新高考数学一轮复习学案第14讲 等差数列、等比数列基本量（2份打包，原卷版+解析版）

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一、基本概念
1.数列
(1)定义.
按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.
(2)数列与函数的关系.
从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在 SKIPIF 1 < 0 中,当自变量 SKIPIF 1 < 0 时,所对应的函数值 SKIPIF 1 < 0 就构成一数列,通常记为 SKIPIF 1 < 0 ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.
2.等差数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母 SKIPIF 1 < 0 表示,即 SKIPIF 1 < 0 .
(2)等差数列的通项公式.
若等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项是 SKIPIF 1 < 0 ,公差是 SKIPIF 1 < 0 ,则其通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ,是关于 SKIPIF 1 < 0 的一次型函数.或 SKIPIF 1 < 0 ,公差 SKIPIF 1 < 0 (直线的斜率)( SKIPIF 1 < 0 ).
(3)等差中项.
若 SKIPIF 1 < 0 成等差数列,那么 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项,即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.
(4)等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 (类似于 SKIPIF 1 < 0 ),是关于 SKIPIF 1 < 0 的二次型函数(二次项系数为 SKIPIF 1 < 0 且常数项为0). SKIPIF 1 < 0 的图像在过原点的直线 SKIPIF 1 < 0 上或在过原点的抛物线 SKIPIF 1 < 0 上.
3.等比数列
(1)定义.
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母 SKIPIF 1 < 0 表示,即 SKIPIF 1 < 0 .
(2)等比数列的通项公式.
等比数列的通项 SKIPIF 1 < 0 ,是不含常数项的指数型函数.
(3) SKIPIF 1 < 0 .
(4)等比中项如果 SKIPIF 1 < 0 成等比数列,那么 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等比中项,即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (两个同号实数的等比中项有两个).
(5)等比数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和
SKIPIF 1 < 0
二、基本性质
1.等差数列的性质
(1)等差中项的推广.
当 SKIPIF 1 < 0 时,则有 SKIPIF 1 < 0 ,特别地,当 SKIPIF 1 < 0 时,则有 SKIPIF 1 < 0 .
(2)等差数列线性组合.
①设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列,则 SKIPIF 1 < 0 也是等差数列.
②设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列,则 SKIPIF 1 < 0 也是等差数列.
(3)等差数列的单调性及前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 的最值.
公差 SKIPIF 1 < 0 为递增等差数列, SKIPIF 1 < 0 有最小值;
公差 SKIPIF 1 < 0 为递减等差数列, SKIPIF 1 < 0 有最大值;
公差 SKIPIF 1 < 0 为常数列.
特别地
若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 有最大值(所有正项或非负项之和);
若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 有最小值(所有负项或非正项之和).
(4)其他衍生等差数列.
若已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ,公差为 SKIPIF 1 < 0 ,前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 为等差数列,公差为 SKIPIF 1 < 0 .
3.等比数列的性质
(1)等比中项的推广.
若 SKIPIF 1 < 0 时,则 SKIPIF 1 < 0 ,特别地,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 .
(2)①设 SKIPIF 1 < 0 为等比数列,则 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为非零常数), SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 仍为等比数列.
②设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为等比数列,则 SKIPIF 1 < 0 也为等比数列.(3)等比数列 SKIPIF 1 < 0 的单调性(等比数列的单调性由首项 SKIPIF 1 < 0 与公比 SKIPIF 1 < 0 决定).
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为递增数列;
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 为递减数列.
(4)其他衍生等比数列.
若已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 ,公比为 SKIPIF 1 < 0 ,前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 为等比数列,公比为 SKIPIF 1 < 0 (当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 不为偶数).
4.等差数列与等比数列的转化
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为正项等比数列,则 SKIPIF 1 < 0 为等差数列.
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列,则 SKIPIF 1 < 0 为等比数列.
(3)若 SKIPIF 1 < 0 既是等差数列又是等比数列 SKIPIF 1 < 0 是非零常数列.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ）
A．－24B．－3
C．3D．8
【答案】A
【详解】
根据题意得
SKIPIF 1 < 0 ，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
解得d＝0(舍去)，d＝－2，
所以数列{an}的前6项和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．38B．50C．36D．45
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
例3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
因为S3 = a2 +10a1，
所以 SKIPIF 1 < 0 a2 +a3= a2 +10a1，
即a3= 9a1，即 SKIPIF 1 < 0 = 9a1，
解得 SKIPIF 1 < 0 = 9，
又因为a5 = 9，
所以 SKIPIF 1 < 0 = 9，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
例4．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
解析:∵数列{an}为等比数列,且其前n项和记为Sn,
∴S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.
