新高考数学二轮复习强化讲与练专题05 导数与不等式（讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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真题体验 感悟高考
1．（2022·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2019·天津·高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题（理））已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.高考对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
2.涉及导数与不等式问题，主要有：单变量不等式的证明、双变量不等式的证明、不等式恒成立时求参数的取值范围、含导数不等式的求解问题、比较函数值大小问题等
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 导数与解不等式问题
【核心知识】
1.利用导数解决解不等式或取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f ′(x)>0(或f ′(x)g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可．
2.利用最值证明单变量不等式
利用最值证明单变量的不等式的常见形式是f(x)>g(x)．证明技巧：先将不等式f(x)>g(x)移项，即构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，转化为证不等式h(x)>0，再次转化为证明h(x)min>0，因此，只需在所给的区间内，判断h′(x)的符号，从而判断其单调性，并求出函数h(x)的最小值，即可得证.
3.通过题目中已有的或常用的不等式进行证明．适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论，如和是两个典型的不等式，可变形得，.
4.利用赋值法证明与正整数有关的不等式.
5. 利用分析法，通过不等式的等价转换，改证新的不等式成立.
【典例分析】
典例10.（2023·四川资阳·模拟预测（文））已知函数．
(1)当时，过点作曲线的切线l，求l的方程；
(2)当时，对于任意，证明：．
典例11.（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
典例12.（2022·河南驻马店·高三期中（理））已知函数
(1)求的最大值；
(2)求证：
【总结提升】
1.常见的放缩公式如下：
(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；
(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；
(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋eq \f(1,2)x2, 当且仅当x＝0时取等号；
(4)当x≥0时，ex≥eq \f(e,2)x2＋1, 当且仅当x＝0时取等号；
(5)eq \f(x－1,x)≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号；
(6)当x≥1时，eq \f(2x－1,x＋1)≤ln x≤eq \f(x－1,\r(x))，当且仅当x＝1时取等号．
2.数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．
考向五 双变量不等式的证明
【核心知识】
破解含双变量（参）不等式的证明的关键
一是分析转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；
二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
【典例分析】
典例13.（2021·全国·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
典例14.（2020·天津·高考真题）已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
典例15.（2022·江苏南通·高三期中）已知函数的极值为．
(1)求p的值，并求的单调区间；
(2)若，证明：．
【总结提升】
证明双变量函数不等式的常见思路
1．将双变量中的一个看作变量，另一个看作常数，构造一个含参数的辅助函数证明不等式．
2．整体换元．对于齐次式往往可将双变量整体换元，化为一元不等式．
3．若双变量的函数不等式具有对称性，并且可以将两个变量分离开，分离之后的函数结构具有相似性，从而构造函数利用单调性证明.