2025高考数学一轮复习-7.2.2-排列数公式-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.2.2-排列数公式-专项训练【含解析】，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．排列数Aeq \\al(2,4)＝( )
A．6B．8
C．12D．24
2．3位大学生乘坐同一列动车，该动车有8节车厢，则至少有2位大学生在同一节车厢的概率为( )
A.eq \f(21,32) B.eq \f(57,64)
C.eq \f(11,32) D.eq \f(11,16)
3．贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗．现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为( )
A．8B．1 680
C．140D．70
4．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有( )
A．120种B．156种
C．192种D．240种
5．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有( )
A．Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)B．Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)
C．Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)D．Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)
6．由0,1,2,5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是( )
A．24B．12
C．10D．6
7．现有甲、乙、丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲同学安排在另外两位前面，则不同的安排种数为( )
A．10B．20
C．40D．60
8．(多选题)5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是( )
A．Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)B．60
C．72 D.eq \f(1,2)Aeq \\al(5,5)
二、填空题
9．学校要安排7位行政人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日．不同的安排方法共有 种．(用数字作答)
10．一排11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不同排法的种数是 .
11．现有10名学生排成一排，其中有4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法种数为 .(列式表示即可)
三、解答题
12．用0,1,2，…，9十个数可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的排列：
(1)五位奇数？
(2)大于30 000的五位偶数？
13．有语文、数学、外语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有多少种安排方法？
14．(多选题)A，B，C, D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有( )
A．若A，B两人站在一起有24种方法
B．若A，B之间必须隔两个人，共有24种方法
C．若A在B左边有60种方法
D．若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法
15．用6枚不同的珍珠串一条项链，共有 种不同的串法．
16．把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列．
(1)45 312是这个数列的第几项？
(2)这个数列的第71项是多少？
(3)求这个数列的各项和．
2025高考数学一轮复习-排列数公式-专项训练【解析版】
时间：45分钟
一、选择题
1．排列数Aeq \\al(2,4)＝( C )
A．6B．8
C．12D．24
解析：Aeq \\al(2,4)＝4×3＝12.故选C.
2．3位大学生乘坐同一列动车，该动车有8节车厢，则至少有2位大学生在同一节车厢的概率为( C )
A.eq \f(21,32) B.eq \f(57,64)
C.eq \f(11,32) D.eq \f(11,16)
解析：基本事件的总数有83种，大学生1个人在一节车厢的事件数为Aeq \\al(3,8).所以至少有2位大学生在同一节车厢的概率为eq \f(83－A\\al(3,8),83)＝eq \f(11,32).故选C.
3．贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗．现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为( D )
A．8B．1 680
C．140D．70
解析：若8盏灯笼任意挂，不同的挂法有Aeq \\al(8,8)种，又因为左右两边4盏灯顺序一定，故有eq \f(A\\al(8,8),A\\al(4,4)A\\al(4,4))＝70种．故选D.
4．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼有甲、乙、丙、丁、戊、己六个班排队吃饭，甲班不能排在第一位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有( C )
A．120种B．156种
C．192种D．240种
解析：丙丁捆绑在一起看作一个班，变成5个班进行排列，然后在后面4个位置中选1个排甲，这样可得排法为Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(1,4)Aeq \\al(4,4)＝192种．故选C.
5．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有( D )
A．Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)B．Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)
C．Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)D．Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)
解析：先把三种不同的画捆在一起，各看成整体，但水彩画不放在两端，则油画与国画放在两端有Aeq \\al(2,2)种不同的排法，然后对4幅油画的排放有Aeq \\al(4,4)种不同的排法，对5幅国画的排放有Aeq \\al(5,5)种不同的排法，所以不同的陈列方式有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(5,5)种不同的排法．故选D.
6．由0,1,2,5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是( C )
A．24B．12
C．10D．6
解析：当个位数是0时，有Aeq \\al(3,3)＝6个，当个位数是5时，0在十位或百位，有Aeq \\al(1,2)种放置方法，其余两个数有Aeq \\al(2,2)种排法，故有Aeq \\al(1,2)·Aeq \\al(2,2)＝4个，所以能被5整除的个数是10.故选C.
7．现有甲、乙、丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲同学安排在另外两位前面，则不同的安排种数为( B )
A．10B．20
C．40D．60
解析：第一类：甲在周一，共有Aeq \\al(2,4)种方法，第二类：甲在周二，共有Aeq \\al(2,3)种方法，第三类：甲在周三，共有Aeq \\al(2,2)种方法，共有Aeq \\al(2,4)＋Aeq \\al(2,3)＋Aeq \\al(2,2)＝20种不同的方法．故选B.
8．(多选题)5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是( AC )
A．Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)B．60
C．72 D.eq \f(1,2)Aeq \\al(5,5)
解析：先除去甲、乙两人，将剩下的3人全排列，共Aeq \\al(3,3)＝3×2×1＝6种不同的排法，再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共Aeq \\al(2,4)＝12种不同的排法，所以5人并排站成一行，如果甲、乙两个人不相邻，那么不同的排法种数是Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝6×12＝72.故选AC.
二、填空题
9．学校要安排7位行政人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日．不同的安排方法共有2_400种．(用数字作答)
解析：先安排好甲、乙的方法有Aeq \\al(2,5)种，然后安排其他5个人的方法有Aeq \\al(5,5)种，故总的方法种数为Aeq \\al(2,5)Aeq \\al(5,5)＝2 400.