∵S10∶S5=1∶2,即S10= SKIPIF 1 < 0 S5,
∴等比数列S5,S10-S5,S15-S10的公比为 SKIPIF 1 < 0 =- SKIPIF 1 < 0 .
∴S15-S10=- SKIPIF 1 < 0 (S10-S5)= SKIPIF 1 < 0 S5.∴S15= SKIPIF 1 < 0 S5+S10= SKIPIF 1 < 0 S5.
∴S15∶S5= SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
例5．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【答案】C
【详解】
设第n环天石心块数为 SKIPIF 1 < 0 ，第一层共有n环，
则 SKIPIF 1 < 0 是以9为首项，9为公差的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 SKIPIF 1 < 0 ，因为下层比中层多729块，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
例6．（2019·海南·嘉积中学高三阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．2B．14C．7D．6或7
【答案】D
【详解】
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时 SKIPIF 1 < 0 或7．
故选：D．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是等差数列，设 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且对任意的正整数n， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等差中项，证明： SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【详解】
证明：由题知 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差为2的等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也符合题意，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，求证： SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式：
【详解】
由点 SKIPIF 1 < 0 在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
也即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是首项和公比均为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
例10．（2022·全国·高三专题练习）有下列三个条件：①数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，② SKIPIF 1 < 0 是公差为1的等差数列，③ SKIPIF 1 < 0 ，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.
设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有___________.已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，试求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【详解】
记 SKIPIF 1 < 0 ，从而有 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ).
选择①，数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 或2时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，即 SKIPIF 1 < 0 取得最大值.
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，2，使得对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
选择②，方法一： SKIPIF 1 < 0 是公差为1的等差数列，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，上式成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，即 SKIPIF 1 < 0 取得最大值.
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
方法二：利用“夹逼法”，即利用 SKIPIF 1 < 0 来求解. SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
选择③，方法一： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列，
故不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
方法二：利用 SKIPIF 1 < 0 求解.
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以不存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由等差数列性质可知数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，由已知等式可求得其公差 SKIPIF 1 < 0 ，结合等差数列通项公式可求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到结果.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，设其公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
设数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，以及等比数列和等差数列的中项性质，化简已知得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 即得解.
【详解】
设数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
若 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）记等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公差为（ ）
A．3B．2C．－2D．－3【答案】A
【分析】
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，将条件转化为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 表示，得到方程组，解得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
解：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
4．（2021·湖北·高三阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．22B．45C．50D．55
【答案】D
【分析】
利用等差中项和等差数列前n项和公式求解
【详解】
由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
5．（2021·四川遂宁·模拟预测（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．9B． SKIPIF 1 < 0 C．10D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 判断出 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 是等差数列，设公差为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
根据等差数列的性质及等差数列前n项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案．
【详解】
由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练习）等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是（ ）
A．20B．22C．24D．8
【答案】C
【分析】
根据等差数列的性质可求.
【详解】
因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据等差数列性质可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，由此可构造方程求得结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，所有偶数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则该数列的中间项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
本题可设等差数列 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 项，然后通过 SKIPIF 1 < 0 即可得出结果.
【详解】
设等差数列 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 项，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，中间项为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
10．（2022·全国·高三专题练习）等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
由已知可得得 SKIPIF 1 < 0 ，逐项排除可得答案.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，故错误；对于B， SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，故错误.
故选：B.
11．（2021·贵州毕节·模拟预测（文））等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
等差数列前n项和 SKIPIF 1 < 0 构成的数列{ SKIPIF 1 < 0 }为等差数列，公差为原数列公差的一半﹒
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即{ SKIPIF 1 < 0 }为等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ﹒
故选：A﹒
12．（2021·安徽定远·高三阶段练习（理））等差数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式 SKIPIF 1 < 0 ，由此能求出结果
【详解】
解：等差数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是两个等差数列，它们的前 SKIPIF 1 < 0 项和分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
又等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0
故选：B．
【点睛】
本题考查两个等差数列的前5项和的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
13．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．28B．34C．40D．44
【答案】D
【分析】
根据等差数列的性质 SKIPIF 1 < 0 并结合已知可求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用等差数列性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出结果.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 ，可得
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
14．（2021·广东广州·高三阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得出答案.
