吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学验收考试数学试卷（解析版）

这是一份吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学验收考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：90分钟 满分：120分 命题人：姜冬艳 审题人：何震
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】求出，求出其在复平面内对应的点的坐标，求出在复平面内z对应的点位于的象限.
【详解】因为，所以，
所以其在复平面内对应的点为，
则其对应的点位于第四象限.
故选：D.
2. 若样本数据的方差为，则的方差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据方差的性质结合已知条件直接求解.
【详解】因为样本数据的方差为，
所以的方差.
故选：C.
3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形
C. 锐角三角形D. 等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理可以判断出B为钝角，则的形状为钝角三角形.
【详解】由，可得，即
则，又B∈0,π，则
则的形状为钝角三角形
故选：A
4. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】B
【解析】
【分析】由线面位置关系即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则或，
若，，则，
若，则存在，使得，因为，所以，又，所以，
所以无论如何，只要，，，就有，故B正确；
对于C，若，，，则或相交或异面，故C错误；
对于D，若，，，则或相交或异面，故D错误.
故选：B.
5. 已知圆锥的底面半径为，体积为，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出组合体的轴截面，利用体积求出圆锥的高，然后再利用三角形相似即可求出内切球的半径，结合求得体积公式，即可求解.
【详解】
如图，圆锥与内切球的轴截面图，设圆锥高为h,
根据圆锥的底面半径为1，体积为，
可知，V=13π×12×h=223π，解得，所以母线长为AC=222+12=3，
设内切球的半径为，则OD=OE=r,AO=AE-OE=22-r，
由轴截面三角形相似得△AOD∼△ABE，所以AOAB=ODBE，
即22-r3=r1，解得内切球半径为，
所以内切球的体积为V=43πr3=43π×223=23π，
故选：D.
6. 已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的定义结合已知条件直接求解即可
【详解】因为向量与向量夹角为，，
所以，
则在上的投影向量为
，
故选：A.
7. 四名同学各投骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ）
A. 平均数为，极差为B. 中位数为，众数为
C. 平均数为，方差为D. 平均数为，中位数为
【答案】D
【解析】
【分析】举反例可以逐一判断A、B、C是错误的，逻辑推理即可判断D选项.
【详解】对于A，数据为2，4，5，5，6，A错误；
对于B，数据为3，3，4，5，6，B错误；
对于C，数据为1，2，2，4，6，C错误；
对于D，所有数据和为15，中位数为4，如果出现6，那么其余三个数的和为5，且其中有一个数至少为4，这组数据不可能，D正确；
故选：D.
8. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和 都是正三角形，，，且三点共线，设点是内的 任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在中，利用余弦定理求出，然后利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，由题意可知取得最小值时，点为费马点，设，，，在中分别使用余弦定理，三式相加，再结合三角形面积公式化简可求出，从而可得答案.
【详解】由题可知，，在中，由余弦定理得
，
所以，
所以，所以为直角三角形，
由定义可知取得最小值时，点为费马点，
设，，，且，，，，
在中分别使用余弦定理可得，
相加得
由三角形面积得，即，
所以，
所以
，
所以的最小值为
故选：A.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A. 的虚部为B. 的共轭复数为
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】复数化简为，再依次判断即可．
【详解】解：，
则的虚部为，A项正确；
的共轭复数为，
而，故B项错误；
，故C项错误；
，故D项正确；
故选：AD
10. 某学校为了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内随机抽样调查部分学生，了解到上学的交通方式主要有：A为家人接送，B为乘坐地铁，C为乘坐公交，D为其他方式.学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，则下列结论中正确的是（ ）

A. 此次抽查的样本量为240
B. 若该校有学生2000人，则约有500人是家人接送上学
C. 扇形图中B的占比为38%
D. 估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据公交的人数和比例即可求解样本量，进而判断A，根据条形图可得家人接送所占比重，即可求解B，根据乘坐地铁的人数与样本量的比即可求解CD.
【详解】因为乘坐公交的调查人数为60，所占比例为，所以调查的总人数为，故A正确，
对于B,家人接送的学生所占的比例为，故，所以B正确；
对于C：扇形图中的占比为，所以C错误；
对于D：，所以D正确.
故选：ABD
11. 在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 异面直线与所成角的取值范围为
C. 的最小值为
D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】构造正方体模型，即可判断A、B，展开为平面图形，两点间直线最短，即可求出最小值，从而判断C，构造正方体模型，求出外接球半径，然后计算得到球心到截面的距离，然后结合勾股定理即可求解D选项.