10．一排11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不同排法的种数是44.
解析：根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类，当两人在三个空位左侧时：共3×Aeq \\al(2,2)＝6种，同理，当两人在三个空位右侧时：共3×Aeq \\al(2,2)＝6种，当两人在三个空位异侧时：共4×4×Aeq \\al(2,2)＝32种，即共6＋6＋32＝44种．
11．现有10名学生排成一排，其中有4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法种数为Aeq \\al(3,4)Aeq \\al(6,6)Aeq \\al(2,7).(列式表示即可)
解析：由题可知，采用捆绑法和插空法，从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆绑在一起，看成1个男生，有Aeq \\al(3,4)种排法，这样与第4个男生看成是2个男生，然后6个女生全排列有Aeq \\al(6,6)种排法，最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，有Aeq \\al(2,7)种排法，综上所述，不同的排法种数为Aeq \\al(3,4)Aeq \\al(6,6)Aeq \\al(2,7).
三、解答题
12．用0,1,2，…，9十个数可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的排列：
(1)五位奇数？
(2)大于30 000的五位偶数？
解：(1)要得到五位奇数，末位应从1,3,5,7,9五个数字中取，有5种取法，取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法．首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有Aeq \\al(3,8)种不同的排列方法．因此，由分步乘法计数原理得，共有5×8×Aeq \\al(3,8)＝13 440个没有重复数字的五位奇数．
(2)要得偶数，末位应从0,2,4,6,8中选取，而要比30 000大的五位偶数，可分两类：
①末位数字从0,2中选取，则首位可取3,4,5,6,7,8,9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首尾两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共Aeq \\al(3,8)种取法．所以共有2×7×Aeq \\al(3,8)种不同情况．
②末位数字从4,6,8中选取，则首位应从3,4,5,6,7,8,9中除去末位数字的六位数字中选取，其余三个数位仍有Aeq \\al(3,8)种选法，所以共有3×6×Aeq \\al(3,8)种不同情况．
由分类加法计数原理得，比30 000大的无重复数字的五位偶数共有2×7×Aeq \\al(3,8)＋3×6×Aeq \\al(3,8)＝10 752个．
13．有语文、数学、外语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有多少种安排方法？
解：方法一(分类法)：分两类：
第1类，化学被选上，有Aeq \\al(1,3)·Aeq \\al(3,5)种排法；
第2类，化学不被选上，有Aeq \\al(4,5)种排法．
故共有Aeq \\al(1,3)·Aeq \\al(3,5)＋Aeq \\al(4,5)＝300种不同的安排方法．
方法二(分步法)：第1步，第四节有Aeq \\al(1,5)种排法；第2步，其余三节有Aeq \\al(3,5)种排法，故共有Aeq \\al(1,5)·Aeq \\al(3,5)＝300种不同的安排方法．
方法三(间接法)：从6门课中选4门课有Aeq \\al(4,6)种排法，而化学排第四节有Aeq \\al(3,5)种排法，故共有Aeq \\al(4,6)－Aeq \\al(3,5)＝300种不同的安排方法．
14．(多选题)A，B，C, D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有( BCD )
A．若A，B两人站在一起有24种方法
B．若A，B之间必须隔两个人，共有24种方法
C．若A在B左边有60种方法
D．若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法
解析：对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步乘法计数原理可知，共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＝48种排法，不正确；对于B，若A，B之间必须隔两个人，则先从C，D，E选出两个人，有3种方法，把A，B和这两个人看成一个整体，和另外一个人全排列有Aeq \\al(2,2)＝2种方法，之后A，B全排列，另外两人全排列有Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(2,2)＝4种方法，综上共有3×Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(2,2)×Aeq \\al(2,2)＝24种排法，正确；对于C,5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有eq \f(1,2)Aeq \\al(5,5)＝60种，正确；对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有Aeq \\al(4,4)种排法，另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法计数原理可知，共有Aeq \\al(4,4)＋Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝78种排法，正确．故选BCD.
15．用6枚不同的珍珠串一条项链，共有60种不同的串法．
解析：首先注意，本题中的珍珠是可以翻转的，所以此时的排列数应为eq \f(A\\al(5,5),2)＝60(一串珍珠项链翻转之后，原来的123456就变成了654321，因此求出Aeq \\al(5,5)之后还要再除以2)．
16．把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列．
(1)45 312是这个数列的第几项？
(2)这个数列的第71项是多少？
(3)求这个数列的各项和．
解：(1)先考虑大于45 312的数，分为以下两类：
第一类5开头的五位数有Aeq \\al(4,4)＝24个，
第二类4开头的五位数有45 321这一个，
∴不大于45 312的数有Aeq \\al(5,5)－Aeq \\al(4,4)－1＝120－24－1＝95个，即45 312是该数列的第95项．
(2)1开头的五位数有Aeq \\al(4,4)＝24个，2开头的五位数有Aeq \\al(4,4)＝24个，3开头的五位数有Aeq \\al(4,4)＝24个，共有24×3＝72个．所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35 412.
(3)因为1,2,3,4,5各在万位上时都有Aeq \\al(4,4)＝24个五位数，所以万位数上的数字之和为(1＋2＋3＋4＋5)·Aeq \\al(4,4)·104.同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有Aeq \\al(4,4)＝24个五位数，所以这个数列的各项和为(1＋2＋3＋4＋5)·Aeq \\al(4,4)·(104＋103＋102＋101＋100)＝15×24×11 111＝3 999 960.