq \r(5)p2＝8eq \r(5)，
∴p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
4．直线l过抛物线y2＝6x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，则四边形ABB′A′的面积为( )
A．4eq \r(3) B．8eq \r(3) C．16eq \r(3) D．32eq \r(3)
答案 C
解析 不妨令直线l的倾斜角为θ，
则|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)＝eq \f(3,1－cs θ)，
|BF|＝eq \f(p,1＋cs θ)＝eq \f(3,1＋cs θ)，
又|AF|＝3|BF|，
∴eq \f(3,1－cs θ)＝3·eq \f(3,1＋cs θ)，
解得cs θ＝eq \f(1,2)，
又θ∈[0，π)，∴θ＝eq \f(π,3)，
∴|AF|＝eq \f(3,1－cs θ)＝6，|BF|＝eq \f(3,1＋cs θ)＝2，
∴|AA′|＝6，|BB′|＝2，
∴|A′B′|＝|AB|sin θ＝8×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3)，
∴S四边形ABB′A′＝eq \f(1,2)×(2＋6)×4eq \r(3)＝16eq \r(3).
5．(多选)(2022·聊城模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，则( )
A．C的准线方程为x＝－2
B．若|AF|＝4，则|OA|＝eq \r(21)
C．若|AF|·|BF|＝4p2，则l的斜率为±eq \f(\r(3),3)
D．过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分∠HFB，则|AF|＝4
答案 BCD
解析 因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，所以p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线为x＝－1，故A错误；
若|AF|＝4，则xA＝3，所以yeq \\al(2,A)＝4xA＝12，
所以|OA|＝eq \r(x\\al(2,A)＋y\\al(2,A))＝eq \r(21)，故B正确；
设直线AB的倾斜角为α，α∈(0，π)，
|AF||BF|＝eq \f(p,1－cs α)·eq \f(p,1＋cs α)＝eq \f(p2,sin2α)＝4p2，
∴sin2α＝eq \f(1,4)，
∴sin α＝eq \f(1,2)，
∴α＝30°或150°，
∴tan α＝±eq \f(\r(3),3)，故C正确；
对于D，若x轴平分∠HFB，则∠OFH＝∠OFB，又AH∥x轴，
所以∠AHF＝∠OFH＝∠OFB＝∠AFH，
所以HF＝AF＝AH，
所以eq \f(xA＋xH,2)＝xF，即xA＝3，
所以|AF|＝xA＋1＝4，故D正确．
6．(多选)(2022·武汉模拟)斜率为k的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线C相交于A，B两点，点A在x轴上方，点M(－1，－1)是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是( )
A．p＝2 B．k＝－2
C．MF⊥AB D.eq \f(|FA|,|FB|)＝eq \f(2,5)
答案 ABC
解析 由题意知，抛物线C的准线为x＝－1，
即eq \f(p,2)＝1，解得p＝2，
故选项A正确；
∵p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点为F(1,0)，
∵以AB为直径的圆与准线相切，
∴点M(－1，－1)为切点，
∴圆心的纵坐标为－1，即AB中点的纵坐标为－1，
设AB：x＝ty＋1，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ty＋1，,y2＝4x，))
得y2－4ty－4＝0，
Δ＝16t2＋16>0，
∴y1＋y2＝4t＝－2，
∴t＝－eq \f(1,2)，即k＝－2，故选项B正确；
∵k＝－2，kMF＝eq \f(－1－0,－1－1)＝eq \f(1,2)，kMF·k＝－1，
∴MF⊥AB，故选项C正确；
过A作AA1⊥x轴，过B作BB1⊥x轴，
抛物线的准线交x轴于点C，设∠BFB1＝θ，
∴|BF|＝eq \f(p,1－cs θ)，
|AF|＝eq \f(p,1＋cs θ)，
又p＝2，k＝－2，则cs θ＝eq \f(\r(5),5)，
∴eq \f(|FA|,|FB|)＝eq \f(5－\r(5),5＋\r(5))＝eq \f(5－\r(5)2,25－5)
＝eq \f(30－10\r(5),20)＝eq \f(3－\r(5),2)，
故选项D错误．
7．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，且|MF|＝2|NF|，则直线l的斜率为______．
答案 ±2eq \r(2)
解析 由抛物线的焦点弦的性质知eq \f(1,|MF|)＋eq \f(1,|NF|)＝eq \f(2,p)＝1，
又|MF|＝2|NF|，
解得|NF|＝eq \f(3,2)，|MF|＝3，
∴|MN|＝eq \f(9,2)，
设直线l的倾斜角为θ，∴k＝tan θ，
又|MN|＝eq \f(2p,sin2θ)，
∴eq \f(4,sin2θ)＝eq \f(9,2)，
∴sin2θ＝eq \f(8,9)，∴cs2θ＝eq \f(1,9)，
∴tan2θ＝8，
∴tan θ＝±2eq \r(2)，故k＝±2eq \r(2).
8.(2022·攀枝花模拟)如图所示，已知抛物线C1：y2＝2px过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0.过圆心C2的直线l与抛物线C1和圆C2分别交于P，Q，M，N，则|PM|＋4|QN|的最小值为________．
答案 13
解析 由题设知，16＝2p×2，则2p＝8，
故抛物线的标准方程为y2＝8x，则焦点F(2,0)，
由直线PQ过抛物线的焦点，
则eq \f(1,|PF|)＋eq \f(1,|QF|)＝eq \f(2,p)＝eq \f(1,2)，
圆C2：(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2,0)，半径为1，
|PM|＋4|QN|＝|PF|－1＋4(|QF|－1)
＝|PF|＋4|QF|－5
＝2(|PF|＋4|QF|)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|PF|)＋\f(1,|QF|)))－5
＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF|,|QF|)＋\f(4|QF|,|PF|)))＋5≥4eq \r(\f(|PF|,|QF|)·\f(4|QF|,|PF|))＋5＝13，
当且仅当|PF|＝2|QF|时，等号成立，故|PM|＋4|QN|的最小值为13.