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精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
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高（二）年级期末考试
注意事项：
1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音节，“羽”不为首音节，可以排成不同音序的种数是（ ）
A. 36B. 60C. 72D. 78
3. 已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（ ）
A B. C. D.
5. 将4名志愿者分别安排到三个社区进行社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，每名志愿者只能去一个社区，若志愿者甲必须安排到社区，不同的安排方法有（ ）种
A. 6B. 9C. 12D. 36
6. 已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A 2B. C. D.
7. 一枚硬币掷三次，已知一次正面朝上，那么另外两次都是反面朝上的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线，直线，过抛物线焦点作直线的垂线，垂足为，若点是拋物线上的动点，则的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ）
A. 3名男生必须相邻的排法有144种
B. 3名男生互不相邻的排法有72种
C. 甲在乙的左边的排法有360种
D. 甲、乙中间恰好有2人的排法有144种
10. 二项式的展开式中（ ）
A. 前三项的系数之和为22
B. 二项式系数最大的项是第4项
C. 常数项为15
D. 所有项的系数之和为64
11. 盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 设分别是双曲线左右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，的内心为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若为正三角形，则双曲线的离心率为
B. 若直线交双曲线的左支于点，则
C. 若为垂足，则
D. 的内心一定在直线上
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某人忘记了他在一个网络平台的账户密码，而平台只允许试错三次，如果三次都试错，则账户就会锁定，无法继续试验．假设该用户每次能试中的概率为0.1，记试验的次数为X，则______．
14. 已知抛物线，焦点为在抛物线上，在轴上，且，则______．
15. 某商店成箱出售玻璃杯，每箱装有10只．假设在各箱中有0，1，2只残次品的概率依次为0.6，0.25，0.15，顾客随机取出一箱，并从中取出4只查看，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．则顾客买下该箱玻璃杯的概率为______．
16. 已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，且，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17. 已知展开式中的第三项和第四项的二项式系数相等，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
18. 的顶点的垂心（三条高交点）为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求的外接圆方程．
19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，E，F分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20. 已知抛物线，点到焦点的距离为，直线与抛物线交于两点，设直线斜率分别为．
（1）求；
（2）若，证明直线过定点，并求出满足条件的定点坐标．
21. 某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响．
（1）求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
（2）设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列．
22. 已知为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）圆的切线与双曲线相交于两点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求面积的最小值．
高（二）年级期末考试
注意事项：
1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 据典籍《周礼·春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音．如果把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音节，“羽”不为首音节，可以排成不同音序的种数是（ ）
A. 36B. 60C. 72D. 78
3. 已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（ ）
A B. C. D.
5. 将4名志愿者分别安排到三个社区进行社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，每名志愿者只能去一个社区，若志愿者甲必须安排到社区，不同的安排方法有（ ）种
A. 6B. 9C. 12D. 36
6. 已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A 2B. C. D.
7. 一枚硬币掷三次，已知一次正面朝上，那么另外两次都是反面朝上的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线，直线，过抛物线焦点作直线的垂线，垂足为，若点是拋物线上的动点，则的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 3名男生和3名女生站成一排，则下列结论中正确的有（ ）
A. 3名男生必须相邻的排法有144种
B. 3名男生互不相邻的排法有72种
C. 甲在乙的左边的排法有360种
D. 甲、乙中间恰好有2人的排法有144种
10. 二项式的展开式中（ ）
A. 前三项的系数之和为22
B. 二项式系数最大的项是第4项
C. 常数项为15
D. 所有项的系数之和为64
11. 盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12. 设分别是双曲线左右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，的内心为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若为正三角形，则双曲线的离心率为
B. 若直线交双曲线的左支于点，则
C. 若为垂足，则
D. 的内心一定在直线上
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某人忘记了他在一个网络平台的账户密码，而平台只允许试错三次，如果三次都试错，则账户就会锁定，无法继续试验．假设该用户每次能试中的概率为0.1，记试验的次数为X，则______．
14. 已知抛物线，焦点为在抛物线上，在轴上，且，则______．
15. 某商店成箱出售玻璃杯，每箱装有10只．假设在各箱中有0，1，2只残次品的概率依次为0.6，0.25，0.15，顾客随机取出一箱，并从中取出4只查看，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回．则顾客买下该箱玻璃杯的概率为______．
16. 已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，且，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17. 已知展开式中的第三项和第四项的二项式系数相等，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
18. 的顶点的垂心（三条高交点）为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求的外接圆方程．
19. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，E，F分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20. 已知抛物线，点到焦点的距离为，直线与抛物线交于两点，设直线斜率分别为．
（1）求；
（2）若，证明直线过定点，并求出满足条件的定点坐标．
21. 某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响．
（1）求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
（2）设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列．
22. 已知为坐标原点，双曲线的离心率为，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）圆的切线与双曲线相交于两点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求面积的最小值．
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