新高考数学二轮复习对点题型第22讲导数的应用（2份打包，原卷版+教师版）

导数的应用 真题展示2022新高考一卷第22题已知函数和有相同的最小值．（1）求；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【思路分析】（1）先对两个函数求导，然后研究函数和的单调性，从而求得和的零点，进而得到函数的极小值(最小值)，然后列出方程求得的值；（2）设三个交点的横坐标从小到大依次为，，，得到有关，，的方程，然后化简利用函数的单调性求得，和的数量关系，进而得证命题．【解答】（1）解：，，，，在上单调递增，函数在上单调递增，函数和函数在各自定义域上单调递增，又函数和有最小值，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减，在，上单调递增，，，函数和有相同的最小值，即lna=，lna+−1=0,记F(x)= lnx+−1 (x>0)，则 QUOTE (x)= QUOTE  QUOTE >0，故F(x)在x>0上增，又F(1)=0，故F(a)=0有唯一解a=1.∴a=1.（2）证明：由(1)知f(x)= x，g(x)= x−lnx，(x)= −1,(x)=1−(x>0)，f(x)在(−∞, 0)上减，在(0,+∞)上增，f(x)最小值是f(0)=1；g(x)在(0,1)上减，在(1,+∞)上增，g(x)最小值是g(1)=1，如图，对于函数f(x)，当x>0时，函数值从最小值1逐渐增大到+∞；对于函数g(x)，当00)，若x≥1，则 QUOTE (x)≥e+ QUOTE −2> QUOTE >0；若00，故 QUOTE (x)>0对x>0恒成立，∴G(x)在x>0上单调递增，又G(1)=e+0−2>0, G()=+ln−