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
15．（2022·全国·高三专题练习）我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）
A．30.8贯B．39.2贯C．47.6贯D．64.4贯
【答案】A
【分析】
由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果.
【详解】
解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，
由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得a1=64.4，d=﹣8.4，
所以a5=64.4﹣33.6=30.8，
即戊所得钱数为30.8贯.
故选：A.
【点睛】
本题考查了等差数列项的性质与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．5C．10D．15
【答案】B
【分析】
利用等比中项和对数的运算性质可求得结果.
【详解】
因为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
17．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
利用等差中项和等比中项的性质分别求得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，然后利用特殊角的三角函数值可得出结果.
【详解】
由等差中项的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由等比中项的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的公比为( )
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
【答案】B
【分析】利用等比数列的性质求解即可.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正项等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
19．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列{an}中，每项均为正数，且a3a8＝81，则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10等于（ ）
A．5B．10C．20D．40
【答案】C
【分析】
由对数运算法则，等比数列的性质求解．
【详解】
SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝（ ）
A．5B．10C．15D．20
【答案】A
【分析】
结合等比数列的中项性质以及完全平方公式即可求出结果.
【详解】
数列{an}是等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
21．（2021·陕西安康·高三期中（理））等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．1B．5C．1或31D．5或11
【答案】D
【分析】
由已知条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，求出公比 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出结果
【详解】
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 或1，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
故选：D．
22．（2021·四川·双流中学高三阶段练习（理））已知 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 是它的前n项和．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．29B．31C．33D．35
【答案】B
【分析】
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，代入等比数列的求和公式即可
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
23．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三阶段练习（文））记等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则公比 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或2
【答案】D
【分析】
根据等比数列的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，分别求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案.
【详解】
解：在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或2.
故选：D.
24．（2021·山西运城·高三期中（文））数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得出数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的等式，由 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
在等式 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.
25．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B．-2C．1D．-1
【答案】A
【分析】
根据等比数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式的结构求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
设等比数列的公比为q，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，等比数列前 SKIPIF 1 < 0 项和公式 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
26．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列.其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
先根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列以及 SKIPIF 1 < 0 单调递减，求出公比 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据等比数列通项公式以及前 SKIPIF 1 < 0 项和公式即可求出.
【详解】
解：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
得： SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：C．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．31D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
根据已知条件列出首项和公比的方程组可得答案.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，①
又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，②由①②得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
28．（2022·浙江·高三专题练习）已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（ ）
A．8B．﹣8C．±8D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果.
【详解】
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解之可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
二、多选题
29．（2022·江苏·高三专题练习）等差数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，下列选项正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 最小D． SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【分析】
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，由已知条件 SKIPIF 1 < 0 可得出 SKIPIF 1 < 0 ，可判断出AB选项的正误，求出 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.
【详解】
由于等差数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，A选项错误；
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，B选项正确； SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小，C选项错误；
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，所以，满足 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，D选项正确.
故选：BD.
三、填空题
30．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 _______.
【答案】3
【分析】
根据条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，解出 SKIPIF 1 < 0 ，即解.
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，设公比为q，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：3.
31．（2022·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 取最大值时， SKIPIF 1 < 0 的值为___________.
【答案】7
【分析】
根据条件，由等差数列通项公式及求和公式求得首项和公差，从而变成函数问题，找到最大值.
【详解】
方法一：设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值.
方法二：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 .∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 的前7项为正数，从第8项起各项均为负数，
故当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：7.
32．（2022·上海宝山·一模）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据通项公式列出方程求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用前n项和公式求解.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以2为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
33．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】15
【分析】
先根据等差数列的求和公式和等差数列的等差中项的性质利用 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据等差数列性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：15
34．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 有最小值，且 SKIPIF 1 < 0 ，则使得 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 的最小值是________．
【答案】22
【分析】
根据等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 有最小值，得到公差 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用等差数列的性质结合前n项和公式求解.
【详解】
因为等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 有最小值，
所以等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以使得 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 的最小值是22，
故答案为：22
35．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ____
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
利用等差数列等距离片段和的性质求 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】
由等差数列片段和的性质有 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
36．（2022·全国·高三专题练习）已知公比大于1的等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则公比 SKIPIF 1 < 0 等于________.
【答案】2
【分析】
由等比数列以及 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，由已知条件结合等比数列通项公式可知 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程求解，根据 SKIPIF 1 < 0 可解的答案.
