2023-2024学年吉林省长春市榆树市部分学校联考八年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市榆树市部分学校联考八年级（下）开学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式①3x，②x+y5，③xπ−2，④12−a中，是分式的有( )
A. ①④B. ①③④C. ①③D. ①②③④
2.8的立方根是( )
A. 2B. −2C. 4D. −4
3.若下列选项中的图形均为正多边形，则哪一个图形恰有4条对称轴？( )
A. B. C. D.
4.下列数中是无理数的为( )
A. 2.1B. 227C. π+4D. 1.141
5.某人将一枚质量分布均匀的硬币连续抛20次，落地后正面朝上12次，反面朝上8次，下列说法正确的是( )
A. 出现正面的频率是12B. 出现正面的频率是8
C. 出现正面的频率是40%D. 出现正面的频率是60%
6.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )
A. 1，2，2B. 2，3，4C. 1，1， 2D. 6，6，6
7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，若AB=10，AC=8，则S△ABD：S△ACD=( )
A. 25：16
B. 5：4
C. 16：25
D. 4：5
8.如图，在△ABC中，AC=10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.分解因式：xy2+6xy+9x= ______．
10.若在一张长方形纸片中按照如图所示的方法剪裁后制作一个体积为8cm3的正方体，正方体展开图的边都与长方形纸片的边平行或垂直，则该长方形纸片的最小面积为______cm2．
11.命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是______命题．(填“真”或“假”)
12.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=______度．
13.如图，在△ABC，∠ACB=90°，分别以三边为直径向上作三个半圆.若AB=5，AC=4，则阴影部分图形的面积为______．
14.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB=500m，AC=300m，BC=400m，飞机中心周围260m以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为14m/s，则着火点C受到洒水影响______秒.
三、解答题：本题共11小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
计算题：
(1)|1− 2|+327− (−2)2−3−2+364；
(2)4 3−2 13+13 75．
16.(本小题6分)
先化简，再求值：(a−3b)2−(a+b)(a−b)+(4ab2−2b3)÷b，其中a=12，b=−14．
17.(本小题6分)
如图，在8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、C、P1，P2，P3都在格点上.请从P1，P2，P3中选取一点作为点P，画出符合要求的图形．
(1)请在图1中，作△ABP，使△ABP与△ABC全等．
(2)请在图2中，作△ABP，使△ABP为等腰三角形．
18.(本小题6分)
因式分解：
(1)m2−6m+9；
(2)xy3−16xy．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE，DE，DC．
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE=30°，求∠EDC的度数．
20.(本小题7分)
阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
=(am+bm)+(an+bn)
=m(a+b)+n(a+b)
=(a+b)(m+n)．
(1)利用分组分解法分解因式：
①3m−3y+am−ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y.
(2)因式分解：a2+2ab+b2−1=______(直接写出结果)．
21.(本小题7分)
如图，把一张边长为a厘米的正方形纸片的四角均剪去一个边长为b(b(1)①用含a，b的式子表示纸片(阴影部分)的面积；
②当a=6.4，b=1.8时，利用分解因式法计算阴影部分的面积．
(2)当a+2b=8，ab=2时，求出纸盒的底面积．
22.(本小题8分)
为了解某市的空气质量情况，某坏保兴趣小组从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计根据空气污染指数的不同，将空气质量分为A、B、C、D和E五个等级，分别表示空气质量优、良、轻度污染、中度污染、重度污染，并绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中的信息，解答下列问题：
(1)求被抽取的天数；
(2)补全条形统计图，并求扇形统计图中表示空气质量表示中度污染的扇形的圆心角度数；
(3)在这次抽取的天数中，求空气质量为良占的百分比．
23.(本小题6分)
如图，点B、点F、点C、点E在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=CE.求证：AC=DF，AC/​/DF．
24.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，且AB=EC．
(1)求证：△ABD≌△ECB；
(2)若∠BDC=65°，求∠DBC的度数．
25.(本小题10分)
如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=7.延长BC到点E，使CE=3，连结DE.动点P从点B出发，沿BE以每秒1个单位的速度向终点E运动，设点P运动的时间为t(秒)．
(1)DE的长为______．
(2)连结AP，当△ABP≌△DCE时，求t的值．
(3)连结DP．
①当△PDE是直角三角形时，求t的值．
②当△PDE是等腰三角形时，直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，属于基础题．
根据分式的定义逐个判断即可，注意π不是字母，是常数，所以xπ−2不是分式，是整式．
【解答】解：①3x是分式，②x+y5是整式，③xπ−2是整式，④12−a是分式，
故选：A．
2.【答案】A
【解析】解：8的立方根为2，
故选：A．
利用立方根的意义解答即可．
本题主要考查了立方根的意义，熟练掌握立方根的意义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的性质分析得出符合题意的答案．
【解答】
解：A.正三角形有3条对称轴，故此选项错误；
B.正方形有4条对称轴，故此选项正确；
C.正六边形有6条对称轴，故此选项错误；
D.正八边形有8条对称轴，故此选项错误．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：A.2.1是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B.227是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.π+4是无理数，故本选项符合题意；
是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据无理数的定义：无限不循环小数判断即可．
本题考查了无理数，掌握无理数的定义：无限不循环小数是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵某人将一枚质量分布均匀的硬币连续抛20次，落地后正面朝上12次，反面朝上8次，
∴出现正面的频率是：1220=60%．
故选：D．
直接利用频率求法，频数÷总数=频率，进而得出答案．
此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、∵12+22≠22，∴此三条线段不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、∵32+22≠42，∴此三条线段不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、∵12+12=( 2)2，∴此三条线段能构成直角三角形，故符合题意；
D、∵62+62≠62，∴此三条线段不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
根据勾股定理的逆定理依次计算并判断即可．
此题考查了勾股定理的逆定理判断直角三角形，熟练掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的方法是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=10：8=5：4，
故选：B．
先根据角平分线性质得到点D到AB和AC的距离相等，然后根据三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD=AB：AC．
本题考查了角平分线性质和三角形的面积，能熟记角平分线性质是解此题的关键，角平分线上的点到角两边的距离相等．
8.【答案】C
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴BD+CD=AC=10．
∴BC=△BDC的周长−(BD+CD)=18−10=8，
故选：C．
根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，则AC=BD+CD，结合AC=10和△BDC的周长，即可求得BC的长．
本题考查了线段的垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
9.【答案】x(y+3)2
【解析】解：xy2+6xy+9x
=x(y2+6y+9)
=x(y+3)2．
故答案为：x(y+3)2．
直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．
10.【答案】48
【解析】解：∵正方体的体积为8cm3，
∴正方体的棱长为2cm，
当长方形纸片的面积最小时，为：(2×3)×(2×4)=6×8=48(cm2)，
故答案为：48．
根据正方体的体积求出其边长，再观察图形即可计算出长方形面积的最小值．
本题考查了正方体的展开图相关的知识理解和应用能力，找出长方形纸片面积最小的图形是解题的关键．
11.【答案】真
【解析】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，
故答案为：真．
将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，然后判断正误即可．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12.【答案】15
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为15．
根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．
13.【答案】6
【解析】解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，
∴BC2+AC2=AB2，BC= AB2−AC2= 52−42=3，
∴S△ABC=12BC⋅AC=12×3×4=6，
设以BC为直径的半圆的面积为S1，以AB为直径的半圆的面积为S3，以AC为直径的半圆的面积为S2，
∵S1=12π⋅(12BC)2=π8BC2，S2=12π⋅(12AC)2=π8AC2，S3=12π⋅(12AB)2=π8AB2，
∴S阴影=S2+S1+S△ABC−S3=π8(BC2+AC2−AB2)+S△ABC=S△ABC=6，
故答案为：6．
由勾股定理得BC2+AC2=AB2，BC=3，则S△ABC=12BC⋅AC=6，设以BC为直径的半圆的面积为S1，以AB为直径的半圆的面积为S3，以AC为直径的半圆的面积为S2，再由圆的面积公式得S1=π8BC2，S2=π8AC2，S3=π8AB2，然后由S阴影=S2+S1+S△ABC−S3，即可得出结论．
本题考查了勾股定理、圆的面积公式以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键．
14.【答案】1007
【解析】解：过C作CH⊥AB于H，设M，N在AB上，且CM=CN=260m，如图：
∵AB=500m，AC=300m，BC=400m，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CH，
∴CH=AC⋅BCAB=300×400500=240(m)，
∵CM=CN=260m，
∴MH=NH= 2602−2402=100(m)，
∴MN=200(m)，
∴着火点C受到洒水影响的时间为200÷14=1007(秒)；
故答案为：1007．
过C作CH⊥AB于H，设M，N在AB上，且CM=CN=260m，由AB=500m，AC=300m，BC=400m，知∠ACB=90°，用面积法得CH=AC⋅BCAB=300×400500=240(m)，即可得MH=NH= 2602−2402=100(m)，故着火点C受到洒水影响的时间为200÷14=1007(秒)．
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，求出着火点C受到洒水影响时飞机所在位置．
15.【答案】解：(1)|1− 2|+327− (−2)2−3−2+364
= 2−1+3−2−3−12564
= 2−1+3−2−(−54)
= 2−1+3−2+54
= 2+54；
(2)4 3−2 13+13 75
=4 3−2 33+5 33
=5 3．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，二次根式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】解：原式=a2−6ab+9b2−a2+b2+4ab−2b2
=a2−a2+9b2+b2−2b2+4ab−6ab
=8b2−2ab，
当a=12,b=−14时，
原式=8×(−14)2−2×12×(−14)
=8×116+14
=12+14
=34．
【解析】先根据完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式法则去掉括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子，进行有理数的混合运算即可．
本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式法则和合并同类项法则．
17.【答案】解：(1)如图1，△ABP1和△ABP3均满足题意．
(2)如图2，△ABP2即为所求．

【解析】(1)根据全等三角形的判定与性质确定点P的位置，再画图即可．
(2)根据等腰三角形的判定与性质确定点P的位置，再画图即可．
本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=(m−3)2；
(2)原式=xy(y2−16)
=xy(y+4)(y−4)．
【解析】(1)原式利用完全平方公式分解即可；
(2)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19.【答案】证明：(1)
∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE=∠CBD=90°．
在△ABE和△CBD中，
AB=CB∠ABE=∠CBDBE=BD
∴△ABE≌△CBD；
(2)解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠CAB=45°，
又∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=15°．
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=15°，
∴∠BDC=90°−15°=75°，
又∵BE=BD，∠DBE=90°，
∴∠BDE=45°，
∴∠EDC=75°−45°=30°．
【解析】(1)利用SAS证明三角形全等即可得证；
(2)由全等三角形对应角相等得到∠BCD=∠BAE，利用等腰直角三角形的性质求出∠BDE的度数，即可确定出∠EDC的度数．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
