吉林省长春市榆树市部分学校开学联考2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如图，是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从从正面看第一层三个小正方形，第二层右边一个小正方形，
故选：D．
2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据最简二次根式的定义判断即可．
【分析】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．是最简二次根式，故本选项符合题意；
D．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．
3. 若，则下列比例式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“内项之积等于外项之积”对四个选项进行计算，然后与条件进行对比即可判断．
【详解】解：A、，得，故选项A不符合题意；
B、 ，得，故选项B不符合题意；
C、，得，故选项C符合题意；
D、，得，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
4. 如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（ ）
A. 2023B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴的定义求解即可．
【详解】解；∵数轴上点A表示的数是2023，，
∴，
∴点B表示的数是，
故选：B．
【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点特征是解题的关键．
5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟记①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程无实数根，是解决问题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
故选：A．
6. 如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9，
而四边形ABCD的面积等于4，
∴四边形A′B′C′D′的面积为9．
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键．
7. 如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作于点．证明，利用面积法求出即可．
【详解】解：如图，过点作于点．

，，，，
由作图过程可知：平分，，，
，
设，则有，
，
，
为上一动点，
则的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了作图基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
8. 若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A. ﹣2B. 0C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次函数的性质得出b＝0，再利用图象上点的坐标得出答案．
【详解】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出b的值是解题关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
9. 若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入得到得 然后利用整体代入的方法进行计算．
【详解】∵2是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴n＋m＝−2，
故答案为−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解的定义是解决本题的关键.
10. 如图，与位似，点O为位似中心，若，则_______．
【答案】##13
【解析】
【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，位似图形的对应顶点的连线平行或共线．与位似，则，先证明，进一步可求，据此可得答案．
【详解】解：∵与位似，
∴
∴
∴
∵
∴，
故答案为：
11. 已知二次函数的函数值与自变量的部分对应值如下表：
则这个二次函数图象的对称轴是直线______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据当、时的函数值都是，结合二次函数的对称性求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：当、时的函数值都是，
这个二次函数图象的对称轴是直线，即，
故答案为：．
12. 如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝________ cm.
【答案】6
【解析】
【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得AB：BC=AD：DE，代入计算即可解答．
【详解】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴AB：BC=AD：DE，
即2：BC=2：6，
∴BC=6cm．
故答案6．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
13. 如图，在平面直角坐标系中，是第一象限的点，其坐标为，且与轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，过P作轴于H，由P坐标，得到，，由锐角的正切等于求出，即可得到x的值为6．
【详解】解：过P作轴于H，
∵P的坐标是，
∴，，
∵，
∴，
∴x的值为6．
故答案为：6．
14. 如图，与是位似图形，点O是位似中心，，若，则_____．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：，
，
与是位似图形，
，，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：8．
三、解答题（共78分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根据特殊角的三角函数值、二次根式的除法法则和完全平方公式计算，然后化简后合并即可．
【详解】解：原式＝4×﹣+9+6+2
＝2﹣2+9+6+2
＝11+6．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16. 甲、乙两人同在如图所示的地下车库等电梯，已知他们分别在1至3层的任意一层出电梯．
（1）如果甲在1层出电梯，那么乙和甲在同一层楼出电梯的概率是______；
（2）请你用画树状图（或列表法）求出甲、乙在同一楼层出电梯的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法以及树状图法求概率,列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（1）根据概率公式即可得到结论;
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出在甲、乙在同一楼层出电梯的情况数，即可求出所求的概率.
【小问1详解】
乙出电梯共有3种等可能情况，乙在1层出电梯有1种，
乙和甲在同一层楼出电梯的概率为：
【小问2详解】
画树状图如下：
共有9种等可能情况，其中甲、乙在同一楼层出电梯有3种，
甲、乙在同一楼层出电梯的概率为：．
17. 如图，公园原有一块长，宽的矩形空地．后来从这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．如果各区域鲜花面积和为，求所铺设的石子路的宽度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设铺设的石子路的宽度为，则余下部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植花卉的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设铺设的石子路的宽度为，则余下部分可合成长为，宽为的矩形，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：铺设的石子路的宽度为．
18. 由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．

（1）图①中，画出的圆心；
（2）图②中，在边上找到一点，使得平分；
（3）图③中，在上找到一点（不与点重合），使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由为90°可得为直径，利用格点找出的中点即可得到圆心；
（2）利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即平分，因此与的交点即为所求的点D；
（3）在格点上找到点H，使得，延长交圆于点E，由垂径定理可得，进而可证．
【小问1详解】
解：如图，点O即为所求：
【小问2详解】
如图，点D即为所求：
【小问3详解】
如图点E即为所求：
【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线和垂线，格点作图，圆周角定理，垂径定理等，掌握格点作图的特点，综合运用上述知识点是解题的关键．
19. 如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方处与坐垫下方处在平行于地面的水平线上，、之间的距离约为，现测得、与的夹角分别为与．若点到地面的距离为，坐垫中轴处与点间的距离为，求点到地面的距离．（结果保留一位小数参考数据：，，）
