新高考数学二轮复习考点讲义第二十一讲空间向量在立体几何中的应用（2份打包，原卷版+解析版）

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1.法向量的求解
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①法向量一定是非零向量； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②一个平面的所有法向量都互相平行； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③向量 SKIPIF 1 < 0 是平面的法向量，向量 SKIPIF 1 < 0 是与平面平行或在平面内，则有 SKIPIF 1 < 0 ．
第一步：写出平面内两个不平行的向 SKIPIF 1 < 0 ；
第二步：那么平面法向量 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ．
第三步：化解方程组令 SKIPIF 1 < 0 其中一个为1，求其它两个值.
2.判定直线、平面间的位置关系
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②直线与平面的位置关系：直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．

3.平面与平面的位置关系
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ．

4.空间角公式．
（1）异面直线所成角公式：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为异面直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的方向向量， SKIPIF 1 < 0 为异面直线所成角的大小，则 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）线面角公式：设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的斜线， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的方向向量， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量， SKIPIF 1 < 0 为
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小，则 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）二面角公式：
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的法向量，二面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （需要根据具体情况判断相等或互补），其中 SKIPIF 1 < 0 ．
5.点到平面的距离
SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 外一点（如图）， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的斜线 SKIPIF 1 < 0 及垂线 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
【典型题型讲解】
考点一：直线与平面所成的角
【典例例题】
例1．（2022·广东茂名·一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线EF与平面PAE所成角的正弦值.
【解析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，E为CD的中点
SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 . 又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
(2)由（1）得，以点A为原点，分别以AC、AD、AP为x、y、z轴建立空间坐标系.
因为三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，
SKIPIF 1 < 0 CD=12，AC= SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
设平面PAE的一个法向量为
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
设直线EF与平面PAE所成的角为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【方法技巧与总结】
设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的斜线， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的方向向量， SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式训练】
1．（2022·广东惠州·一模）如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）.
(1)求证：AF⊥CD；
(2)求平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值.
【解析】（1）连接EC，则△ABE､△BCE､△CDE都是正三角形，四边形ABCE是菱形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为面 SKIPIF 1 < 0 面BCDE，面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面ABE，
所以 SKIPIF 1 < 0 面BCDE，
又因为 SKIPIF 1 < 0 面BCDE，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知FB､FC､FA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面ADE的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
平面AFC的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面AFC与平面ADE的夹角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·广东广州·一模）如图，在五面体ABCDE中， SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面ACD；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，五面体ABCDE的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 面ABC，则 SKIPIF 1 < 0 面ABC，又 SKIPIF 1 < 0 面ABC，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 是面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由 SKIPIF 1 < 0 面ABC， SKIPIF 1 < 0 面ABED，则面ABED SKIPIF 1 < 0 面ABC，故 SKIPIF 1 < 0 到面ABED的距离，即为△ SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 上的高，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 上的高 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 面ABC，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 是面ABED的一个法向量，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·广东汕头·一模）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心， SKIPIF 1 < 0 为底面直径， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是底面的内接正三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，P是线段 SKIPIF 1 < 0 上一点.
(1)是否存在点P，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，直线 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值最大.
【解析】（1）
解：由题得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 . 所以△ SKIPIF 1 < 0 是圆的内接三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题得 SKIPIF 1 < 0 .
假设 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
此时 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
解：如图所示，建立以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设直线 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值最大.
考点二：二面角
【典例例题】
例1．（2021·广东佛山·一模）某商品的包装纸如图1，其中菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为3，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．
(1)证明 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设点T为BC上的点，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．
【解析】(1)
由菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为3， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
可得： SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0
同理 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0
在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
可得 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0
(2)
解法一：如图，以点A为原点，AB为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系．
由第（1）问可得 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，由题意可得： SKIPIF 1 < 0
考虑 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
利用正弦定理 SKIPIF 1 < 0
可得： SKIPIF 1 < 0 ，可得点T的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．
点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则有： SKIPIF 1 < 0
则PC与面PAT所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
解法二：由第（1）问可知 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，由题意可得： SKIPIF 1 < 0
考虑 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
利用正弦定理 SKIPIF 1 < 0
可得： SKIPIF 1 < 0 ，即点T为BC上靠近点B的三等分点
所以在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
设过点C作平面PAT的垂线，垂足为Q，连接PQ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为PC与面PAT所成角
考虑三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以PC与面PAT所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
解法三：由 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，由题意可得： SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0
过点C作CQ垂直于AT于Q，连接CQ、AC
则 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 面PAT
故 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与面PAT所成的角，∴ SKIPIF 1 < 0
即PC与面PAT所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
【方法技巧与总结】
设 SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式训练】
1．（2022·广东·一模）如图， SKIPIF 1 < 0 为圆柱 SKIPIF 1 < 0 的轴截面， SKIPIF 1 < 0 是圆柱上异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的母线.
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面DEF；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，当三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大时，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【解析】（1）
证明：如右图，连接AE，由题意知AB为 SKIPIF 1 < 0 的直径，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为AD，EF是圆柱的母线，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
所以四边形AEFD是平行四边形.
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为EF是圆柱的母线，所以 SKIPIF 1 < 0 平面ABE,
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面ABE，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，DF， SKIPIF 1 < 0 平面DEF，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面DEF.
（2）
由（1）知BE是三棱锥 SKIPIF 1 < 0 底面DEF上的高，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即底面三角形DEF是直角三角形.
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，即点E，F分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点时，
三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大,
下面求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值：
法一：
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 平面DEF，因为 SKIPIF 1 < 0 平面DEF，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面BEF.
因为 SKIPIF 1 < 0 平面BEF，所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角,
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，则 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ,
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
法二：由（1）知EA，EB，EF两两相互垂直，
如图，以点E为原点，EA，EB，EF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面DEF，故平面DEF的法向量可取为 SKIPIF 1 < 0 .
设平面BDF的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
设二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为θ,
则 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知θ为锐角，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·广东湛江·一模）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【解析】(1)
证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量是 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量是 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 为钝角，因此，二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值是 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2022·广东深圳·一模）如图，在四棱锥E-ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面ABE；
(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．
【解析】(1)
证明：如图所示，取EC的中点的F，连接MF，NF，
因为M，F分别为ED和EC的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
解：如图所示，过E作 SKIPIF 1 < 0 交AB于O，
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，故EO为四棱锥E-ABCD的高，
要使四棱锥E-ABCD体积最大，则E为弧 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以O与AB的中点，
取CD的中点G，连接OG，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以EO，AB，OG两两垂直，
以O为原点，分别以AB为x轴，以OE为y轴，以OG为z轴建立空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为锐角，
所以二成角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·广东广东·一模）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M，N分别是AB，AD的中点．
(1)证明：平面PMN⊥平面PAD；
(2)若二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为60°，求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．
【解析】(1)
连接DM，显然 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形BCDM为平行四边形，故 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ SKIPIF 1 < 0 是正三角形，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面PAD，又 SKIPIF 1 < 0 平面PMN，
∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面PAD．
(2)
（方法一）连接BD，易知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又PD⊥平面ABCD，AD SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，则PD⊥AD，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
平面PAB的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
而平面ABCD的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（方法二）连接DM，由M为AB的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以BCDM为平行四边形，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以△ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，在AM上取中点H，连接DH，PH，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，AM SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，易知： SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的二面角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2022·广东韶关·一模）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为斜边的等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【解析】(1)取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴正方向建立空间直角坐标系
如图所示，
则 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由题可知 SKIPIF 1 < 0 为面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量
设二面角的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，由图知 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
6.如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面ABCD是平行四边形，且 SKIPIF 1 < 0 底面ABCD， SKIPIF 1 < 0 ，点E是线段BC（包括端点）上的动点．
（1）探究点E位于何处时，平面 SKIPIF 1 < 0 平面PED；
（2）设二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，直线AD与平面PED所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）过点A作直线 SKIPIF 1 < 0 ，交直线BC于点M，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
以点A为原点，直线AM､AD､AP分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面PEA的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面PED的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
若平面 SKIPIF 1 < 0 平面PED，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故点E是BC中点或与点C重合时，平面 SKIPIF 1 < 0 平面PED．
（2） SKIPIF 1 < 0 平面ADE的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 均为锐角，
SKIPIF 1 < 0 ．
考点三：点到平面距离
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末）已知圆锥 SKIPIF 1 < 0 的底面半径为2，母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的表面积；
（2）求A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
【解析】解：（1）由已知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的表面积等于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
圆锥的高 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为D是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离即为B到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，
过B作 SKIPIF 1 < 0 垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0
所以面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
则线段 SKIPIF 1 < 0 长度即为B到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以A到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
例2.在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，过 SKIPIF 1 < 0 的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点．
（1）点H在棱BC上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，试确定动点F在棱 SKIPIF 1 < 0 上的位置，并说明理由；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求点D到平面AEF的最大距离．
【解析】（1）设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由正方体 SKIPIF 1 < 0 知，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点．
（2）以点 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0
则有 SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时，取等．
所以点D到平面AEF的最大距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
【方法技巧与总结】
如图所示，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 内一点，点 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 外的任意一点，则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，就等于向量 SKIPIF 1 < 0 在法向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影的绝对值，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【变式训练】
1．（2022·广东梅州·二模）如图①，在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，将四边形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起，如图②，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)当翻折至 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，求线段 SKIPIF 1 < 0 长的最小值.
【解析】(1)
证明：因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
解：由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为原点，建立如图的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以线段 SKIPIF 1 < 0 长的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
2.如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
【解析】（1）证明：由题知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在正三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
（2）取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 两两垂直
如图，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立空间直角坐标系
则 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由于直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0
设点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
3.如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 和梯形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的平面交平面 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点时，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离：
【解析】（1）证明：因为矩形 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又由过 SKIPIF 1 < 0 的平面交平面 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，
由线面平行的性质定理，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交．
（2）由平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，其交线为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又由四边形 SKIPIF 1 < 0 的矩形，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
4.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，圆台下底圆心 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，直径为2，圆与直线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，圆台上底的圆心 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，直径为1．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值；
（2）圆台上底圆周上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，若不存在则说明理由．
【解析】（1）（1）由长方体 SKIPIF 1 < 0 可知，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，假设存在这样的点P，设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍）， SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
【巩固练习】
一、单选题
1．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面BCD， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】如图，正方体内三棱锥A-BCD即为满足题意的鳖臑 SKIPIF 1 < 0 ，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则异面直线BM与CD夹角的余弦值 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
2．如图，正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为a，E是棱 SKIPIF 1 < 0 的动点，则下列说法正确的（ ）个．
①若E为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
②三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值 SKIPIF 1 < 0
③E为 SKIPIF 1 < 0 的中点时，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角正切值为 SKIPIF 1 < 0
④过点 SKIPIF 1 < 0 ，C，E的截面的面积的范围是 SKIPIF 1 < 0
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
对于①：当E为 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 ．设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，不妨令x=1，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面A1BD的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，所以直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 不成立．故①错误；
对于②：三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积等于三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．
又 SKIPIF 1 < 0 ，高为a，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故②错误；
对于③：当E为 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 ．平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ．
设直线B1E与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角正切值为 SKIPIF 1 < 0 ．故③正确；
对于④：设 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上得到投影为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以点E到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
当z=0，即D、E重合时，截面为矩形，其面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，截面为等腰梯形．设截面交 SKIPIF 1 < 0 于F．所以 SKIPIF 1 < 0 ，
高 SKIPIF 1 < 0 ，所以其面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
记 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
当z=a，即D1、E重合时，截面为边长为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，其面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ．故④正确．
故选：B
二、多选题
2．在空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 平面对称的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0
B．若平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的法向量，则平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D．点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】对于A：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 平面对称的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，故B错误；
对于C：因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的法向量，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：ACD
3．直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 ，中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点D是线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点（不含端点），则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直
C． SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】依题作图，如图1，并将其补成正方体，如图2
A：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确．
B：如图1，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴， SKIPIF 1 < 0 为z轴，
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直，故B错误．
C：判断以 SKIPIF 1 < 0 为直径的球与 SKIPIF 1 < 0 的交点情况，
如图3，取 SKIPIF 1 < 0 中点F，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以以 SKIPIF 1 < 0 为直径的球与 SKIPIF 1 < 0 没有交点．所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误．
D：将面 SKIPIF 1 < 0 ，翻折至与 SKIPIF 1 < 0 共面，此时点C与 SKIPIF 1 < 0 重合，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：AD
图1图2图3
三、填空题
4．如图，在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 为底面 SKIPIF 1 < 0 内一点，给出下列三个论断：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ．
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________．
【答案】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】如图，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0
所以以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出两个正确的命题：
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
答案任填其中一个即可
故答案为：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ）
5．如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】在正方体 SKIPIF 1 < 0 中以 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系．
设正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
6．如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设P是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，求AC与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【解析】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ．
在四边形 SKIPIF 1 < 0 中，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∴由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）取AB中点D，连接CD，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）易知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
如图，以B为原点，分别以射线BA， SKIPIF 1 < 0 为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系B-xyz，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则取 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
AC与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
7．如图，ABCD是边长为6的正方形，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 并与对角线DB交于G，H，现以ME，NF为折痕将正方形折起，且BC，AD重合，记D，C重合后为P，记A，B重合后为Q．
（1）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面HGQ；
（2）求平面GPN与平面GQH所成二面角的正弦值．
【解析】（1）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
再取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，得 SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
那么 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）以与 SKIPIF 1 < 0 垂直的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立坐标系，则，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ．
同理可得：平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成二面角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
8.如图所示，在直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD是等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形．
（1）指出棱 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面 SKIPIF 1 < 0 截该四棱柱所得的截面补充完整；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
【解析】（1）E为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
作图如下：如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点E，连接DE， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影为O，点F在AB上，且 SKIPIF 1 < 0 ．
以O为坐标原点，OF， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知二面角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，故其余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
9.如图，圆锥PO的母线长为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是⊙ SKIPIF 1 < 0 的内接三角形，平面PAC⊥平面PBC． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设点Q满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵平面PAC⊥平面PBC且平面PAC SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面PBC， SKIPIF 1 < 0 ，
∴PB⊥平面PAC，又 SKIPIF 1 < 0 平面PAC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是正三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在平面ABC内作 SKIPIF 1 < 0 交BC于M，
以O为坐标原点，OM，OB，OP所在直线分别为x轴，
y轴，z轴，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 如图所示：
易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面OBC的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
依题意 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
易知平面OQB的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
10.如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，四面体 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点O， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为直角的等腰直角三角形且 SKIPIF 1 < 0 ．求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为h，则 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为直角的等腰直角三角形，由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
如图，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ．
则点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，于是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ．
所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为
SKIPIF 1 < 0 ．
故直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．