新高考数学二轮精品专题四 函数（2份打包，原卷版+教师版）

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命题趋势
本部分的考查主要为函数图象、函数性质、函数零点问题的考查，多以选择题、填空题的形式出现．函数图象识别，利用函数性质比较大小，函数零点个数判断是高考中的常考题型，难度一般中等偏上．
考点清单
1．常见函数的值域
（1）一次函数的值域为；
（2）二次函数：当时，值域 SKIPIF 1 < 0 ，
当时，值域为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）反比例函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为．
2．函数的单调性
单调性是函数下定义域上的局部性质，函数单调性常考的等价形式有：
若，且，
在上单调递增 SKIPIF 1 < 0 ；
在上单调递减 SKIPIF 1 < 0 ．
3．函数的奇偶性
①若是偶函数，则；
②若是奇函数，则，在其定义域内，则；
③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性．
4．函数的周期性
①若，对，或恒成立，
则是周期为的周期函数；
②若是偶函数，其图象又关于直线对称，则是周期为的周期函数；
③若是奇函数，其图象又关于直线对称，则是周期为的周期函数；
④若或 SKIPIF 1 < 0 ，则是周期为的周期函数．
5．函数的对称性
①若函数满足，即，则的图象关于直线对称；
②若函数满足，即，则的图象关于点对称；
③若函数满足，则函数的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④若函数满足，则函数的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称．
6．指数函数与对数函数的基本性质
（1）定点：恒过点；
恒过点．
（2）单调性：当时，在上单调递增；在上单调递增；
当时，在上单调递减；在上单调递减．
7．函数的零点问题
（1）函数的零点就是方程的根，即函数的图象与函数的图象交点的横坐标．
（2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．
精题集训
（70分钟）
经典训练题
一、选择题．
1．良渚遗址是人类早期城市文明的范例，是华夏五千年文明史的实证之一，2019年获准列入世界遗产名录．考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14的含量y随时间x（年）变化的数学模型： SKIPIF 1 < 0 （表示碳14的初始量）．2020年考古学家对良渚遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的55%，据此推测良渚遗址存在的时期距今大约是（ ）（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A．3450年B．4010年C．4580年D．5160年
【答案】C
【解析】设良渚遗址存在的时期距今大约是x年，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
【点评】本题主要考了函数的实际应用，篇幅比较长，需要耐心读题，属于基础题．
2．已知是奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 对任意且都成立，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】当时，由 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，
因此函数是单调递增函数，
因为是奇函数，所以，
因此当时，有；当 SKIPIF 1 < 0 时，有，
因为是奇函数，所以有，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，注意分析函数单调性，属于基础题．
3．已知定义域为R的函数满足，且当时，，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【解析】由满足，所以函数的周期，
且当时，，所以，故选C．
【点评】本题主要考查了函数的周期性，属于基础题．
4．“”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】充分性证明：取，明显地有， SKIPIF 1 < 0 ，
由于对数的真数大于0，所以，无法推导出 SKIPIF 1 < 0 ，所以，充分性不成立；
必要性证明： SKIPIF 1 < 0 ，可得，
所以，必要性成立，
故选B．
【点评】本题把函数的单调性，定义域，充分必要条件结合起来考，属于基础题．
5．函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于原点对称，
且 SKIPIF 1 < 0 所以函数是奇函数，
其图象关于原点中心对称，排除C；
又由当时，，排除A，D，
故选B．
【点评】本题考查函数图象的识别，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于基础题．
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若两个零点，，则的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】当时，，∴；
当时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴，
所以两个零点，，
等价于方程有两个根，，
则，即有两个根，（不妨设 SKIPIF 1 < 0 ），
则时， SKIPIF 1 < 0 ；当时， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
则， SKIPIF 1 < 0 ，
设， SKIPIF 1 < 0 ，则，
当 SKIPIF 1 < 0 时，显然恒成立，
所以函数单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，即的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
【点评】求解本题的关键在于根据函数零点个数结合函数解析式，得到有两个根为和，再构造函数，利用导数的方法求解即可．
7．已知函数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设是函数的图象上的任意一点，其关于对称的点的坐标为，
所以，所以函数关于对称的函数为．
由于与的图象上分别存在点，使得、关于直线对称，
故函数与函数图象在区间 SKIPIF 1 < 0 有交点，
所以方程在区间 SKIPIF 1 < 0 上有解，所以，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
【点评】本题解题的关键在于由关于直线对称的点的坐标之间的关系得关于对称的函数为，进而将问题转化为函数与函数图象在区间 SKIPIF 1 < 0 有交点，考查化归转化思想和运算求解能力，是难题．
二、填空题．
8．函数是幂函数且为奇函数，则的值为________．
【答案】
【解析】因为函数是幂函数，
所以，即，解得或，
当时，，是奇函数，满足条件；
当时，，是偶函数，不满足条件，
故，故答案为．
【点评】本题主要考了幂函数的概念以及幂函数的性质，属于基础题．
9．已知函数，若，则实数的取值范围是____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题得定义域为，
∵，
∴，
即为定义域在上的奇函数，且在上单调递增（增函数+增函数=增函数），
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式显然不成立，
