新高考数学二轮复习 专题突破 专题1 第4讲　导数的几何意义及函数的单调性（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习 专题突破 专题1 第4讲　导数的几何意义及函数的单调性（含解析），共14页。
考点一 导数的几何意义与计算
核心提炼
1．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
2．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′ x＝y′u·u′x.
例1 (1)(2022·焦作模拟)函数f(x)＝(2ex－x)·cs x的图象在x＝0处的切线方程为( )
A．x－2y＋1＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋2＝0 D．2x－y＋1＝0
答案 B
解析 由题意，函数f(x)＝(2ex－x)·cs x，
可得f′(x)＝(2ex－1)·cs x－(2ex－x)·sin x，
所以f′(0)＝(2e0－1)·cs 0－(2e0－0)·sin 0＝1，
f(0)＝(2e0－0)·cs 0＝2，
所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝x－0，即x－y＋2＝0.
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析 因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a) SKIPIF 1 < 0 )，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝ SKIPIF 1 < 0 ＝(x0＋a＋1) SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，化简，得xeq \\al(2,0)＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程xeq \\al(2,0)＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
跟踪演练1 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为__________，____________.
答案 y＝eq \f(1,e)x y＝－eq \f(1,e)x
解析 先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，
则由y′＝eq \f(1,x)，得切线斜率为eq \f(1,x0)，
又切线的斜率为eq \f(y0,x0)，所以eq \f(1,x0)＝eq \f(y0,x0)，
解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，
所以切线斜率为eq \f(1,e)，切线方程为y＝eq \f(1,e)x.
同理可求得当x0)与函数f(x)，g(x)的图象都相切，则a＋eq \f(1,b)的最小值为( )
A．2 B．2e
C．e2 D.eq \r(e)
答案 B
解析 设直线y＝kx与函数f(x)，g(x)的图象相切的切点分别为A(m，km)，B(n，kn)．
由f′(x)＝eq \f(a,x)，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(km＝aln m，,\f(a,m)＝k，))
解得m＝e，a＝ek.
又由g′(x)＝bex，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kn＝ben，,ben＝k，))
解得n＝1，b＝eq \f(k,e)，
可得a＋eq \f(1,b)＝ek＋eq \f(e,k)≥2eq \r(e2)＝2e，
当且仅当a＝e，b＝eq \f(1,e)时取“＝”．
考点二 利用导数研究函数的单调性
核心提炼
利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)求f(x)的导数f′(x)；
(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间；
(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．
例2 (2022·哈师大附中模拟)已知函数f(x)＝axex－(x＋1)2(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若f(x)在x＝0处的切线与直线y＝ax垂直，求a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解 (1)f′(x)＝(x＋1)(aex－2)，则f′(0)＝a－2，
由已知得(a－2)a＝－1，解得a＝1.
(2)f′(x)＝(x＋1)(aex－2)，
①当a≤0时，aex－20⇒x0时，令aex－2＝0，得x＝ln eq \f(2,a)，
(ⅰ)当00⇒xln eq \f(2,a)，
f′(x)0)，且x10时，因为－2x2＋2x＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)≤eq \f(1,2)，所以(－2x2＋2x)max＝eq \f(1,2)，
所以a≥eq \f(1,2)，则实数a的最小值为eq \f(1,2).
8．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( )
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
答案 A
解析 ∵9m＝10，∴m∈(1,2)，
令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，
∴f′(x)＝mxm－1－1，
∵x>1且10，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，
又a＝f(10)，b＝f(8)，
∴f(8)