20.【答案】(a+b+1)(a+b−1)
【解析】解：(1)①原式=(3m−3y)+(am−ay)
=3(m−y)+a(m−y)
=(m−y)(3+a)；
②原式=(a2x+a2y)+(b2x+b2y)
=a2(x+y)+b2(x+y)
=(x+y)(a2+b2)；
(2)a2+2ab+b2−1
=(a+b)2−1
=(a+b+1)(a+b−1)．
故答案为：(a+b+1)(a+b−1)．
(1)①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
(2)将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
21.【答案】解：(1)①由图得：纸片(阴影部分)的面积为(a2−4b2)cm2；
②∵a=6.4，b=1.8，
∴a2−4b2=(a+2b)(a−2b)=(6.4+2×1.8)×(6.4−2×1.8)=10×2.8=28cm2；
(2)∵a+2b=8，ab=2，
∴纸盒的底面积为(a−2b)2=a2−4ab+4b2=(a+2b)2−8ab=82−8×2=48cm2．
【解析】(1)①根据纸片(阴影部分)的面积等于边长为a的大正方形面积减去4个边长为b的小正方形面积列式即可；
②先利用平方差公式进行因式分解，再代入求值；
(2)根据纸盒的底面是边长为(a−2b)的正方形进行列式，然后利用完全平方公式变形，再整体代入计算．
本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，因式分解．
22.【答案】解：(1)10÷20%=50(天)，
答：被抽取的天数是50天；
(2)空气质量中度污染的天数=50−12−18−10−5=5(天)，
360°×550=36°，
补全条形统计图如图所示，
(3)1250×100%=24%，
答：空气质量为良占的百分比为24%．
【解析】(1)根据空气质量情况为轻度污染所占比例为20%，条形图中空气质量情况为轻度污染的天数为10天，据此即可求得总天数；
(2)利用总天数减去其它各类的天数即可求得中度污染的天数；利用360°乘以对应的百分比即可求得对应的圆心角的度数；
(3)根据题意列式计算即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.【答案】证明：∵BF=CE，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠B=∠EBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴AC=DF，∠ACF=∠DFE，
∵∠ACF=∠DFE，
∴AC/​/DF．
【解析】先由BF=CE说明BC=EF.然后运用SAS证明△ABC≌△DEF，最后运用全等三角形的性质即可证明AC=DF，∠ACF=∠DFE，根据内错角相等，得出AC/​/DF．
本题考查了全等三角形的判定，平行线的判定，解题的关键是证明△ABC≌△DEF．
24.【答案】(1)证明：∵AD/​/BC，
∴∠ADB=∠EBC，
在△ABD和△ECB中，
∠A=∠BECAD=EB∠ADB=∠EBC，
∴△ABD≌△ECB(ASA)；
(2)解：∵△ABD≌△ECB，
∴BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=65°，
∴∠DBC=50°．
【解析】(1)由“ASA”可证△ABD≌△ECB；
(2)由全等三角形的性质可得BD=BC，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键．
25.【答案】5
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，CD⊥BC，
在Rt△DCE中，DE= DC2+CE2= 16+9=5，
故答案为：5；
(2)如图1，在长方形ABCD中，AB=DC，∠B=∠DCB=90°，
∴∠DCE=∠B=90°，
∵△ABP≌△DCE，
∴BP=CE，
∴1×t=3，
∴t=3；
(3)①当∠PDE=90°时，如图2，
在Rt△PDE中，PD2=PE2−DE2，
在Rt△PCD中，PD2=PC2+CD2，
∴PE2−DE2=PC2+CD2，
∴(10−t)2−52=(7−t)2+42，
∴t=53．
当∠DPE=90°时，此时点P与点C重合，
∴BP=BC，
∴t=7．
综上所述，当△PDE是直角三角形时，t=53或t=7；
②若△PDE为等腰三角形，
则PD=DE或PE=DE或PD=PE，
当PD=DE时，如图3，
∵PD=DE，DC⊥BE，
∴PC=CE=3，
∵BP=BC−CP=4，
∴t=41=4；
当PE=DE=5时，如图4，
∵BP=BE−PE，
∴BP=10−5=5，
∴t=51=5；
当PD=PE时，如图5，
∴PE=PC+CE=3+PC，
∴PD=3+PC，
在Rt△PDC中，DP2=CD2+PC2，
∴(3+PC)2=16+PC2，
∴PC=76，
∵BP=BC−PC，
∴BP=356，
∴t=3561=356，
综上所述：当△PDE为等腰三角形时，t=4或5或356．
(1)根据题意可得：CD=4，根据勾股定理可求DE的长；
(2)利用全等三角形的对应边BP=CE建立方程求解，即可得出结论；
(3)①分两种情况，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；
②分PD=DE，PE=DE，PD=PE三种情况讨论，可求t的值．
此题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．