当时，∵，
∴，即为，
即，∴，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】解答本题的关键是想到分析函数的奇偶性和单调性，对于求解函数的问题，我们要想到分析函数的性质（单调性、奇偶性和周期性）等，来帮助我们解题．
高频易错题
一、选择题．
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ，若，则x的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】函数的定义域需满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得，
并且在区间上，函数单调递增，且，
所以，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
【点评】本题的关键是判断函数的单调性和定义域，尤其是容易忽略函数的定义域．
精准预测题
一、选择题．
1．已知且且且，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，故，同理，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当时，；当时，，
故在 SKIPIF 1 < 0 为减函数，在为增函数，
因为，故 SKIPIF 1 < 0 ，即，
而，故，
同理，，，，
因为，故，
所以，故选D．
【点评】导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，
此类问题，代数式变形很关键．
2．已知，且，则函数与 SKIPIF 1 < 0 的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】若，函数的图象下降，即为减函数，且过 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的图象下降，即为减函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，以上图象C符合；
若，函数的图象上升，即为增函数，且过 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的图象上升，即为增函数，以上图象都不符合，
故选C．
【点评】本题主要考查了指数函数与对数函数图象之间的关系以及通过图象变换得到新的函数图象．
3．已知函数，，若，，则的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】，①，
， SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②得 SKIPIF 1 < 0 ，
在单调递增，，则，
，
令，则，
令，解得 SKIPIF 1 < 0 ；令，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，故选C．
【点评】本题考查函数与方程的应用，解题的关键是根据方程的特点得出，即，
将所求化为求最值，利用导数即可．
4．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，，求导，
令，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，，单调递减；当 SKIPIF 1 < 0 时，，单调递增，
如下图所示：
设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数 SKIPIF 1 < 0 于另一点，
设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，
设点到直线的距离为，，
由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值，
令，得，切点坐标为，
此时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
【点评】本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查学生的化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题．
5．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当时，，，
所以单调递增，且；
当时，，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且，
所以函数在上单调递增，
又由， SKIPIF 1 < 0 ，，得，
所以，故选C．
【点评】本题考查比较大小，解题方法是利用函数的单调性．同时在比较幂与对数大小时，利用指数函数与对数函数的单调性并结合中间值比较．
6．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为，，且当时，有 SKIPIF 1 < 0 ，
当时，有恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据，得，所以是定义在上的奇函数，
则有．
又由时，有 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 在上单调递减．
又 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则有在上也单调递减，
则在上为减函数，所以．
当 SKIPIF 1 < 0 时，，所以，
则恒有；
当时，，此时，
故不成立；
当时，，所以，此时，，
故，与条件矛盾，
故的取值范围为，故选B．
【点评】此题考查函数奇偶性的应用和单调性的应用，解题的关键是根据
得，所以是定义在上的奇函数，则有．
又由时，有 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 在上单调递减．
又 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则有在上也单调递减，则在上为减函数，
所以，然后分情况求解即可．
二、填空题．
7．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若，则________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为，若，则，
当时，无解；
当时，，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点评】本题主要考了分段函数的性质，指数、对数函数的运算，属于基础题．
8．函数的最大值为______．
【答案】0
【解析】由，且，
∴令，，
即在为单调递增，为单调递减，而为增函数，
∴在上单调递增，上单调递减，，
故答案为0．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，复合函数最值得求法，难度中等偏简单．
9．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，故此数列称为斐波那契数列，通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，该通项公式又称为“比内公式”（法国数学家比内首先证明此公式），是用无理数表示有理数的一个范例．设n是不等式 SKIPIF 1 < 0 的正整数解，则n的最小值为__________．
【答案】9
【解析】设n是不等式 SKIPIF 1 < 0 的正整数解，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为9．
【点评】本题把函数与数列结合，考查了对数得运算，数列得单调性，属于中档题．