【详解】
解：由题意得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）
故答案为：2
37．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
分析：利用的等比数列的性质 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 求解．
详解：由题意 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
点睛：在等差数列和等比数列中一般可用基本量法求解，得数列的这个性质要尽量进行应用，若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
38．（2021·海南·三亚华侨学校高三阶段练习）若数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】256
【分析】
由等比数列片段和性质结合等比数列的通项公式，即可求解
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 是等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等比数列，
且公比 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
39．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项之和， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______
【答案】260
【分析】
根据等比数列前n项和的性质，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，结合等比中项公式，即可求解.
【详解】
解：根据等比数列前n项和的性质，
可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
40．（2021·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．【答案】2
【分析】
由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不相等，与假设矛盾，进而根据等比前n项和公式，结合已知列方程求参数a即可.
【详解】
由题设， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，显然成立.
故答案为：2.
四、解答题
41．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，记 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列：②数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；③ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】答案见解析．
【分析】
首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前 SKIPIF 1 < 0 项和公式证明结论即可．
【详解】
选择①③为条件，②结论．
证明过程如下：
设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
选择①②为条件，③结论：
设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则：
SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，则： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
选择③②为条件，①结论：
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
通项公式为： SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时上式也成立，故数列的通项公式为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
42．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；
（2）若数列 SKIPIF 1 < 0 前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，求n的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）5.
【分析】
（1）根据等差数列定义，结合递推公式，可证明 SKIPIF 1 < 0 ，即得证；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，分组求和可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式即可
【详解】
（1）证明：因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为等差数列.分组求和可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴n的最小值为5.
43．（2021·江西南昌·模拟预测（文））已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，根据已知条件列方程组求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，写出通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 时数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】
（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
44．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
（1）求 SKIPIF 1 < 0 通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）. SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用“ SKIPIF 1 < 0 ”法求解.
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，然后分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 去掉绝对值，利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】
（1）在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
45．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及取得最大值时 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）前16项或前17项和最大，最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）先由 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 通项公式，再利用定义法证明即可；
（2）先判断 SKIPIF 1 < 0 的n的范围，得到数列的正负分布，即得何时 SKIPIF 1 < 0 最大.【详解】
解：（1）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故数列 SKIPIF 1 < 0 是以32为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 的前16项或前17项和最大，
此时 SKIPIF 1 < 0 .
46．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 .证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项；
【答案】证明见解析， SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
由已知数列bn﹣an＝n，b1＝2求得a1，再将an+1+1＝2an+n，转化为 SKIPIF 1 < 0 ，利用等比数列概念求解.
【详解】
证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为2的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
47．（2020·湖南·长沙一中高三阶段练习）数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）记 SKIPIF 1 < 0 ，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由等比数列的定义即可证明.
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由等比数列以及等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式，分组求和即可求解.
【详解】
（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
48．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，证明:数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求{an}的通项公式.
【答案】证明见解析， SKIPIF 1 < 0 ；
【分析】
由已知得4an+1=3an+anan+1，化简变形得 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，所以可得数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，从而可求出数的通项公式
【详解】
由已知得4an+1=3an+anan+1，
∵a1≠0，∴由递推关系可得an≠0恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，；
49．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝ SKIPIF 1 < 0 (3an－1－bn－1)，bn＝－ SKIPIF 1 < 0 (an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.求证：数列{an－bn}为等比数列.
【答案】证明见解析
【分析】
根据问题要证明等比数列，即证明 SKIPIF 1 < 0 为常数，故将题中条件进行结合处理，即可得到，并求出首项即可.
【详解】
证明：an－bn＝ SKIPIF 1 < 0 (3an－1－bn－1)－ SKIPIF 1 < 0 (an－1－3bn－1)＝2(an－1－bn－1)，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又a1－b1＝3－(－1)＝4，
所以{an－bn}是首项为4，公比为2的等比数列；
50．（2022·浙江·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前3项.
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）数列 SKIPIF 1 < 0 是由数列 SKIPIF 1 < 0 的项删去数列 SKIPIF 1 < 0 的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项的和.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）根据 SKIPIF 1 < 0 以及等差数列的通项公式计算即可得到 SKIPIF 1 < 0 结果，然后根据 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，最后简单计算可得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根据（1）的条件可知求解的是 SKIPIF 1 < 0 ，计算即可.
【详解】（1）数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，设公差为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前3项，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，代入上式解得 SKIPIF 1 < 0 .
于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 .
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前20项的和为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .