新高考数学二轮复习对点题型第9讲空间角（2份打包，原卷版+教师版）

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2022新高考一卷第9题
已知正方体 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
【思路分析】求出异面直线所成角判断 SKIPIF 1 < 0 ；证明线面垂直，结合线面垂直的性质判断 SKIPIF 1 < 0 ；分别求出线面角判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】如图，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【试题评价】本题考查空间中异面直线所成角与线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
试题亮点 正方体是最常见的几何形体之一，它虽然结构简单，但却拥有丰富的几何性质.试题简洁明了，考查目的明确，考查内容源于教材，属于学生知识储备中的基础性知识。考生只需具有基本的空间想象能力和构图能力，通过简单的运算求解即可得到正确答案．试题对中学数学教学具有积极的引导作用和指导意义.试题面向全体考生，同时也为不同能力层次的考生提供了多样性展示平台，增强考生自信心，促进考生正常发挥水平.
知识要点整理
一、线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.
二、 线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则
l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
三、 面面平行的向量表示
设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 .
四、线线垂直的向量表示
设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则
l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
五、 线面垂直的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
六、 面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.
七、两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
八、 空间角的向量法解法
三年真题
一、单选题
1．如图， SKIPIF 1 < 0 是直三棱柱， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】以 SKIPIF 1 < 0 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
此时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2．如图，在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，M，N分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】建立如图所示空间直角坐标系：
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
3．正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大小为（ ）
A．60°B．90°C．45°D．120°
【答案】B
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大小是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
4．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得 SKIPIF 1 < 0 ＝(－2,2,1)， SKIPIF 1 < 0 ＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cs〈 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 〉＝ SKIPIF 1 < 0
5．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、 SKIPIF 1 < 0 所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， SKIPIF 1 < 0 （0，2，1）∴ SKIPIF 1 < 0 =（-2，0，1）， SKIPIF 1 < 0 =（-2，2，0）， SKIPIF 1 < 0 且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
二、解答题
6．如图，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线AM与直线PC所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(3)求多面体 SKIPIF 1 < 0 的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
由(1)知，建立如图空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
又直线AM与直线PC所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又二面角 SKIPIF 1 < 0 的所成角为锐角，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由题意知，
多面体 SKIPIF 1 < 0 即为四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即多面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 .
7．如图， SKIPIF 1 < 0 是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(3)求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴，
平面 SKIPIF 1 < 0 内过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线作 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，故二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）可知点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
8．如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，E、P分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴，建立直角坐标系，
则： SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
（2）过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，及 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，可得: SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所夹的角等于二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小.
SKIPIF 1 < 0 ，故二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 .
9．如图，已知长方体 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 于E，F为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角（锐角）的大小；
(3)求点A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）显然平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角（锐角）的大小为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）由向量法可知，点A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，即点A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
三年模拟
一、单选题
1．如图， 在棱长为 2 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 均为所在棱的中点， 则下列结论正确的有（ ）
①棱 SKIPIF 1 < 0 上一定存在点 SKIPIF 1 < 0 ， 使得 SKIPIF 1 < 0
②三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0
③过点 SKIPIF 1 < 0 作正方体的截面， 则截面面积为 SKIPIF 1 < 0
④设点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内， 且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值的最大值为 SKIPIF 1 < 0
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【详解】建立如图空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ， 其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若棱 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ， 使得 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， 此方程无解， ①不正确;
设 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， 则四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形， 其外接圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， 所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ；
所以其表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，②正确;
过点 SKIPIF 1 < 0 作正方体的截面， 截面如图中六边形所示，
因为边长均为 SKIPIF 1 < 0 ， 且对边平行， 所以截面六边形为正六边形，
其面积为 SKIPIF 1 < 0 ， ③正确;
点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量， 则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ， 即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，故④正确;
故选：C.
2．在各棱长均相等的直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，点M在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ，点N在AC上且 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与NB所成角的正切值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】设棱长为3，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设异面直线 SKIPIF 1 < 0 与BN所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴异面直线 SKIPIF 1 < 0 与BN所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
3．如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点M，N分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）
① SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ； ②平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
③直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ； ④直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由正方体的性质可知： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ，故①对；
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故②正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为异面直线所成的角范围为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角不是 SKIPIF 1 < 0 ，因此④错误，
一共有 SKIPIF 1 < 0 个结论正确，
故选：C
4．如图，直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面为正三角形，M，N分别为AC， SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与MN所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【详解】解法一：
如图，设直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面边长为2， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点P，取 SKIPIF 1 < 0 的中点Q，连接PQ，AQ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为异面直线 SKIPIF 1 < 0 与MN所成的角或其补角.
易知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与MN所成角的大小为60°.
解法二：
设直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面边长为2， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
如图，把三棱柱 SKIPIF 1 < 0 补成一个四棱柱 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角或其补角.
连接AD，易知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小为60°.
解法三 由题可以A为坐标原点，分别以AB， SKIPIF 1 < 0 所在直线为y，z轴，
在平面ABC上过点A作与AB垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面边长为2，高为h，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为异面直线所成角的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与MN所成角的大小为60°.
故选：C
5．在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点G是P在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点D，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , 所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
∴点P在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影在直线 SKIPIF 1 < 0 上，连接PG，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,∴点G是 SKIPIF 1 < 0 的重心.
以P为坐标原点，过点P作 SKIPIF 1 < 0 的垂线为x轴，以 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,
故选:C.
另解：同解法一得出点G是 SKIPIF 1 < 0 的重心.
如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中心E，连接EG，则 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ，
则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
连接CE，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：C.
6．在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，沿对角线 SKIPIF 1 < 0 将矩形折成一个大小为 SKIPIF 1 < 0 的二面角 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①四面体 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0
②点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 之间的距离为 SKIPIF 1 < 0
③四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
④异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】对于①，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 为四面体 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心，球 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，①对；
对于②③④，过点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
则二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴，平面 SKIPIF 1 < 0 内过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的垂线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，②错，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，③对，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，④错.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
7．如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交
B．当 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的中点时，则点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 的射影是点 SKIPIF 1 < 0
C．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0
D．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值
【答案】D
【详解】A：由题意知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不相交，故A错误；
B：连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
当点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设正方体的棱长为2，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 不成立，故B错误；
C：建立如图空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角，
设正方体的棱长为2，若存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
不符合题意，故不存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
D：如图，
由等体积法可知 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为定值，所以 SKIPIF 1 < 0 为定值，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值，故D正确.
故选：D.
二、多选题
8．已知在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面是一个等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点.则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角余弦值为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】对于A、B：如图1，建立空间之间坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，则有：
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0
则有 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
如图2：
对于C：连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则O为 SKIPIF 1 < 0 的中点
又∵F为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D：平面 SKIPIF 1 < 0 即为平面 SKIPIF 1 < 0
由题意可得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0 为正方形，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
∴平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
故选：BCD.
9．在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则（ ）
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直
B．点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离相等
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 平行
D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离相等，B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，D不正确.
故选：ABC
10．如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．过点 SKIPIF 1 < 0 作正方体的截面，所得截面的面积是 SKIPIF 1 < 0
D．异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，以DA为x轴，DC为y轴， SKIPIF 1 < 0 为z轴，建立空间直角坐标系， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 平面EFG，B正确；
对于C，作 SKIPIF 1 < 0 中点N， SKIPIF 1 < 0 的中点M， SKIPIF 1 < 0 的中点T，连接GN，GM，FM，TN，ET，则正六边形EFMGNT为对应截面面积，正六边形边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则截面面积为： SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D错误．
故选:ABC.
11．在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的点，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角是 SKIPIF 1 < 0
C．当点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的表面积是 SKIPIF 1 < 0
D．当点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点时，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】AD
【详解】易知AB、BC、 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，如图建立空间直角坐标系
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
记 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
因为 SKIPIF 1 < 0
记直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
当点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点时，点P坐标为 SKIPIF 1 < 0
易知 SKIPIF 1 < 0 的外心坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，故设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的球心为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的半径 SKIPIF 1 < 0 ，表面积 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
当点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，记直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：AD
三、填空题
12．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P，Q，M，N分别是棱AB， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【详解】如图，以 SKIPIF 1 < 0 为原点建立空间直角坐标系，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
13．已知三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
14．如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，D，E，F分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）证明：因为三棱柱 SKIPIF 1 < 0 是直三棱柱，
所以 SKIPIF 1 < 0 面ABC，又 SKIPIF 1 < 0 面ABC，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，建立如图所示空间直角坐标系：
设AD=2，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
15．如图，在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面边长为2， SKIPIF 1 < 0 ，D为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点E在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点P为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，D为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 是正三棱柱，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点P为线段 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图以 SKIPIF 1 < 0 的中点为坐标原点建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，则 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
16．如图所示，设有底面半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆锥．已知圆锥的侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求圆锥的体积；
(2)求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设圆锥母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 圆锥的高 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2）解法一：取 SKIPIF 1 < 0 边上中点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位线， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 垂直于底面， SKIPIF 1 < 0 垂直于底面， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 .
解法二：取圆弧 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 的正方向为 SKIPIF 1 < 0 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 .
角的分类
向量求法
范围
两条异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝ eq \f(|u·v|,|u||v|)
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs 〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
两个平面的夹角
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))