【详解】
对于A，如图，将几何体补为正方体，易知，，又，所以，故A正确；
对于B，如图，将几何体补为正方体，当动点M运动到点B时，此时直线与所成角最小，为，但此时直线与相交，不满异面；
当动点M由点B向点C运动时，直线与所成角慢慢变大，当动点M运动到点C时，此时直线与所成角最大，易知 是等边三角形，所以直线与所成的角为，而，即此时直线与所成角为；所以，异面直线与所成角的取值范围为，故B错误；
对于C，如图，将平面与平面展为同一平面，则
，故C错误
对于D，如图，补为正方体，三棱柱外接球即为正方体的外接球，所以外接球半径，即，
，所以
所以，
取正方体的中心点O，的中点N，连接ON，易知，
所以，设正方体的中心点O到截面的距离为h，
即球心到截面的距离为，根据勾股定理可得截面圆半径为，
所以截面面积，故D正确.
故选：AD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为____________.
【答案】10
【解析】
【分析】根据直观图与原图形的关系结合已知可得，从而可求出，进而可求出四边形的周长.
【详解】由题意可得，
所以原图形中，
所以，
所以四边形的周长为.
故答案：10
13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意列出关于的不等式组即可求解.
【详解】由题可知且与不共线，即，得.
故答案为：.
14. 某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取60件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为________；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为220，240，230小时，方差分别为20，20，30，则总样本的方差为____________.
【答案】 ①. 18 ②. 84
【解析】
【分析】第一空，根据分层抽样的定义即可求解；第二空，根据分层抽样的方差公式即可求解
【详解】由分层抽样方法可得：抽取C车间应抽取的件数为60×30%=18；
总样本平均值，
总样本方差为
.
四、解答题：本大题共4小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数是一元二次方程（）的根.
（1）求的值；
（2）若复数（其中）为纯虚数，求复数的模.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据是一元二次方程的根得到也是一元二次方程的根，代入列方程组求解即可；
（2）求出，根据复数为纯虚数求出即可求出.
【小问1详解】
因为是一元二次方程的根，
所以也是一元二次方程的根，
故，解得；
【小问2详解】
因为复数为纯虚数，
所以，且，
即，所以复数，
故.
16. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
设甲、乙两名运动员射击平均环数分别记为和，方差分别记为和.
（1）求，，，；
（2）如果你是教练，你如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
【答案】（1）7；7；4；1.2
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数和方差公式计算即可；
（2）由（1）的结论，平均数一样，则通过方差判断其稳定性即可得结果.
【小问1详解】
，
，
，
.
【小问2详解】
由（1）知，甲乙射击的平均成绩一样，但乙比甲射击的成绩更稳定，所以选择乙.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用正弦定理即可求出B；
（2）先求出b，在运用余弦定理和基本不等式即可.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，
因为，所以，
因．所以；
【小问2详解】
因为 外接圆的周长为，所以外接圆的直径为，
由正弦定理得，则，
由余弦定理得，
因为，所以，即，
当且仅当时，等号成立，
又因为，所以，则．
故周长的取值范围为；
综上，，周长的取值范围为.
18. 在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，满足，且DE经过的重心.将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求直线CM和平面所成的角；
（3）在线段上是否存在点F，使二面角的余弦值？若存在，求CF的长度；若不存在，请说明理由.（要求用几何法解答）
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据⊥平面，得到⊥，故⊥，结合，从而得到线面垂直；
（2）作出辅助线，得到与平面的夹角即为与平面的夹角，利用等体积法求出到平面的距离，进而得到点平面的距离为，从而求出线面角的正弦值，求出答案；
（3）作出辅助线，找到二面角的平面角为，利用余弦定理和勾股定理求出各边长，并求出，利用正切差角公式得到，得到方程，求出CF的长度.
【小问1详解】
因为，所以，
因为，所以，
将沿DE折起到的位置，故始终有，，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，故，
因为，，平面，
所以平面；
【小问2详解】
由（1）可知，两两垂直，
因为DE经过的重心，所以，故，
，
由勾股定理得，
连接，取的中点，在上取点，使得，连接，
则，，
又，，故四边形为平行四边形，
故，，
与平面的夹角即为与平面的夹角，
其中，而平面，
故，
由勾股定理得，
中，，故，
，，
故由余弦定理得，
故，
则，
设到平面的距离为，
由于，故，解得，
故点平面的距离为，
设直线CM和平面所成角的大小为，
则，
故直线CM和平面所成的角为
【小问3详解】
存在，，理由如下：
连接，过点作于点，连接，
因为平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以，，
故二面角的平面角为，
设，，
中，由余弦定理得，
故，
则，
，
其中，，
故，，
则
，
故，解得.
存在，.