【答案】点到地面的距离约为
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．过点作于点，过点作垂直的延长线于点，设，则，，由知，解之求得的长，再由根据点E到地面的距离为可得答案．
【详解】解：过点作于点，过点作垂直的延长线于点．
设，则，．
由知，
解得．
∵，
∴，
∴，
答：点到地面的距离约为．
20. 在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定：
（1）根据四边形是矩形，得出，由翻折可得：，可以得出，即可证出结论；
（2）由翻折可得：，根据勾股定理得出，利用得出，求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
由翻折的性质得：，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由翻折的性质得：，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由（1），
∴，即，
∴．
21. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 77 页的部分内容．
（1）【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（2）【定理应用】如图②，已知矩形中，，，点在上从向移动，、、分别是、、的中点，则______．
（3）【拓展提升】如图③，中，，，点，分别是，中点，点在上，且，则______．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）2．
【解析】
【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等证明，即可证明；
（2）连接，在中求出，再由中位线的性质求即可；
（3）在中，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出，再由中位线性质求，即可求．
【小问1详解】
证明∶∵点、分别是与的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如下图，连接，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵是的中点，，
∴，
，，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为∶；
【小问3详解】
解∶∵，点，分别是，的中点，
∴，
∵，点是的中点，，
∴，
∴，
故答案为∶2．
【点睛】本题考查了三角形中位线的的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握中位线的定义及性质、三角形相似的判定及性质是解题的关键．
22. 某校为了解本校学生每天在校体育锻炼时间的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得了他们每天在校体育锻炼时间的数据（单位：），并对数据进行了整理，描述，部分信息如下：
a．每天在校体育锻炼时间分布情况：
b．每天在校体育锻炼时间在这一组的是：
80 81 81 81 82 82 83 83 84 84 84 84 84 85 85 85 85 85 85 85 85 86 87 87 87 87 87 88 88 88 89 89 89 89 89
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中______，______；
（2）若该校共有1000名学生，估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数；
（3）该校准备确定一个时间标准p（单位：），对每天在校体育锻炼时间不低于p的学生进行表扬．若要使的学生得到表扬，则p的值可以是______．
【答案】（1），
（2）人
（3）86（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据所有组别的频率之和为1求出m即可；用组别的频数除以频率得到参与调查的学生人数，进而求出n的值即可；
（2）用1000乘以样本中每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数占比即可得到答案；
（3）把每天在校体育锻炼时间从低到高排列，找到处在第75名和第76名的锻炼时间即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，，
人，
∴这次参与调查的学生人数为100人，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：人，
∴估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数为人；
【小问3详解】
解：把每天在校体育锻炼时间从低到高排列，处在第75名和第76名的锻炼时间分别为，
∵要使的学生得到表扬，
∴，
∴p的值可以为86，
故答案为：86（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了频率与频数分布表，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
23. 如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米．
（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式；
（2）已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门．
【答案】（1）
（2）球不能射进球门
【解析】
【分析】本题主要考查求二次函数解析式以及二次函数的应用：
（1）用待定系数法运用顶点式设出函数解析式，再把代入，求出的值即可；
（2）当时，，即可求解．
【小问1详解】
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为 ，
把点代入得：，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
当时，
∴球不能射进球门．
24. 如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．
（1）求证：△DAE∽△DCF．
（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．
（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cs∠AED的值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）y＝x+4；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质和余角的性质得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，∠ADE=∠CDF，最后运用相似三角形的判定定理证明即可；
（2）运用相似三角形的性质解答即可；
（3）根据轴对称图形的性质可得DE=BE，再运用勾股定理可求出AE，DE的长，最后用余弦的定义解答即可.
【详解】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，
∴△DAE∽△DCF；
（2）∵△DAE∽△DCF，
∴ ，
∴
∴y＝x+4；
（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，
∴DE＝BE，
∵AD2+AE2＝DE2，
∴16+AE2＝（6﹣AE）2，
∴AE＝，
∴DE＝BE＝，
∴cs∠AED＝ ＝，
故答案为：．
【点睛】本题属于相似形三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称图形的性质等知识，灵活运用相似三角形的判定和性质是解答本题的关键.
25. 已知抛物线是常数，，自变量与函数值的部分对应值如下表：
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为直线______．
（2）求抛物线的解析式和的值．
（3）将抛物线的图象记为，将绕点旋转后的图象记为合起来得到的图象记为，完成以下问题：
①若直线与函数有且只有两个交点，直接写出的取值范围．
②若对于函数上的两点，当时，总有，直接写出的取值范围．
【答案】（1）开口向上，对称轴为
（2），
（3）①；②或
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，图形的旋转、解不等式；
（1）由表格数据，根据函数图象和性质即可求解；
（2）用待定系数法即可求解；
（3）①画出函数图象，观察函数图象即可求解；
②当点在轴右侧和点之间以及在点的左侧时，总有，即可求解．
【小问1详解】
解：由表格数据知，其对称轴为直线x=1，在对称轴的右侧，随的增大而增大，
故抛物线开口向上，
故答案为：开口向上，x=1；
【小问2详解】
设抛物线的解析式为，
代入、得：
解得：
，
将代入上式，得：；
【小问3详解】
①如下图，从图象看，当的值为或或时，直线与函数有且只有两个交点，
②当点在轴右侧和点之间以及在点的左侧时，总有，如下图：
当点在轴右侧和点之间时，
则且，
即；
当点在点的左侧时，
根据函数的对称性，轴右侧抛物线的表达式为：，
当x=2时，，
当，
则(正值舍去)
则，
综上，或．…
0
1
2
3
…
…
8
3
0
0
3
…
3
2
1
车库
猜想：如图，在中，点、分别是与的中点．根据画出的图形，可以猜想：，且
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
每天在校体育锻炼时间x（）
频数（人）
百分比
14
40
m
35
n
0
1
2
3
…
1
…